2023-2024学年天津市部分区域联考高二年级下册期中数学试题（含答案）

2023-2024学年天津市部分区域联考高二下册期中数学试题

一、单选题

1.已知函数"x)=l∏x-χ2+2,其导函数是，'(%),贝!1/⑴=()

A.2B.IC.0D.-1

【正确答案】D

【分析】求导得到导函数，计算得到答案.

【详解】/(x)=lnr-x2+2,则尸(X)=B-2x,则./(1)=1—2=T.

故选：D

2.A：xC：=()

A.960B.480C.160D.80

【正确答案】B

【分析】直接计算得到答案.

［详解】A：xC：=—^―×——连一T=4X3X2X6x5x4=480

L冲/，46(4-3)!3!×(6-3);3×2×1

故选：B

3.已知函数/(x)的导函数是y'(X),若f'(x0)=2,则+一人*。)_()

ɪɪnɪ­

AKToΔ%

A.ɪB.1C.2D.4

【正确答案】B

【分析】根据导数定义，将增量化成g&v。即可得到.

【详解】因为/'(%)=2

/(X0+∣ΔX)-∕(Λ0),/(⅞+∣ΔΛ)-∕(X0),

所以Iinl--------Z--------------=；ɪɪɪɪɪ----------η---------------=-∕,(⅞)=1

AYTO∆x2^→012

-Aax

2

故选：B

4.在(l-2x)8的二项展开式中，中间一项的二项式系数是()

A.-32C≡B.ClC.16C；D.C：

【正确答案】D

【分析】根据二项展开式的性质，即可求得中间一项的二项式系数，得到答案.

【详解】由二项式(I-2x)8的展开式为J=CJ(-2x)r,

又由二项式(l-2x)8的展开式共有9项，所以中间一项为第5项，

所以中间一项的二项式系数为C；.

故选：D.

5.有5人承担A,B,C,D,E五种不同的工作，每人承担一种，且每种工作都有人承

担.若这5人中的甲不能承担A种工作，则这5人承担工作的所有不同的方法种数为()

A.24B.60C.96D.120

【正确答案】C

【分析】先让甲在民C,RE中选择一项工作，再让剩余的4人选择4项工作，计算得到答

案.

【详解】先让甲在8,C,DE中选择一项工作，共有C：=4种方法；

再让剩余的4人选择4项工作，共有A：=24种方法，故共有24x4=96种方法.

故选：C

A.-18B.18C.-9D.9

【正确答案】A

【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求得结果.

令一^-=0,得r=l,

故常数项为C[(-2)'=-18∙

故选：A.

7.函数/(x)=-2∞axr,尤∈(0,π),下列关于"x)的说法中正确的是()

A.ʤ)为极小值，,用为极小值

B.fQj为极大值，/(g)为极小值

C.7图为极小值，/用为极大值

D./(2)为极大值，/(为极大值

【正确答案】C

【分析】由导数可得函数/(x)的单调区间，再由极值的概念即可得解.

【详解】因为/(x)=-2CoSVr-X,x∈(0,π),所以f'(x)=2sinx-l,x∈(θ,π),

令∕[x)=0即SinX=！，可得X=B或X=孚，

266

当To高时，∕,(x)<0,函数/(x)单调递减；

当XeC,汽x)>0,函数/(x)单调递增；

当xe(管,π)时，/'(x)<0,函数/(x)单调递减；

所以当χ=E时，函数〃χ)取得极小值/(J当X=,时，函数f(χ)取得极大值/传),

故选：C

8.7名身高各不相同的同学站成一排，若身高最高的同学站在中间，且其每一侧同学的身

高都依次降低，则7名同学所有不同的站法种数为()

A.20B.40C.8D.16

【正确答案】A

【分析】让最高的同学站中间，再在剩余的6人中选择3人，放在左边，剩余3人放在右边,

计算得到答案.

【详解】让最高的同学站中间，再在剩余的6人中选择3人，放在左边，剩余3人放在右边,

共有C：=20种站法.

故选：A

9.已知函数/(x)的导函数是广(X),对任意的xeR,r(x)<l,若/(一1)=1,则/(x)>x+2

的解集是()

A.(—1,1)B.(―l,+∞)C.(→X),-1)D.(l,+∞)

【正确答案】C

【分析】设g(x)=∕(x)-X—2,求得g'(x)=∕'(x)-1,根据题意得到g'(x)<O,得到函数

g(x)单调递减，又由/(T)=I,得至Ug(T)=0,把/(x)>x+2,转化为g(x)>g(T),结

合函数g(x)的单调性，即可求得不等式的解集.

