2022-2023学年四川重点学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川重点学校高一(下)期中数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

π

I1.COS-=/(X)

A76+「2BV6-J2CV6+J2D√6—√2

・4,4■4.4

2.函数f(久)=sinx+1的零点是()

A.~+2∕cτr(∕c∈Z)B.y+2kπ(k∈Z)

C.^+fcτr(fc∈Z)D.kπ(k∈Z)

3.下列四个函数中，周期为Tr的是()

X

A.y=sin-B.y=tan2xC.y=∣sin2x∣D.y=5+cos2x

4.用五点法作函数/(x)=sin(2x-今的图象时，所取的“五点”是()

A.(=0)，楞,1),(y,θ)'(当,-D'(⅞>θ)

B.¢,0),楞,1),(ɪ,θ),(⅛,-l),(ʃ,θ)

C¢,0),篇I),⅛,1).(詈-1)，(⅜(0)

D.¢,0),(§,0),(y,0),登,-1)，(y,0)

5.已知M,N,P,Q是平面内四个互不相同的点，方,方为不共线向量，W=α+5h,/VP=

-2(a-4b~)>^PQ=3(a-K).则()

A.M,N,P三点共线B.M,N,Q三点共线

C.M,P,Q三点共线D.N,P,Q三点共线

6.已知a=cosg∖b=sin率,c=tan等，则有()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.Ob>a

7.已知函数fQ)=4s讥⑷%+0)(%∈RM>0,3>0,|勿〈方的部分图象如图所示，则()

A.函数f(x+刍为奇函数

B.函数f(x)的图象关于点传⑼对称

C.函数f(x)在区间［一舞舟上为单调函数

D.函数/(x)在区间［0,6τr］上有12个零点

8.将函数/Q)=sin(2x+斜的图象向右平移看个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标

变为原来的《3>0),纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若g(x)在［0,勺上恰有2个零点，

则3的取值范围为()

ʌ-⅛⅛B.E片)C.(消］D∙g,第

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列等式正确的是()

A.Sinl5。COSI5。="B.2sin222.5o-1

c∙Sin260cos340+cos260sin340=?D.需;;想。=1

10.已知/震葺黑=5,函数f(x)=SiMx+tanα∣cos欠I+2.下列说法正确的是()

A.函数/(x)为偶函数B.函数f(x)无零点

C.函数人为最大值为4D.函数人x)无最小值

11.已知函数/^(x)=tαnx+∣tcmx∣,则下列结论中正确的有()

A./Q)的最小正周期为5

B.点(一(0)是/(x)图象的一个对称中心

C./(x)的值域为［0,+8)

D.不等式f(%)>2的解集为6+∕cπ,≡+∕cπ)(∕c∈Z)

12.己知函数/(x)=sin(ωx+^)(ω>0)在区间［0,初上有且仅有3条对称轴，给出下列四个

结论，正确的是()

A.3的取值范围是或学)

B.f(x)在区间(0,Tr)上有且仅有3个不同的零点

C./(X)的最小正周期可能是M

D./(x)在区间(0,勤上单调递增

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.在边长为2的正方形ABCD中，∖AC+CB-DB∖=.

14.已知函数f(x)=sinx+Ccosx,若f(x)的图像关于(τn,0)中心对称，则最小的正实数

15.函数f(x)=√25—X2+IgSinX的定义域为.

_(-8sinx,-^≤%≤0

16.已知定义在R上的函数f(x)满足：/(XT)为偶函数，且∕Q)=h2；

-π),X>0

函数g(x)=IgIX+]|,则当X∈I-4兀,3兀]时，函数y=/(x)-g(x)的所有零点之和为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知α为第二象限角，sinα=|,0为第一象限角，cosβ=ɪ.

(1)求sin(α+/?)的值；

(2)求tan(2α-£)的值.

18.(本小题12.0分)

已知函数/O)=2sin(2x-≡).

(1)求/(x)的最小正周期及f(x)取得最大值时自变量X的集合；

(2)记集合"=心廿=)(乃/€[-也勺｝,集合N=｛尤Ita吟一C≥0,x∈。|)｝,求MnN.

19.(本小题12.0分)

已知函数/"(X)=2>∕-3sinωxcosωx+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为兀.

(1)求3的值以及函数/Q)的单调增区间；

(2)若方程f(x)=Tn在区间[。苧内有两个不同的解，求实数m的取值范围.

