浙江省宁波市2022-2023学年八年级上学期末数学期末试卷（含答案）

浙江省宁波市2022-2023学年八年级上学期末数学期末试卷

一、单选题

1.下列图形中，不能表示y是久函数的是（）

2.下列运算正确的是（

a-二±2C.3V2X2V3=6V5D.4Vl+值=2

3.已知久<y,则下列不等式一定成立的是（

A.x-5>y—5B.—2x>—2yC.a2x<a2yD.|>J

4.关于x的一元二次方程%2—4%+1=2k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（）

A.k>|B.k>lC.k<lD./c>-|

5.在同一平面直角坐标系中，一次函数丫=上尢+力（kW0）与丫=bx—k（bW0）的大致图象可以是

6.如图是测量一颗玻璃球体积的过程:

（1）将320CTH3的水倒进一个容量为500sH3的杯子中；

（2）将五颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；

（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.

根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（）

A.25CTH3以上，30。租3以下B.30czn3以上，33。血3以下

C.30CTH3以上，36cm3以下D.33CTH3以上，36cm3以下

7.如图，在平面直角坐标系中，已知点8（0,6）,点A在第一象限内，AB=OA,40/3=120。，将4

48。绕点O逆时针旋转，每次旋转90。，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（）

1

A.(-3,V3)B.(-V3,3)C.(V3,-3)D.(3,一百)

8.对于一元二次方程a/+/?%+c=OQH0),满足a-b+c=0,且有两个相等的实数根，贝！I()

A.2a—b=0B.b=cC.2a=cD.b+c=0

9.如图，在△ABC中，AD和BE是高，NABE=45。，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点

G、H,NCBE=/BAD.有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC・AD=V2AE2；

（4）SAABC=4SAADF.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.如图，分别以直角三角形的三边向外作等边三角形，然后将较小的两个等边A4FG和ABDE放在最大

的等边△力BC内（如图），DE与FG交于点、P,连结ZP,FE.欲求AGEC的面积，只需要知道下列哪个三角

形的面积即可（）

A

A

h/l\

i^c

A.XAPGB.AADPC.ADFPD.△PEG

二、填空题

11.使二次根式苧有意义的x的取值范围是.

12.已知（1,%）,（-2,为）是直线y=—2x+b上的两个点，则为y2-（填“或“="）

13.如果一元一次不等式组产：3的解集为久>3.则a的取值范围是

>a---------

14.如图，在AABC中，ABAC=80°,4。18。于口，4E平分4B4C,NB=60。，则N£ME=

度.

2

A

15.如图，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=6,D为AC中点，过点A作AE〃BC,连结BE,

ZEBD=ZCBD,BD=5,贝I」BE的长为.

第in弱

16.如图，RtABDE^,乙BDE=90°,DB=DE=2,A是DE的中点，连结ZB,以AB为直角边做等腰

RtAABC,其中N4BC=90。.①AC的长为,②连结CE,贝UCE的长为.

三'解答题

17.计算：(1)―22+m+£

(2)(―V5)2—(16+J(—2)2.

‘3(%+1)x—1

18.解不等式组里］2%,并把解集表示在数轴上•

3

19.如图，在△ABC中，AC=AB,AD1BC,过点C作CE||2B,ABCE=70°,连接ED并延长ED交

于点F.

(1)求NC4D的度数;(2)证明：&CDE三△BDF；

20.公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4

月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的

月增长率相同.

(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基

础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得

到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？

4

21.如图，在平面直角坐标系中，直线1的解析式为y=-寺为+6,它与坐标轴分别交于A、B两点，已

知点B的纵坐标为4.

（1）求出A点的坐标.

（2）在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得ZQBA=90。？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说

明理由.

（3）点P为y轴上一点，连结AP,若N4P0=2乙1B。，求点P的坐标.

5

22.如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a,b,c是R3ABC和RtzkBED边长，易

知AE=V2c,这时我们把关于x的形如a/+V2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.

