2023年高考数学押题卷及答案（十三）

2023年高考数学押题卷及答案（十三）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.

1.复数牛在复平面上对应的点在第------象限.

2.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类

分别有40种、10种、30种、20种，从中抽取一个容量为20的样本进

行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类

与果蔬类食品种数之和是.

3.已知集合A={x|x>5},集合8={x|x>a},若命题"xeA”是命

题“xeB”的充分不必要条件，则实数”的取值范围.

是•

4.如图，直三棱柱4吐46G中，AB=1,於2,

44=3,

"为线段缈上的一动点，则当月"+阳最小时，△4MG

的面积

为•

（第4题）.

5.集合A={3,logf},B={兄外,若A8={2},贝|4B=.

6.阅读如图.所示的程序框，若输入的〃是100,则输出的变量S的值

是

7.向量a=(cosl(),sinlO)力=(cos70,sin70),\a-2Z>|=.

8.方程xlg(x+2)=1有个不同的实数根.

9.设等差数列｛4｝的前〃项和为5.，若2W/W3,则§6的取值

范围是.

222

10.过双曲线鼻-斗=l(a〉O1>0)的左焦点/(-c,0)(c〉0),作圆：/+),2=幺的

ab4

切线，切点为E,直线房交双曲线右支于点P,若OE=，(OF+OP),则

2

双曲线的离心率为.

11.若函数/(x)=/n?+lnx-2x在定义域内是增函数，则实数成的取值范围是

12.如果圆(x-a>+(y-a)2=4上总存在两个点到原点的距离为1,则实数a的

取值范围是.

13.已知实数满足x-Jx+l=Jy+3-y,贝Ux+y的最大值为.

14.当〃为正整数时，函数N(〃)表示”的最大奇因数，如N⑶=3,N(10)=5,…，设

S“=N⑴+N⑵+N⑶+N(4)+…+N(2"-1)+NQ"),贝！JS„=.

答案

1.四2.63.〃<54.65.{2,3,4}6.50497.后

8.29.[-12,42]

10.巫11.，心!12.(—3及，-克)5也」收)13.4.

222222

14.—

3

二、解答题：本大题共六小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答,

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题满分14分）

3

在锐角AA3C中，角A,B,C所对的边分别为a,〃，c.已知cos2c

4

(1)求sinC；(2)当c=2a,且力=34时，求a.

3

解1)由已知可得l-2sin2c所以

4

7

sin2C=2分

8,

因为在MBC中sinC>0所以

sinC巫

4分.

4

2)因为c=2a所以

V14

sinA=-sinC6分

2

锐角三角形,所以cosC4

因为AABC是

8分

8

.sinAcosC+cosASinC=^x^+^x^^^7.11

所以sin8=sin(A+C)

84848

分

3#ia

由正弦定理可得，所以

sinBsinA

a=V14.14分

说明：用余弦定理也同样给分.

16.（本题满分14分）

如图，A8CQ是边长为3的正方形，平面

ABCD，AF//DE,DE=3AF.

⑴求证：ACJ_平面BOE；

（2）设点M是线段6。上一个动点，试确定点M的位置,

使得AM〃平面并证明你的结论.

解：（.1）证明：因为OE_L平面ABC。,

所以QELAC................2分

因为A3CD是正方形，

所以AC_LB。，因为。EcBO=O...........4分

从而AC_L平面BOE................6分

（2）当〃是初的一个三等分点，即3HQ初时,4M〃平面庞F........7

分

取彼上的三等分点儿度3BN=BE,连结MN,NF,贝ij应〃削且应'=

ZMN,

因为AF〃DE,且加=34凡所以"'〃恻且〃'=施；

故四边形AMNF是平行四边

形............................10分

所以AM//FN,

因为加（z平面BEF,/Wu平面

BEF,................................12分

所以//〃平面

BEF................................14分

17.（本题满分14分）

已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2,一条准线方程为1：x=2.