20.(本小题12.0分)

筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保,至今还在农业生产中得到应用，

明朝科学家徐光启在侬政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况

下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形(圆)，筒车

的半径为2τn,筒车转轮的中心。到水面的距离为1机，筒车每12秒沿逆时针方向转动1圈.规定:

盛水筒M对应的点P从水中浮现(即PO时的位置)时开始计算时间.

(1)以过点。的水平直线为X轴，过点。且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角

坐标系，试将点P距离水面的高度%(单位：米)表示为时间t(单位：秒)的函数；

(2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过2米？

21.(本小题12.0分)

已知函数/^(x)=ɪsin(wɪ+φ)(ω>0)的图象如图所示.

(1)求函数/(x)的对称中心；

(2)先将函数y=人为图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，然后将得到的

函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，最后将所得图象向左平移方个单

位后得到函数y=g(χ)的图象.若Ig(X)-t∣≤1对任意的X∈［-骂,0］恒成立，求实数t的取值

范围.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=2sin(2ωx+^)+1.

若求/的对称中心；

(1)∕Qι)≤/(x)≤/(x2),kι-⅞∣m⅛=*^(x)

(2)已知0<a<5,函数f(X)图象向右平移弓个单位，得到函数g(x)的图象，X=W是g(x)的

一个零点，若函数g(x)在［孙可⑺，nWR且nɪ<九)上恰好有10个零点，求n-m的最小值;

(3)已知函数无。)=αcos(2x-*-2α+3(α>0),在第(2)问条件下，若对任意打∈［0,J,

存在小6［。,守，使得∕ι(%ι)=g(g)成立，求实数ɑ的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：

cosɪ=CoSG-Ec)=+=

ɪΔɔl*LΛLΛLΛ4*τ

故选：A.

由雪=W一.及两角和与差的三角函数化简求解即可.

本题考查两角和与差的三角函数，是基础题.

2.【答案】B

【解析】解:/(x)=sinx+1,

令f(x)=0,即SinX=-1,解得K=与+2kτr(keZ),

故函数/(x)=sinx+1的零点是X=y+2kπ(k∈Z),

故选：B.

令/(x)=0,求解即可得出答案.

本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：函数y=sin]周期为4兀；函数y=tαn2x周期为热函数y=∣sin2x∣周期为热函数y

5+cos2x周期为τr.

故选：D.

利用三角函数的周期性求解.

本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：令2x号=0可得X=?又函数的最小正周期为7=亭=兀，J⅛7=[,

ɔO244

所以五点的坐标依次是第0),⅛1).(y,0),(岩,一1)，(⅞,0).

故选：A.

令X-W=o可得％=3再由函数的最小正周期可得选项.

ɔO

本题主要考查五点法作图，考查运算求解能力，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：由于而=一2(五一4方)，~PQ=3(α-K),

所以而=苍+5方，

所以而=M0,

故M、N、Q三点共线.

故选：B.

直接利用向量共线的充要条件求出结果.

本题考查的知识要点：向量共线的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解:a=cosIπ=cos(∣π—2π)=CoS(—勺=COS苓=Sinib=Sin衅=sin(2π+∣ττ)=

ɔɔɔɔJLUZ/

.6.π

sin-π=sιny,

因为y=SinX在(Or)为增函数，所以SiW<Sin答

又C=tan等=tan(6ττ+∣)=tan=V-3,

所以b<a<1<c,即C>α>b.

故选：C.

将α,b化到同一个单调区间上的同名函数比大小，再将α,b,C与1比大小.

本题考查了三角函数线的应用，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：根据函数f(x)的部分图象，可得A=WT各所以3=2,

结合五点法作图，可得2x^+0=兀+2∕OT,∕CCZ,得φ=2kn+等keZ,

又∣0∣<*所以8=*

所以f(x)=sin(2x+∣),

/(x+ɪɪ)=sin(2x+y+=-COS2x为偶函数，故A错误；

rφ=si∏y≠0,图象不关于管,0)对称，故B错误；

在［一窈币上,2%+^∈［-J,⅞］,根据正弦函数的性质f(x)在该区间上不单调,故C错误；

》6［0,6司2%+厚生等］,/(均在区间内有6个周期长度，每个周期有2个零点，所以该区间内有

12个零点，故。正确.

故选：D.

根据图象即可求出4=l,ω=2,结合五点法作图得出2×l+φ=π+2kπ,k∈Z,从而得出W=全

从而得出〃X)=sin(2x+g).然后可求出/(χ+炒=—cos2x,从而判断A错误；可求出境)≠0,

从而判断B错误；根据正弦函数的单调区间可判断C错误；［0,6扪包含/Q)的6个周期长度，每个

周期有2个零点，从而。正确.