请解决下列问题：

(1)判断下列方程是否是“勾系一元二次方程

①2/+V5x+1=0(填"是"或"不是")；

②3/+Sy/2x+4=0(填"是"或"不是")

(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程"a"+y[2cx+b=0必有实数根;

(3)若％=—1是“勾系一元二次方程%%2+72cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是12,求

△ABC面积.

6

A

（1）【问题情境】如图1,在△力BC中，力B=ac,点P为边BC上的任一点，过点P作PCAB,PE1

AC,垂足分别为D、E,过点。作。尸148,垂足为F.求证：PD+PE=CF.

（2）【结论运用】如图2,将矩形ABC。沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C,处，点P为折痕EF

上的任一点，过点P作PG_LBE、PH1BC,垂足分别为G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值；

（3）【迁移拓展】如图3,在四边形ZBCD中，AA=AABC,E为ZB边上的一点，EDLAD,EC1CB,垂

足分别为D、C,AB=8,AD=3,BD=7,M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN,求△DEM与

△CEN的周长之和.

7

24.如图，在边长为6的正方形ABC。中，过4)中点E作正△瓦4F,过点F的直线分别交边AB、DC于点

G、H、已知点M、N分别是线段FH、的动点，且AEMN是等边三角形.

(1)判断EF与GH的位置关系，并说明理由.

(2)当点N在线段GB上时

①求证：AG=FG

②试判断MH+GN的结果是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值.

(3)设2NE4=a,点A关于EN的对称点为/,若点/落在△EMN的内部，请直接写出a的范围.

8

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】A、对于自变量％的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，所以能表示y是％的函

数，不符合题意；

B、对于自变量％的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，所以能表示y是％的函数，不符合题

忌；

C、对于自变量％的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，所以能表示y是尤的函数，不符合题

忌；

D、对于自变量K的每一个确定的值，y都有两个值与之对应，不能表示y是％的函数，符合题意.

故答案为：D.

【分析】根据函数的定义及函数图象求解即可。

2.【答案】D

【解析】【解答］解：A、］(_2)2=2,原计算错误，故此选项不符合题意；

B、&=浮,原计算错误，故此选项不符合题意；

C、3V2X2A/3=6A/6>原计算错误，故此选项不符合题意；

D、4V3V12=2,原计算正确，故此选项符合题意；

故答案为：D.

【分析】A、根据算术平方根的意义可得正可=2;

B、根据算术平方根的意义可得R=等；

C、根据二次根式的性质“迎m=我(a'0,b之0)”可得原式=6e；

D、根据二次根式的性质“仿b>0)”可得原式=2.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：A、•.”<、，根据不等式两边同时减去一个数，不等号方向不变可知：%-5<y-

5,故答案为：不成立，不符合题意；

B、•.*<、，根据不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变可知：-2%>-2y,故答案为：成

立，符合题意；

C>Vx<y,当awo时，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变可知：a2x<a2y,故答案

为：不成立，不符合题意；

D、•.比<、，根据不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变可知：故答案为：不成立，不

9

符合题意；

故答案为：B.

【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；

不等式两边同时乘(或除以)同一个大于。的整式，不等号方向不变；

不等式两边同时乘(或除以)同一个小于。的整式，不等号方向改变，据此判断即可.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：原方程整理得：/—4久+1—2k=0,

•.•一元二次方程/—4久+1=2k有两个不相等的实数根，

>0,

即(—4)2—4(1—2k)〉0>

解得：k>—

故答案为：D.

【分析】首先将方程化为一般形式，然后结合△>0就可求出k的范围.

5.【答案】C

【解析】【解答］解:当k>0,b>0时，一次函数y=kx+匕经过第一、二、三象限，一次函数y=bx-

k经过第一、三、四象限；

当k>0,b<0时，一次函数y=kx+b经过第一、三、四象限，一次函数旷=bx-k经过第二、三、四象

限；

当k<0,b>0时，一次函数y=k%+b经过第一、二、四象限，一次函数y=b%一k经过第一、二、三象

限；

当k<0,b<0时，一次函数y=kx+b经过第二、三、四象限，一次函数〉=bx-k经过第一、二、四象

限；

•••四个选项只有C符合题意.