⑴求椭圆的标准方程；

⑵设。为坐标原点，分是椭圆的右焦点，点"是直线/上的动点，过点

分作QM的垂线与以〃物为直径的圆交于点式求证:线段放的长为定

值.

解：⑴•.•椭圆C的短轴长为2,椭圆。的一条准线为】x=2,

不妨设椭圆。的方程为《+y2=l.（2分）..・4=H^=2,（4分）

a~cc

即c=l.（5分）

椭圆。的方程为］+y2=i.（6分）

⑵尸（1,0）,右准线为/：x=2,设N（%,%）,

则直线/W的斜率为%="」，直线班的斜率为%=比，（8分）

,:FNLOM,直线。1的斜率为坛w=—红」，（9分）

%

工直线〃M的方程为：y=-生」x,点物的坐标为加（2,-也且）.（11分）

%%

2（%—1）

%+------

...直线腑的斜率为%,=-----A.（12分）

%-2

,2（x0-l）

X）十

■:MN1ON,：.k-k=-\,：-------—•&=-1,

MNON%-2%

2

Ay0+2（x0-1）+x0（x0-2）=0,即城+方=2.（13分）ON=0为定值.（14

分）

说明：若学生用平面几何知识（圆幕定理或相似形均可）也得分，设垂

足为P,准线1与X轴交于Q,则有ON?=OP&W,又OPgOM=OF^）Q=2,所

以。N=及为定值.

18.（本题满分16分）

如图，直角三角形4%中，/方=90,AB=\,百.点MN分别在

边四和AC

上（"点和夕点不重合），将吩V沿物V翻折，眦变为砌V,使顶点4

落在边勿

上（4点和夕点不重合）.设N4/V=e.

（1）用。表示线段AM的长度，并写出。的取值范围；（2）求线段AN长度

的.最小值.

✓7

解：（1）设M4=MA=x,贝!=x.（2分）'卜、

;、'、

1_:\、、、、、“

在Rt△/跖4中，cos（180-20）=--,（4分）

：.MA=x=—^（5分）刖

1-cos202sin_0-

6A1♦

•••点"在线段/4上，"点和夕点不重合，4点和

5点不重合，，45<0<90.（7分）

（2）在△/册中，N4W=120。-巴（8分）

—=一空一,（9分）

sinGsin（120-0）

・A1

sin0----i

AN=——2sin_e=-----i-----.（10分）

sin（120-0）2sinGsin（120-0）

令f=2sin0sin（120-0）=2sin0（—sin0dcos0）=sin20+V3sin0cos0

22

=g+争in20-：cos20=g+sin（20一30）.（13分）

745<e<90,/.60<20-30<150.（14分）

当且仅当20-30=90,。=60时，有最大值之，(15分)

2

...9=60时，AW有最小值2.(16分)

3

19.(本题满分16分)

已知％e/?,函数f(x)=mx+k-nx(0<m^l,0<n^l).

(1)如果实数九〃满足/n>l,mw=l,函数f(x)是否具有奇偶性?如果有，求

出相应的4

值；如果没有，说明为什么？

(2)如果机判断函数/(X)的单调性；

(3)如果机=2,"=；，且％工0,求函数y=/(x)的对称轴或对称中心.

解：(1)如果/(X)为偶函数，则/(-x)=/(X),+h〃-*=07*+h**恒成立，(1分)

即：nx+k-mx^mx+k-nx,(nx-m')+k(m'-)=0,(〃，-/n*)(A-1)=0(2分)

由/-/=0不恒成立，得k=l.(3分)

如果f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),inx+k-n~x=-mx-k-nx恒成立，(4分)

即：♦+♦•川=一一一左/，(相+川)+%(屐+相)=o,(5分)

(rtx+mx)(fc+l)=0,由nx+mxHOT旦成立，得女=-1.(6分)