本题考查了函数y=Asin(^ωx+P)的周期计算公式，根据三角函数部分图象求三角函数解析式的

方法，余弦函数的奇偶性，正弦函数的对称中心和单调区间，函数零点的定义，考查了计算能力，

属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：函数/O)=sin(2x+看)的图象向右平移己个单位长度，得到y=sin(2x-$的图象，

再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的^3>0)，纵坐标不变，得到函数g(x)=sin(23x-

勺的图象,

O

.t-ɪ--TTLLIxi7Γr¾n/Q)TrTr

由于0≤x≤',所以-z≤23X-z≤1∙-Q

由于g(x)在［0,守上恰有2个零点，故7T≤等Y<2兀，

解得I≤ω<ɪ.

故选：B.

直击利用函数图象的平移变换和伸缩变换求出函数g(x)的关系式，进一步利用正弦型函数的性质

求出3的取值范围.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换，正弦型函数的性质，主要考查学

生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题.

9.【答案】ACD

【解析】解：选项4,sml5ocosl5o=ɪsmɜθɑ=ɔ即A正确；

24

选项B,2sinz22.5o—1=-COS45。=~~γ^f即B错误;

选项CSin26。COS34。+cos26°s讥34。=sin(260+34。)=Sin60。=?，即C正确；

选项。，几幻=tan(71°—26。)=ta九45°=1,即。正确.

故选：ACD.

利用二倍角公式，可判断选项A和B；由两角和的正弦公式，可判断选项C；由两角差的正切公

式，可判断选项D.

本题考查三角函数的求值，熟练掌握二倍角公式，两角和差公式是解题的关键，考查运算求解能

力，属于基础题.

10.【答案】ABC

【解析】解：因为;Sina+：。Sa=5＞可得翳W=5,解得^na=2,

2sιna-3cosa2tana-3

所以/(x)=sin2x+tana∖cosx∖+2=sin2x+2∖cosx∖+2=—cos2x+2∖cosx∖+3=—(∣cosx∣—

I)2+4e[3,4],

所以/(-x)=-cos2(-x)+2∣cos(-x)∣+3=-cos2x+2∖cosx∖+3=/(x),所以|函数为偶函数,

所以A正确，

B正确，C正确，。不正确.

故选：ABC.

由题意可得tanα的值，可得函数/(x)的解析式，进而可判断所给命题的真假.

本题考查函数的性质的应用，属于基础题.

11.【答案】CD

2tanx,X∈(fcπ+0,kπ+7),k∈Z

【解析】解：函数/"(x)=tcmx+∣tcmx∣={2,

0,x∈(kπ-^π,kπ+O),kEZ

・•・函数/^(x)的最小正周期为兀，故A错误;

由于当X=—与时，/(X)的值不存在，

结合/(X)的图象可得点(一*0)不是/0)图象的一个对称中心，故2错误；

由函数f(X)的解析式可得，/(X)的值域为［0,+8),故C正确；

不等式f(X)>2,即tcmx>l,故它的解集为G+kττ4+∕σr)(keZ),故。正确,

故选：CD.

由题意，先化简函数的解析式，再利用正切函数的图象和性质，得出结论.

本题主要考查正切函数的图象和性质，属于中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：由％e［0,7T］,得3X+：e覃H3+$,

因为函数/'(尤)在区间［0,兀］上有且仅有3条对称轴，

所以3≤jπw+χ与,解得故A」E确；

对于8,VX∈(0,7Γ),

・•,ωx+∈(pωτr+,),

.∙.ωπ+≡∈(y,y),

当3x+*e(泮3兀］时，/(x)在区间(0,Tr)上有且仅有2个不同的零点；

当3X+5∈(3为争时，f(%)在区间(0㈤上有且仅有3个不同的零点，故8错误；

对于C,周期7咛，*hω<⅞,⅛<l≤i,

•馈<7骋，

冷(需L

所以/(X)的最小正周期可能是半，故C正确；

对于D,∙∙=e(0*),

■"3"+旌(谭+》，

鸡“若,.金+9停1)=您)，

所以f(x)在区间(0,会)上一定单调递增，故。正确.

故选：ACD.

由xe[O,ττ],得3X+*∈6,7Γ3+J再根据函数/㈤在区间[0,兀]上有且仅有3条对称轴，可得

⅞≤πω+≡<⅛可求出3的取值范围判断4再利用三角函数的性质可依次判断BCD.

242

本题考查三角函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于中档题.