故答案为：C.

【分析】y=ax+b(a/)),当a>0,b>0时，图象过一、二、三象；当a>0,b<0时，图象过一、三、四象

限；当a<0,b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0,b<0时，图象过二、三、四象限.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：根据题意，设一颗玻璃球的体积为久cm3,

(5%<500-320

则有：，

(6%>500-320

10

解得：30vx<36,

,一颗玻璃球的体积在30cm3以上，36cm3以下，

故答案为：C.

【分析】设一颗玻璃球的体积为xcnP,由题意可得5x<500-320、6x>500-320,联立求出x的范围，据此判

断.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：由题可知，将绕点O逆时针旋转，每次旋转90。，

二每旋转4次则回到原位置，

•••20234-4=505•••3,

，第2023次旋转结束后，图形顺时针旋转了90。

如图所示，旋转后的图形为△O&Bi，作J•久轴于H,

'：AB=OA,^OAB=120°,B(0,6)

1

OH=5OB=3,

■­•=乙AOB=30°,

设力i4=x,贝iJOAi=2x,

在RtA04H中

•••(2久)2=%2+32,

x-V3(负值舍去)

•.•点心在第四象限，

41(3,—V3),

故答案为：D.

11

【分析】由题意可得每旋转4次回到原位置，则第2023次旋转结束后，图形顺时针旋转了90。，旋转后

的图形为△OAiBi,作AiHLx轴于H,易得OH的值，设AiH=x,则OAi=2x,然后在RsOAiH中，利

用勾股定理求出x的值，进而可得点Ai的坐标.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：•••a-b+c=O,

.,.b=a+c,

・・•方程有两个相等的实数根，

•*-A=/}2—4ac=(a+c)2—4ac=a2-2ac+c2=(a—c)2=0,

.*.a=c,

.*.b=2a=2c,

.\2a—b=0,

故答案为：B、C、D错误，选项A正确，

故答案为：A.

【分析】根据a-b+c=O可得b=a+c,则A=(a-c)2=0,进而推出b=2a=2c,据此判断.

9.【答案】D

【解析】【解答】解：•・•在△ABC中，AD和BE是高，

JZADB=ZAEB=ZCEB=90°,

・・,点F是AB的中点，

：.FD=1AB,

・・•NABE=45。，

.•・△ABE是等腰直角三角形，

AAE=BE,

・・,点F是AB的中点，

AFE=|AB,

・・・FD=FE,①正确；

VZCBE=ZBAD,NCBE+NC=90。，ZBAD+ZABC=90°,

AZABC=ZC,

AAB=AC,

VAD±BC,

ABC=2CD,ZBAD=ZCAD=ZCBE,

(A.AEH=乙CEB

在AAEH和aBEC中，AE=BE,

ZEAH=乙CBE

12

/.△AEH^ABEC(ASA),

/.AH=BC=2CD,②正确；

VZBAD=ZCBE,/ADB=NCEB,

/.△ABD~4BCE,

.嗡=的,即BC・AD=AB・BE,

W2AE2=AB«AE=AB«BE,BOAD=AOBE=AB・BE,

/.BC-AD=V2AE2；③正确；

：F是AB的中点，BD=CD,

SAABC=2SAABD=4SAADF.④正确；

故选：D.

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性

质、等腰三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的

关键.由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=AB,证明△ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE,

证出FE=；AB,延长FD=FE,①正确；证出NABC=NC,得出AB=AC,由等腰三角形的性质得出

BC=2CD,ZBAD=ZCAD=ZCBE,由ASA证明△AEH04BEC,得出AH=BC=2CD,②正确；证明

AABD-ABCE,得出船=第，即BC・AD=AB・BE,再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出

2

BC-AD=V2AE；③正确；由F是AB的中点，BD=CD,得出SAABC=2SAABD=4SAADF.④正确；即可得

出结论.