(2)m>1>〃>0,竺〉1,:.当女40时，显然f(x)=mx+k-nx在7?上为增函数;

n

(8分)

当&>0时，fXx)=mxInm+knxInn=[(—)']nm+kInn)]nx=0，

n

由nx>0,得('),Inm+%Inn=0,得(—)x=-k皿^=-klog,”n,得x=log(-&logri).(9

〃n\nm-ww

分)

•••当X£(-8,10g丝(-ZlOg〃/)]时，f(X)<0,/(X)为减函数；(10分)

n

当xe[log,,,(-«log“,〃),+8)时，r(x)>0,『(X)为增函数.(11分)

(3)当zn=2,〃=g时，f(x)=2X+k-2~x,

如果上<0,f(x)=2*+h2-x=2*-(-&)•2T=2'-2幅T)-2T=2X-,(13分)

/(log2i-k)-x)=-/(x),函数y=/(x)有对称中心glogJ-A),。).(14分)

如果—>0,f(x)=2:+H2T=2*+2脸仙2-，=2*+2*—,(15分)

贝Uy(log2%-x)=f(x),「.函数y=/(x)有对称轴x=；log2k.(16分)

20.(本题满分16分)

已知各项均不为零的数列｛4｝的前7?项和为S,且满足a｝=c,2Sa=a国

+i+r.

(1)若r=—6,数列｛a｝能否成为等差数列？若能，求c满足的条件；

若不能，请说明理由.

.⑵设+%-,0“=^+^^++⑸，

«1-«2«2一"3%-%

若r>c>4,求证：对于一切〃£N*,不等式-〃<e,-Q“</+"恒成

立.

解：(1)〃=1时一，2a=句&+—•.,8=。70,.,.2c=ca2+r,a=2--.(1

2c

分)

时，2s>=H〃aJ+i+r,①2Sn-i=an-ia„+r,②

=

①一②，得2a〃=—3n-i).,•*a,a„+i—a,n-)2.(3

分)

则a”a3,品，…，a2n-i,…成公差为2的等差数列，a2n-1=a,+2(/?—1).

a2,a”为，…，a2n,…成公差为2的等差数列，a2„=a2+2(/?—1).

要使｛4｝为等差数列，当且仅当a?—&=1.即2,-c=i.r=c—c2.(4

c

分)

Vr=-6,：.c-c-6=0,c=-2或3.

・•,当C=-2,a,=0,不合题意，舍去.

.•.当且仅当c=3时，数列｛q｝为等差数列(5分)

(2)"2"-i=[8+2(〃—1)]—[a+2(/7—1)]—a\—a=c+--2.

22c

%,-//I=[4+2(〃-1)]—(31+2/?)=a—Si—2=—(c+-).(8分)

2c

••Pn=---5[na[+—―x2]=--5---/t(n+c-l)(9分)

c+C-22c+J

cc

Qn=-----[na2+――~~—x2]=n(n+1--).(10分)

c+J-'2c+,一rc

cc

11r

P-Q=------〃(〃+c-l)+----n(n+1--)=------+----n~4-+———n.(11

tlnr_r-----r-r

c+--2c+-cc+-2c+c+-2c'+

分）

Vr>c>4,c+C>2/>4,C+C-2>2..\0<—!—+-L<LL3〈

ccc+r_2c+C244

cc

1.(13分)

1--

且1.（14分）

r-rrr

c+——2c+—c+——2c+一

又••丁>。>4,**•—>!?贝ll0<^c-l<c+—-2.0<c+l<c+—.

ccc

vi.(15分)

r_rr_r

c+-2c+—c+——2c+一

•••对于一切〃£N*,不等式-〃<2-Q“<"2+〃恒成立.（16分）

附加题部分

21.（选做题）本大题包括A,B,C,D共4小题，请从这4

题中选做2小题.每小题10分，共20分.请在答题卡

（第21-a题图）“

上准确填涂题目标记.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.选修4一1：几何证明选讲

如图，。。的直径/方的延长线与弦切的延长线相交于点R歹为。。上

一点，AB-AC,求证：4PDE=/P0C.