【详解】设函数g(χ)="χ)*2,可得g<χ)=r(χ)-ι,

因为/'(χ)<ι,可得g'(χ)=r(χ)τ<o,所以函数g(x)单调递减，

又因为“τ)=l,可得g(τ)=∕(-1)+1-2=0,

由不等式/(x)>x+2,即为g(x)>g(-1)=0,所以x<-l,

即不等式/(x)>x+2的解集为1).

故选：C.

二、填空题

10.在一展开式中，/的系数是.

【正确答案】60

【分析】由二项式展开式可得其通项为(T)'26r∙C"∣ir,写出含/的项即可得系数.

【详解】由题设，二项式展开式通项为CK2χ3)6-qJy=(TA26-yd-”,

X

当r=4时，M)426-4C^18-16=60X2,故炉的系数是60.

故60

11.函数"x)=fInX的导数r(x)=.

【正确答案】2x∖nx+x

【分析】根据导数的四则运算法则，准确计算，即可求解.

【详解】由函数幺可得2

I(X)=Inx,r(x)=(xyinx+=2(JnXy=2χl∏%+%.

故答案为.2xlnx+x

已知1345则。。一%a+aa

12.(2-X)5=+axx+a2x+a3x+a4x+α5x,+^2~34~s=.

【正确答案】243

【分析】根据二项展开式，令尸-1,即可求解.

5i345

［详解］⅛（2-x）-aa+axx+a2x+aix+aix+asx,

令X=—1,可得a。—α∣+a?—4+“4-4=（2+1）=3'=243.

故答案为.243

13.有12个志愿者名额全部分配给某年级的10个班，若每班至少分配到一个名额，则所有

不同的分配方法种数为.

【正确答案】55

【分析】采用挡板法，即将12个志愿者名额看作12个相同的元素，分为10组，每组至少

一个元素，在这12个元素之间形成的11个空中，选9个插入挡板即可.

【详解】12个志愿者名额全部分配给某年级的10个班，若每班至少分配到一个名额，

可将12个志愿者名额看作12个相同的元素，分为10组，每组至少一个元素，

因此在这12个元素之间形成的11个空中，选9个插入挡板即可，

故有C1=55种不同的分配方法种数，

故55

14.一个集合的含有3个元素子集的个数与这个集合的含有4个元素子集的个数相等，则这

个集合子集的个数为.

【正确答案】128

【分析】设集合的元素个数为“，C=C：,解得〃=7,再计算子集个数得到答案.

【详解】设集合的元素个数为〃，则C：=C：,解得〃=7,故集合子集的个数为2'=128.

故128

15.若直线/与抛物线y=-V+3相切，且切点在第一象限，则/与坐标轴围成三角形面积的

最小值为.

【正确答案】4

【分析】设切点坐标，利用导数求切线方程，然后表示出三角形面积，利用导数可得最小值.

【详解】设切点为《,3-产）,

因为y'=-2x,所以切线斜率为-2r,

得切线I的方程为>,-(3-r)=-2t(x-t)

/与坐标轴的交点分别为(0/+3),C+：,0),

令-χ2+3=0,解得x=±6，

因为切点在第一象限，所以fe(0,6),

所以/与坐标轴围成三角形面积S=1(/+3足+⅛=l(r3+6r+-)

222r4t

令")=入8+2,贝"⑺=3r+6-2=.+6产-9=3(产+3)(TI)(f+1)

trrV

当re((M)时，∕,ω<o,/Q)单调递减，

当re(1,百)时，f'(t)>o,/⑺单调递增，

O

所以当/=1时，/(f)有最小值/(1)=I3+6+-j-=16

所以SmM=1X16=4

故4

三、解答题

16.已知函数/(x)=d+χ2-χ+]

⑴求曲线y="χ)在点(IJ⑴)处的切线方程；

⑵求/(χ)的单调区间.