10.【答案】C

【解析】【解答】解：由题意得SMBC=SMFG+SABDE，FGIIBC,CG||PE,

二四边形CEPG是平行四边形，

♦•SMEG=四边形ECGP'

*：S^ABC=S&AFG+S四边形BFPE+S四边形ECGP,

S四边形ECGP=S^DFP,

・1

,•S.EG=2s△D”，

故答案为：c.

【分析】由题意得SAABC=S“FG+SABDE,FG^BC,CG〃PE,推出四边形CEPG是平行四边形，贝!J

SACEG-^S四边形ECGP,结合面积间的和差关系可得S四边形ECGP=SADFP，据此解答.

11.【答案】%>-3

13

【解析】【解答】解：•.•二次根式苧有意义

x+3>0,

解得：x>—3,

故答案为：%>-3.

【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，则x+320,求解即可.

12.【答案】<

【解析】【解答】解：=—2久+从k=-2<0,

••.y随x的增大而减小，

（1月），（—2,丫2）是直线y=~2x+b上的两个点,—2<1,

<当，

故答案为：<.

【分析】根据一次函数的性质可得：y随x的增大而减小，据此进行比较.

13.【答案】a<3

【解析】【解答】解：二•一元一次不等式组｛:::的解集为x>3,

/.a<3.

故答案为：a<3.

【分析】由不等式组产:3的解集为％〉3,根据“同大取大”即可求解.

1%>a

14.【答案】10

【解析】【解答】解：•••AD1BC,

^BDA=90°,

•••乙B=60°,

/.BAD=90°一乙B=90°-60°=30°,

•••ABAC=80°,4E平分NB2C,

•••/.BAE=40°,

ADAE=乙BAE-ABAD=40°-30°=10°.

故答案为：10.

【分析】根据垂直的概念可得NBDA=90。，则/BAD=9（T-NB=3（）。，由角平分线的概念可得

ZBAE=ZCAE=40°,然后根据NDAE=NBAE-NBAD进行计算.

15.【答案】与

【解析】【解答】解：如图，连接ED并延长交BC于点F,过点D分别作DPLBE,垂足为P；作

14

DQ±BC,垂足为Q,

在RtZkABC中，YD是斜边AC的中点,

AAD=CD=BD=5,AC=2BD=10,

:・BC=y/AC2-AB2=V100-36=8,

VAE//BC,

AZEAD=ZFCD,ZAED=ZCFD,

又・・，AD二CD,

.*.△ADE^ACDF,

ADE=DF,AE=CF,

又丁ZEBD=ZCBD,DP±BE,DQ±BC,

ADP=DQ,

又・・，BD=BD,DE=DF,

ARtABDP^RtABDQ(HL),RtAPDE^RtAQDF(HL),

ABP=BQ,PE二QF,

ABF-BE,

・・・BE+AE=BF+CF=BC=8,

设BE=x,贝！］AE=8-x,

在RtAABE中，

由勾股定理得AE2+AB2=BE2,

得(8-x)2+62=x2,

解得X=学,

即BE=穿.

15

故答案为：学

【分析】连接ED并延长交BC于点F,由AE//BC及点D是AC的中点，可证明△ADE会ZkCDF,得

AE=CF,DE=DF,结合NEBD=NCBD,可猜想BF=BE,则BE+AE=BC=8,在RtAABE中，由勾股定理

构造关于BE的方程解答即可.

16.【答案】V5；V17

【解析】【解答】解：如图所示，

过点E分别作ZB,BC的垂线，垂足分别为G,F,

•；DB=DE=2,4是DE的中点，ABDE=90°,

:.BE=V2DE=2V2,力。=EA=1,

在Rt△4DB中，AB=VXD2+BD2=V12+22=逐,

'：AB=BC,

：.BC=倔

11

•=々4ExBD=xA.B>

,厂厂AExBD1x22后

,.=^-=词=丁

,:EG1AB,EF1BC,^ABC=90°,

：.EF||AB,

EG—FB=

在Rt△EFB中，EF=VEB2-FB2=J（2/尸一（等尸=誓，

在Ht△EFC中，EC=y/EF2+FC2=J（誓）2+（蜉+俑2=旧，

故答案为：V5;V17.