证明：因力斤4G力夕为直径，

故ZOAC=Z

OAE..................................................3分

所以NPOO-ZOAC+ZOCA=AOAC+/OAC=AEAC.

又/EAO/PDE,

所以，ZPD舁Z

POC................................................10分

B.选修4—2矩阵与变换

已知矩阵"=；；,其中aeR,若点P(L-2)在矩阵"的变换下得到点

P'(-4,0)，

(1)求实数a的值；

(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.

解：(1)由;；分),**2-2«=-4=>«=3.(3分)

(2)由(1)知"=,则矩阵"的特征多项式为

21

九一2—3

/(2)=2,j=(/l-2)(Z-l)-6=22-3A-4(5分)

令/⑷=0,得矩阵M的特征值为-1与4.（6分）

("2)x_3y=0

当4=—1时一,=>x+y0

-2x+(/l-l)y=0-

矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为\；（8分）

一1

(/l-2)x-3y=0

当4=4时一,[_2x+(Dy=0n2x-3y=0

•••矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为^（1。分）

C.选修4—4参数方程与极坐标

在平面直角坐标系xOy中，动圆V+）2-8xcos6-6ysinJ+7cos20+8=0（q\R）

的

圆心为p（x。，为）,求4-%的取值范求

【解】由题设得俨=：个，（g为参数，

3sinq

〃R）.........................5分

于是2x0-%=8cos。-3sin，=^/75cos（0+夕），

所以

-屈W2x0-%W瓦..................1

0分

D.选修4一5：不等式选讲

已知x,y,z均为正数.求证：工+上+J_+.

yzzxKxy21x+yz

证明：因为X,y,Z都是为正数，所以

土+上」(土+马》2..............3分

yzzxzyxz

同理可得上+三)2,三+二)2.

zxxyxxyyzy

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2,得

土+-+LL.....io分

yzzxxyxyz

22.必做题，本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

已知抛物线尸=4光的焦点为产，直线过点M(4,0).

(1)若点F到直线的距离为6,求直线的斜率；(4分)

(2)设A,8为抛物线上两点，且A8不与x轴垂直，若线段A3的垂直平

分线恰过点M,求证：线段A8中点的横坐标为定值.(6分)

解：(1)由已知，x=4不合题意.设直线的方程为＞=心-4),

由已知，抛物线C的焦点坐标为

(1,0),1分

因为点尸到直线的距离为6,所以

2分

解得T,所以直线的斜率为

4-4分

(2)设线段A6中点的坐标为NOo,y。)，A(xi,yi),B(x2,y2),

因为A3不垂直于x轴，则直线MN的斜率为直线AB的斜率为

龙o-4

4-x()

%，

直线A5的方程为

y-%=-----(x-x0),.................5分

%

4-x0、

七壬口y-%=--(x-x),

联乂方程《先0

y2=4%,

消去x得

(1一子)'2_%/+4+/(尤0-4)=0,.................7分

所以

4%

4一九。

,•,8分

因为N为A5中点，所以正&=%,即

%，....................9分

所以%=2.即线段回中点的横坐标为定值

....................10分

23.必做题，本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

已知£,(x)=(l+x)",

a

(1)右f20lI(x)=%+++。2011%一°"，求\+。3T---卜。2009+“2011的值；(3分)

(2)若g(x)=/(x)+2/7(x)+3/8(x)，求g(x)中含无6项的系数；(3分)

(3)证明：C"'+2C\+3C",++nCm+口C""'.(4分)

解：(1)因为/“(x)=(l+x)”,所以%u(x)=(l+x严，又

人011(X)=。0+qx++。2011》,

所以7201«)=/+。1++。2011=2刈1