【正确答案】(l)4x-y-2=0

(2)/(其的单调递增区间是(->,-1)和8,+00)；单调递减区间是EIT)

【分析】(1)求出导函数f(χ),得出切线斜率/⑴，再计算出了⑴，由点斜式写出切线方

程，整理即得；

(2)由/'(X)>0得增区间，J"(x)<O得减区间，即可.

【详解】(1)由题意得：f'(x)=3χ2+2x-l,

所以f'(l)=4,f(1)=2,

故曲线y=∕(x)在点(I,/(D)处的切线方程y-2=4(x-l),即4x—y—2=0；

(2)∕,(X)=3X2÷2x-l=(3x-l)(x+l),

令/'(x)>0,易得或无<一1,令f'(x)vθ,易得一1<工<；,

所以函数在(γ>,τ)和∖,+∞)上递增，在上递减，

即f(χ)的单调递增区间是(γ>,τ)和(；，+8)；单调递减区间是1-1g

在(-l+

17.r2x的二项展开式中,

(I)若〃=7,且第3项与第6项相等，求实数X的值；

(2)若第5项系数是第3项系数的10倍，求〃的值.

【正确答案】(1)更

2

⑵8

【分析】(1)当〃=7时，求得展开式的通项(”=2℃"314,根据题意列出方程，即可求

解；

(2)求得展开式的通项T^=2。C%”∖根据题意，得到方程2∙t∙C=10χ22∙C,结合组

合数的计算公式，即可求解.

【详解】(1)解：当〃=7时，可得+2x］展开式的通项几=C；&7~∙(2x)，=2r∙q√r-14,

令r=2,可得(=22∙c;X^8,令r=5,可得(=2"C"，

因为第3项与第6项相等，可得22∙C*-8=25∙GX,解得X=返.

2

(2)解：由二项式(*+2XJ展开式的通项*=α(*)F(2xy=2'∙C>f,

可展开式中第5项的系数为24-C：,第3项的系数为2?,

因为第5项系数是第3项系数的10倍，可得24∙G=10χ22∙C)

即2C=5∙C>即2χ"H)("3)=5χ次Tl,

可得〃2—5〃—24=0,解得〃=8或〃=—3(舍去),

所以〃的值为8∙

18.已知函数"x)=(χ2-3x+l)e".

⑴求〃x)的极大值点和极小值点；

(2)求〃x)在区间［-1,3］上的最大值和最小值.

【正确答案】(1)极大值点为广-1,极小值点为χ=2

⑵最大值为/(3)=e3,最小值为〃2)=-e2

【分析】(1)求导，判断单调区间，然后可得极值点；

(2)根据(1)可得单调区间，根据单调性可得最值.

【详解】(1)∕,(x)=(2x-3)eA+(x2-3x+l)e'=(x-2)(x+l)eA

令(x—2)(x+l)e"=0解得x=—1或x=2,列表如下：

-1

X(-∞,-l)(-1,2)2(2,+8)

fω+0-0+

/*)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

所以极大值点为户-1,极小值点为χ=2.

(2)由(1)知，函数f(x)在［-1,2)上单调递减，在⑵3］上单调递增，

又〃T)=5e-∣,/(3)=(32-3×3+l)e3=e3,

所以f(-l)<f(3)

所以在区间［T3］上的最大值为"3)=e3,

最小值为"2)=Q2-3χ2+l)e2=-e2.

19.—个口袋内有5个不同的红球，4个不同的白球.

(1)若将口袋内的球全部取出后排成一排，求白球互不相邻的排法种数；

(2)已知取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若从口袋内任取5个球，总分不少于8

分，求不同的取法种数.

【正确答案】⑴43200

(2)81

【分析】(1)使用插空法可解；

(2)分3红2白，4红1白，5红三种情况求解即可.

【详解】(1)先将5个红球排成一排共A；=5x4x3x2xl=120,再将4个白色小球插入到6

个空位中有A：=6x5x4x3=360,

所以白球互不相邻的排法种数为120x360=43200种.

(2)当取出的小球为3红2白时得8分，共C；C；=10x6=60种；

当取出小球为4红1白时得9分，共C；C；=5x4=20种；

当取出小球都是红球时得10分，共1种.

所以口袋内任取5个球，总分不少于8分的取法共有60+20+1=81种.

20.已知函数/(x)=InX-X-1,⅛(x)=∣4uc3-αr(a>0).

⑴判断了(x)的零点个数，并说明理由；

(2)若对任意的芭e(l,e