13.【答案】2

【解析】解：••・正方形ZBCD的边长为2,

：.\AC+CB-DB∖=∖AB+^BD∖=∖AD∖=2.

故答案为：2.

由平面向量的线性运算直接计算即可.

本题考查平面向量的线性运算和模，属于基础题.

14.【答案】ɪ

【解析】解：f(x)=sinx+y∕-3cosx=2sin(x+1),

令x+g=kττ,得X=ATr-*fc∈Z,

所以最小的正实数m=手

故答案为：ɪ.

先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的对称性即可得解.

本题主要考查了辅助角公式的应用，还考查了正弦函数对称性的应用，属于基础题.

15.【答案】(0,Tr)U[-5,-7T)

【解析】解：•・,/(%)=√25—%2+Igsinx,

.(25-X2≥0,(-5≤X≤5

,Isinx>0'i2kπ<x<π-^2kπ,keZ9

ʌ0<X<Tr或一5≤X<—7T,

・•・函数f(x)=√25—%2÷IgsinX的定义域为(0,兀)U[—5,-兀),

故答案为：(0,Tr)U[—5,-Tr).

根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可.

本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基

础题.

16.【答案】-7π

【解析】解：因为/(X-乡为偶函数，所以/(X)关于X=-对称，

所以当X∈(―π,0)时,/(x)=-8sinx,

当X∈(0,兀)时，X—π∈(-π,0),/(x)=ɪ■[-8stn(x-π)]=Asinx,

当X∈(兀,2兀)时，%—7r∈(0,π),/(x)=ɪ∙[4sin(x—ττ)]=-2sinx,

当％∈(2兀,3兀)时，%—π∈(π,2π),/(x)=ɪ1[―2sin(x—π)]=sinx,

当X∈(―π,0)时，X+π∈(0,π),/(x)=ɪ■[―8sin(x+π)]=Asinx,

函数g(χ)=lg∣χ+?为y=IgIK的图象向左平移个单位，

/(x),g(x)的图象如下图所示，

/(χ),g(χ)均关于X=-I对称，/(χ),g(χ)有14个交点，

所以函数y=/(X)-9(x)的所有零点之和为：7∙(-≡×2)=-7π.

故答案为：-7τr.

由题意画出f(χ),g(χ)的图象,由图知,/(χ).g(χ)均关于X=-I对称，f(χ),g(χ)有画个交点,

即可求出函数y=/(x)-g(χ)的所有零点之和.

本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)因为α为第二象限角，sinα=|,所以COSa=-√l-si/ɑ=-1

又夕为第一象限角，cosβ=ʌ,所以SbIS=Jl-cos2£=y∣,

ɔr412QQ

所以sin(α+∕?)=sinacosβ+cosasinβ=ξ×-+(—ξ)×-.

(2)由(1)得,sin2a=2sinacosa=2×∣×(―^)=—1∣,cos2a=2cos2a—1=2×(―^)2—1=

sin2a24

所以tm20=

因为CoSS=卷，StnB=y∣＞所以防?sinβ_12

tan2a-tanβ

所以tan(2α-B)=

【解析】(1)根据同角三角函数的平方关系，求得COSa和SinS的值，再利用两角和的正弦公式，展

开运算，得解；

(2)先利用二倍角公式求出sin2α和cos2α的值，从而得tan2α的值，由同角三角函数的商数关系，

可得tim.的值，再由两角差的正切公式展开，代入运算，得解.

本题考查三角函数的求值，熟练掌握二倍角公式，两角和差公式是解题的关键，考查逻辑推理能

力和运算能力，属于中档题.

18.【答案】解:⑴因为/(x)=2sin(2x-%

所以T=y=π,

当2xm=2kττ+*∕ceZ,即彳=时+冷k€2时，函数/(%)取得最大值2,

所以此时自变量X的集合为｛x∣K=∕cτr+γ2,∕c∈Z)；

(2)因为χe[一氨],所以2x-∖∈

所以sin(2x-∈[―l,ɪ],

所以M=[-2,1]∙

因为工e[0,∣),所以与e[0,∖,

由tan竽一≥O,可得tan号≥

所以界聂),

所以XW[1,∣),N=[1,∣),

所以MnN={1}.

【解析】⑴根据周期公式计算即可，由2x冶=2kτr+?keZ,解出自变量X的集合即可；

(2)根据X∈[—]守，求出函数f(x)的值域，即得集合M,由正切函数的性质，解出集合N,由交

集的定义求解即可.

本题主要考查三角函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于中档题.