【分析】过点E分别作AB、BC的垂线，垂足分别为G、F,根据等腰直角三角形的性质可得

AD=EA=1,利用勾股定理可得BE、AB,根据等面积法可得EG,易得EG=FB,然后在RtAEFB、

RtAEFC中，根据勾股定理进行计算.

16

17.【答案】⑴解：-22+V12+

=_4+2遍+字

一7四

—4H—»

（2）解：（—圾2―痹+J（_2）2

=5-4+2

=3.

【解析】【分析】（1）先计算乘方及将二次根式化简，再合并同类二次根式即可；

（2）先根据二次根式的性质将各个二次根式化简，再进行有理数的加减法运算得出答案.

18.【答案】解竽＞2%②

由①得%＞-2

由②得%＜3

把不等式组的解集表示在数轴上，如图，

二原不等式组的解为一2＜久＜3

【解析】【分析】分别求出不等式组中各不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找”即可

求出原不等式组的解集，并在数轴上表示出解集。

19.【答案】（1）解：•••CE||AB,

乙B=乙BCE=70°,

•••AC=AB,

AACD=NB=70°,

vAD1BC,

・•・/.ADC=90°,

•••乙CAD=90°-70°=20°

（2）证明：•.・ZC=4B,AD1BC,

・•.CD—BD,

・・・CE||AB,

:.Z.ECD=Z-B,

在△CDE*和△BDF中，

17

'乙ECD=Z.B

CD=BD,

"DE=乙BDF

CDE=ABDFiASA).

【解析】【分析】(1)根据二直线平行，内错角相等得NB=NBCE=70。，根据等边对等角得

NACD=NB=70。，最后根据直角三角形两锐角互余即可算出NCAD的度数；

(2)根据等腰三角形的三线合一得CD=BD,从而利用ASA判断出△CDE0ABDF.

20.【答案】(1)解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x,依题意得：

150(1+%)2=216,

解得尤1=0.2=20%,%2=-2.2(不合题意，舍去).

答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；

(2)解：设该品牌头盔的实际售价为y元/个，依题意得：

(y-3)[600一(y—40)X10]=10000,

整理得y2-130y+4000=0,

解得yi=80(不合题意，舍去)，y2=50,

答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个.

【解析】【分析】(1)此题是一道平均增长率的问题，根据公式a(l+x)n=p,其中a是平均增长开始的量，

x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程，进而利用直接开平方法求解并检

验即可得出答案；

(2)设该品牌头盔的实际售价为y元/个，则每个头盔的利润为(y-30)元每个，每月的销售数量为

[600-10(y-40)]^,根据单个头盔的利润x每月的销售数量=当月的总利润建立方程，求解并检验即可.

21.【答案】(1)解：•.•点B的纵坐标为4,且点B在y轴上，

将点B(0,4)代入直线1的解析式得：b=4,

...直线1的解析式为：y=—+4

令y=0得：x=3,

.,•71(3,0).

(2)解：存在.

••.Q在第一象限的角平分线上，

设Q(x,%)且x>0,

根据勾股定理：

QB2+BA2=QA2,

x2+(x-4)2+52=%2+(%—3猿,

18

解得久=16,

故Q(16,16).

(3)解：当点P在正半轴时，如图所示,

：.^PAB=乙PBA,

：.PA=PB,

设P(0,y),又4(3,0),B(0,4)

(4—y)2=y2+32

解得：y=(

・・・P(0,57

根据对称性可得另一个p点的坐标为p(。，-3,

综上所述,P(0,6或P(0,-2

4

y-%

【解析】【分析】(1)易得点B的坐标为(0,4),进而将点B的坐标代入直线--3

值，从而可得抛物线的解析式，最后令解析式中的y=0算出对应的x的值，即可得出点A的坐标；

(2)根据第一象限角平分线上点的横坐标与纵坐标相同可设点Q坐标为(x,x)且x>0,根据两点间的

距离公式及勾股定理建立方程，求出x的值，即可求出点Q的坐标；

(3)分类讨论：①当点P在正半轴时，根据三角形外角性质并结合已知可得NPAB=NPBA,根据等角

对等边得PA=PB,设P(0,y),根据两点间的距离公式建立方程求出y的值，即可求出点P的坐标；②

当点P在负半轴上时，根据对称性即可直接得出点P的坐标.

22.【答案】(1)不是；是

(2)证明：,「a/+鱼=+b=0是“勾系一元二次方程”，

19

・••以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，

c2=a2+b2

,**4=(V2c)2—4ab

=2c2—4ab

-2(a2+b2)—4ab

—2(a—b)2>0；

・•・关于x的“勾系一元二次方程"a，+y[2cx+b=0必有实数根；

(3)解：:%=-1是“勾系一元二次方程"a%2+y[2cx+b=0的一个根，

•'•a—V2c+b=0,

即Q+b=V2c,

•・•四边形4CDE的周长是12,

•**2(a+b)+V2c=12,

•*-2A/2C+V2c=12,

c—2A/2»

***a+b=V2x2V2=4,

••(a+b)?=16,

•,a2+2ab+Z?2=16,

•-'a2+b2=c2=(2V2)2=8，

2ab+8=16,

••cib=4,

.1

-S〉ABC=2ab=2,

•••△ABC的面积为2.

【解析】【解答]解：(1)02X2+V5%+1=0不是“勾系一元二次方程”,

,**V2c=V5,

解得C=孚，

,**a=2,b=1,

a2+h2c2，

以a、b、c为三边长的三角形是不是直角三角形，

2x2+V5x+1=0不是"勾系一元二次方程”

故答案为：不是；

②3/+5V2%+4=0是“勾系一元二次方程”，

20

V2c=5V2

a—3,b=4,

a2+b2=c2>

...以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，

二3/+5V2%+4=0是“勾系一元二次方程”，

故答案为：是；

【分析】（1）根据“勾系一元二次方程”的定义，找出a、b、c的值，进而根据勾股定理的逆定理判断以

a、b、c为三边长的三角形是否是直角三角形，即可判断得出答案；

（2）根据“勾系一元二次方程”的定义知以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的

长，故可得c2=a2+b2,再算出该方程根的判别式的值，利用整体替换及偶数次幕的非负性可得判别式的值

一定不为负数，从而即可得出结论；

（3）根据方程根的概念可得a+b=&c,再结合四边形ACDE的周长是12可求出c的值，从而可得

a+b的值，进而结合完全平方公式的恒等变形及勾股定理可求出ab=4,最后利用三角形面积计算方法即可

求出答案.

23.【答案】证明：连接4P,---PDJ.AB,PEJ.AC,CF_LAB,且S44BC=^AABP+

111一

S』/CP，PE；4B=AC,【结论运用】如图2,将矩形

2BCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点c'处，点P为折痕EF上的任一点，过点P作PG_L

BE、PH1BC,垂足分别为G、H,若4。=8,CF=3,求PG+PH的值；【答案】解：过点E作EQ1

BC,垂足为Q,如图•・泗边形4BCQ是矩形，•••4。=BC,"=Z4DC=

90°.vAD=8,CF=3,=BC-CF=4。-CF=5.由折叠可得：DF=BF,乙BEF=ADEF.；.DF=

5.vAC=90°,DC=y/DF2-CF2=V52-32=4.vEQ1BC,Zf=^ADC=90°,:.4EQC=90°=

ZC=乙40c..•.四边形EQC。是矩形EQ=DC=4.vAD||BC,：.乙DEF=Z.EFB.-：乙BEF=ADEF,:.