19.【答案】解：(l)∕(x)=2y∕-3sinωxcosωx+2cos2ωx=∖∕-3sin2ωx+cos2ωx+1=2sin(2ωx+

己)+1,

由题意可得：T=^=π,则3=1,

：•/(x)=2sin(2x+÷1,

令2kτr-≤2%+?≤2∕cτr+[,k∈Z则kτr—≤%≤kτc+J,k∈Z,

Zozfɔo

•••函数/(X)的单调增区间为阿冶,而+自,keZ；

(2)由/"(X)=m,得2sin(2⅛:+^)+1=m,

sin(2x+今=咚ɪ在区间[0,刍内有两个不同的解，

OZ4

∙∙∙%e[0,^]..∙,2x+2∈[2,y],

∙,∙sin(2x+ξ)∈[―ɪ,1],

∙,∙~≤乎21,<1，贝l∣2≤m<3,

实数Tn的取值范围为[2,3).

【解析】(1)利用三角恒等变换整理得/(x)=2sin(23X+9+l,根据最小正周期公式求解的3,

再以2x+*为整体，结合正弦函数的单调递增区间运算求解；

(2)根据题意整理可得：sin(2x+J)=呼■在区间[0,勺内有两个不同的解，确定2x+，的范围结合

正弦函数图像分析运算.

本题考查三角恒等变换与三角函数的图象与性质，属于中档题.

20.【答案】解：⑴因为筒车每12秒沿逆时针方向转动1圈，所以角速度为居="αd∕s,

又筒车转轮的中心。到水面的距离为1小，筒车的半径为2m,

所以"oOx=*

从点PO运动到点P时所经过的时间为t,贝IJP点对应的以X轴正半轴为始边的角为?-今

由三角函数定义知P点纵坐标为2sin5t-

则/1与t的函数关系式为h=2sin(≡t-≡)+l,t≥0;

(2)依题意，由∕ι=2s讥(1一$+1>2,得sin(^-^>g,

得J+2∕OT<gtT<¾^+2k7τ,k6Z,

6OOD

解得2+12∕c<t<6+12k,k&Z,k=O时，2<t<6,6-2=4,

所以，在水轮转动的任意一圈内，点P距水面的高度超过2米的时间有4秒.

【解析】(1)根据每12秒沿逆时针方向转动1圈，求出角速度，求出“0。X屋后，得到时间为t时P

点对应的角为7-%,利用三角函数的定义得到P点纵坐标，从而得到Zi关于t的函数关系式；

OO

(2)在第一问的基础上，列出不等式，求出2+12∕c<t<6+12∕c,∕c∈Z,结合k=0,求出水轮

转动的任意一圈内，点P距水面的高度超过2米的时间有4秒.

本题考查三角函数的应用，属于中档题.

21.【答案】解：⑴由图可知六A台=%

π2π.

ʌrTrι=-=—,・•・3=4,

2ω

/(x)=∣sin(4x+cp),

又/给)=∣sin(∣+<p)=最SinG+9)=W+"=2fcπ÷p

Tr

・•・φ=2∕cτr+-,fc∈Z.

∙'∙f(x)=∣sin(4x+2kπ+7)=∣sin(4x+7),

ɔOɔO

令4x+J=fcττ,/c∈Z,

o

则x=Y-5，kez,

・•・f(%)的对称中心为(中,0),k∈Z;

(2)根据题意易得g(x)=sin(2(x++1)=sin(2x+|兀)，

当x∈[-驾,0],2x+^e[0,曾时，g(x)∈[0,1],

V∣g(χ)-t∖≤1对任意的X∈恒成立,

.fg(x)mα%≤1+C

lg(%)min≥-1+亡

;可得t∈[0,1].

【解析】(1)根据函数图象求得/(%)的解析式，然后利用整体代入法求得f(x)的对称中心.

(2)利用三角函数图象变换的知识求得g(x)的解析式，根据g(x)在区间[-瑞,0]上的值域转化不等

式Ig(X)-t∣≤ι,由此求得t的取值范围.

本题考查三角函数的图像性质，三角函数的解析式的求解，恒成立问题的求解，化归转化思想，

属中档题.

22.【答案】解：(1)因为/(X1)≤∕(x)≤f(%2),∣X1-X2∣mE=今

所以/(x)的最小正周期是兀，即7=需i=兀，解得3=±1,

当3=1时，/(x)=2sin(2x+弓)+1,

^2x+l=kπ,kez,则％=-号+容kez,即/(χ)的对称中心为(一号+Ml)(kez);

当3=-1时，/(x)=2sin(-2x+≡)+1,

令-2x+*=kn,