21

乙BEF=乙EFB.：.BE=BF.由问题情境中的结论可得:PG+PH=EQ.：.PG+PH=4".PG+PH的值为4.

【迁移拓展】如图3,在四边形中，乙4=N4BC,E为边上的一点，EDLAD,EC1CB,垂足分

别为D、C,AB=8,AD=3,BD=7,M、N分别为力E、BE的中点，连接DM、CN,求△。5时与4

CEN的周长之和.【答案】解：延长4。、BC交于点F,作BH14F,垂足为H,如图⑤.

乙4=AABC：.FA=FB.由问题情境中的结论可得：ED+EC=BH.设

F图⑤

DH=X,则=AD+DH=x+3.vBH1AF,：.乙BHA=90°..-.BH2=BD2-DH2=AB2-AH2.'：

222

AB=8,AD=3,BD=7,72_%2=82_13+x)?.解得：%=I..'.BH=BD-DH=49—1=

48..-.BH=4V3--.ED+EC=^ADE=乙BCE=90°,且M、N分别为AE、BE的中点，；.DM=

EM=^AE,CN=EN=DEM与ACEN的周长之和=DE+DM+EM+CN+EN+EC=DE+

AE+BE+EC=DE+AB+EC=DE+EC+AB=8+4V3.

(1)证明：连接ZP,

图1

vPD1AB,PE1AC,CFVAB,

且S4ABe=S/ABP+S/ACP，

111

・•・^AB•CF=^AB-PD+^AC•PE.

-AB=AC,

・•.CF=PD+PE.

(2)解：过点E作EQ_LBC,垂足为Q,如图

22

cr

••・四边形4BCD是矩形，

・•.AD=BC,ZC=^LADC=90°.

-AD=8,CF=3,

：.BF=BC-CF=AD-CF=5.

由折叠可得：DF=BF,(BEF=幺DEF.

・•.DF=5.

•・•ZC=90°,

・•.DC=yjDF2-CF2=V52-32=4.

・・・EQ1BC,ZC=^ADC=90°,

・•・乙EQC=90°=ZC=^LADC.

・•・四边形EQCD是矩形.

・•.EQ=DC=4.

-AD||BC,

・•・乙DEF=Z.EFB.

,:Z.BEF=Z-DEF,

・•・Z.BEF=Z.EFB.

・•.BE=BF.

由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ.

：.PG+PH=4.

.­.PG+PH的值为4.

(3)解：延长4。、BC交于点F,作垂足为H,如图⑤.

23

•・•乙4=Z-ABC

・•・FA=FB.

由问题情境中的结论可得：ED+EC=BH.

设则AH=2£>+DH=x+3.

BH1AF,

：.4BHA=90°.

BH2=BD2-DH2=AB2-AH2.

vAB—8,AD—3,BD—7,

72_%2=82_<3+X)2.

解得：X=1.

：.BH2=BD2-DH2=49-1=48.

BH=4V3.

ED+EC=4V3.

v/.ADE=Z.BCE=90°,且M、N分别为ZE、BE的中点,

11

DM=EM=^AE,CN=EN=^BE.

•••△DEM与4CEN的周长之和=DE+DM+EM+CN+EN+EC

DE+AE+BE+EC

=DE+AB+EC

DE+EC+AB

=8+4V3.

【解析】【分析】（1）【问题情境】连接AP,利用SAABC=SAABP+SAACP可证得CF=PD+PE；

（2）【结论运用】过点E作EQLBC,垂足为Q,易求BF=5,由折叠得DF=BF=5,ZBEF=ZDEF,从而

用勾股定理算出CD=4,易得四边形EQCD是矩形，可得EQ=CD=4,从而证明BE=BF后，直接利用

【问题情境】中的结论可得出PG+HP=EQ,即可得出结论；

（3）【迁移拓展】延长AD、BC交于点F,作BHLAF,垂