中考数学二轮复习考点培优专练专题九 以图形变换为背景的四边形问题（原卷版）

专题九以图形变换为背景的四边形问题一、以平移为背景的问题例题1如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系SKIPIF1<0内，已知SKIPIF1<0．（1）点C的坐标是（___，__）；（2）若将平行四边形OABC绕点O逆时针旋转SKIPIF1<0得OFDE，DF交OC于点P，交y轴于点F，求SKIPIF1<0的面积；（3）在（2）的情形下，若再将平行四边形OFDE沿y轴正方向平移，设平移的距离为d，当平移后的平行四边形SKIPIF1<0与平行四边形OABC重叠部分为五边形时，设其面积为S，试求出S关于d的函数关系式，并直接写出d的取值范围．练习题1．将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′BC′．（1）在图2中，除△ADC与△C′BA′全等外，请写出其他2组全等三角形；①；②；（2）请选择（1）中的一组全等三角形加以证明．2．如图，将边长为4的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△ABC．（1）当两个三角形重叠部分的面积为3时，求移动的距离AA；（2）当移动的距离AA是何值时，重叠部分是菱形．3．如图1，在平面直角坐标系中，正方形SKIPIF1<0的面积等于4，长方形SKIPIF1<0的面积等于8，其中点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上．（1）请直接写出点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标；（2）如图2，将正方形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0轴向右平移，移动后得到正方形SKIPIF1<0，设移动后的正方形SKIPIF1<0长方形SKIPIF1<0重叠部分（图中阴影部分）的面积为SKIPIF1<0；①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0______；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0______；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0______；②当SKIPIF1<0时，请直接写出SKIPIF1<0的值．4．问题背景在综合实践课上，同学们以图形的平移与旋转为主题开展数学活动,如图（1），先将一张等边三角形纸片对折后剪开，得到两个互相重合的△ABD和△EFD，点E与点A重合，点B与点F重合，然后将△EFD绕点D顺时针旋转，使点F落在边AB上，如图（2），连接EC．操作发现（1）判断四边形BFEC的形状，并说明理由；实践探究（2）聪聪提出疑问：若等边三角形的边长为8，能否将图（2)中的△EFD沿BC所在的直线平移a个单位长度（规定沿射线BC方向为正），得到△SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得得到的四边形SKIPIF1<0为菱形，请你帮聪聪解决这个问题，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由。（3）老师提出问题：请参照聪聪的思路，若等边三角形的边长为8，将图（2）中的△EFD在平面内进行一次平移，得到△SKIPIF1<0，画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的一个结论，不必证明．5．如图（1），在平面直角坐标系中，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且m，n满足SKIPIF1<0，将线段SKIPIF1<0向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段SKIPIF1<0，其中点C与点A对应，点D与点B对应，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）在x轴上是否存在点P，使三角形SKIPIF1<0的面积等于平行四边形SKIPIF1<0的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），点E在y轴的负半轴上，且SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．6．如图①，在平面直角坐标系中，点SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0，现同时将点SKIPIF1<0分别向上平移SKIPIF1<0个单位长度，再向右平移SKIPIF1<0个单位长度，分别得到点SKIPIF1<0的对应点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0问题提出:（1）请直接写出点SKIPIF1<0的坐标SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，及四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0﹔拓展延伸:（2）如图①，在坐标轴上是否存在一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，若存在，请求出点SKIPIF1<0的坐标，若不存在，试说明理由.迁移应用:（3）如图②，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的个动点，连接SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上移动时(不与SKIPIF1<0重合）给出下列结论：①SKIPIF1<0的值不变，②SKIPIF1<0的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值.7．综合与实践．如图1，将两个全等的三角尺SKIPIF1<0与三角尺SKIPIF1<0如图摆放（SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合），其中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）如图2，固定三角尺SKIPIF1<0不动，将三角尺SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0方向平移至图2位置，分别连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则四边形SKIPIF1<0的形状为______；（2）如图3，在图2的基础上，将三角尺SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0方向继续平移，当四边形SKIPIF1<0是菱形时，分别连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①请判断此时四边形SKIPIF1<0的形状，并说明理由；②若SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0的周长为______．8．如图，在平面直角坐标系中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，现同时将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对应点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）写出点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标分别是______，______；四边形SKIPIF1<0的面积为______；（2）在SKIPIF1<0轴上是否存在点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得三角形SKIPIF1<0面积是三角形面积SKIPIF1<0的2倍，若存在，请求出点SKIPIF1<0的坐标：若不存在，请说明理由；（3）若点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上一点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，请你直接写出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系．9．如图，在平面直角坐标系中，四边形SKIPIF1<0各顶点的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，现将四边形SKIPIF1<0经过平移后得到四边形SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的对应点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0．（1）请直接写点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐标；（2）求四边形SKIPIF1<0与四边形SKIPIF1<0重叠部分的面积；（3）在SKIPIF1<0轴上是否存在一点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，若存在这样一点，求出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．平移线段SKIPIF1<0得到线段SKIPIF1<0，使点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0对应，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0对应，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，并直接写出点SKIPIF1<0的坐标；（2）点SKIPIF1<0在射线SKIPIF1<0（不与点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合）上，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．①若三角形SKIPIF1<0的面积是三角形SKIPIF1<0的面积的2倍，求点SKIPIF1<0的坐标；②设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足的关系式．二、以轴对称（折叠）为背景的问题例题2如图1，四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，经过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0将四边形分成两部分，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角设为SKIPIF1<0，将四边形SKIPIF1<0的直角SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0折叠，点SKIPIF1<0落在点SKIPIF1<0处（如图1）．（1）若点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，则SKIPIF1<0_______，SKIPIF1<0_______；（2）若折叠后点SKIPIF1<0恰为SKIPIF1<0的中点（如图2），则SKIPIF1<0的度数为_________．（3）在（2）的条件下，求证：SKIPIF1<0．练习题1．如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P从点C出发，沿折线CB﹣BA以每秒5个单位长度的速度向点A运动，同时点E从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点P到达点A时，点P、E同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连接PQ交AC于点F，连接EP、EQ，设点P的运动时间为t秒．(1)当点P在CB上时，用含t的代数式表示AF＝______；当点P在AB上时，用含t的代数式表示AF＝______；(2)当△EPQ为直角三角形时，求t的值．(3)如图②，取PE的中点M，连接QM．当P在AB上，且QM∥CD时，求t的值．当点P在CB上运动时，是否存在QM∥AD的情况，如果存在直接写出t的值，如果不存在请说明理由．2．几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使SKIPIF1<0的值最小，方法：作点B关于直线l的对称点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交l于点P，则SKIPIF1<0的值最小．直接应用：(1)如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且SKIPIF1<0，N是AC上一动点，则SKIPIF1<0的最小值为______．变式练习：(2)如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是SKIPIF1<0的中点，P是直径MN上一动点，求SKIPIF1<0的最小值．深化拓展：(3)如图4，在锐角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求SKIPIF1<0的最小值．(4)如图5，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使SKIPIF1<0．（要求：保留作图痕迹，并简述作法．）3．在学习实数时，我们知道了正方形对角线的长度是边长的SKIPIF1<0倍，所以等腰直角三角形的底边长是腰长的SKIPIF1<0倍．例如，图1中的四边形ABCD是正方形，SKIPIF1<0ABC是等腰直角三角形，则AC＝SKIPIF1<0AB．小玲遇到这样一个问题：如图2，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BC＝2SKIPIF1<0，AD⊥BC于点D，求AD的长．小玲发现：如图3，分别以AB，AC为对称轴，分别作出SKIPIF1<0ABD，SKIPIF1<0ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC交于点G，可以得到正方形AEGF，根据轴对称图形的性质和正方形四条边都相等就能求出AD的长，请直接写出：BD的长为，BG的长为，AD的长为；参考小玲思考问题的方法，解决问题：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），B（0，4），AB＝5，点P是SKIPIF1<0OAB外角的角平分线AP和BP的交点，直接写出点P的坐标为.4．如图1，在矩形ABCD中，AB=a，BC=6，动点P从B出发沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′．（1）如图2，当点P在线段BC上运动时，直线PB′与CD相交于点M，连接AM，若∠PAM=45°，请直接写出∠B′AM和∠DAM的数量关系；（2）在（1）的条件下，请求出此时a的值：（3）当a=8时，①如图3，当点B′落在AC上时，请求出此时PB的长；②当点P在BC的延长线上时，请直接写出△PCB′是直角三角形时PB的长度．5．已知，四边形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．①如图1，当四边形SKIPIF1<0为矩形时，请直接写出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系；（2）如图2，当四边形SKIPIF1<0为平行四边形时，①（1）题中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②如图3，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的延长线相交于点SKIPIF1<0，请直接写出SKIPIF1<0的值．6．【源模：模型建立】白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐

李欣诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，从而解决距高和最短的一类问题．“将军饮马”问题的数学模型如图所示：【新模1：模型应用】如图1，正方形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为对角线SKIPIF1<0上一动点，欲使SKIPIF1<0周长最小．（1）在图中确定点SKIPIF1<0的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）；（2）SKIPIF1<0周长的最小值为______．【新模2：模型变式】（3）如图2，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在矩形SKIPIF1<0内部有一动点SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的距离和SKIPIF1<0的最小值为______．【超模：模型拓广】（4）如图3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．请构造合理的数学模型，并借助模型求SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值．7．如图①，在矩形SKIPIF1<0中，点A在SKIPIF1<0轴正半轴上，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴正半轴上，点SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）直接写出点SKIPIF1<0的坐标：________；（2）如图②，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上，连接SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠，点SKIPIF1<0恰好与线段SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0重合，求线段SKIPIF1<0的长度；（3）如图③，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0交线段SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0在第一象限，且SKIPIF1<0，试求符合条件的所有点SKIPIF1<0的坐标．8．李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、一次函数、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题．“将军饮马”问题的探究与拓展八年级三班

李明“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐·李颀《古从军行》），这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从SKIPIF1<0地出发到河边SKIPIF1<0饮马，然后再到SKIPIF1<0地军营视察，怎样走路径最短？【数学模型】如图1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0同旁的两个定点．在直线SKIPIF1<0上确定一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0的值最小．【问题解决】作点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0即为所求．此时，SKIPIF1<0的值最小，且SKIPIF1<0．【模型应用】问题1．如图2，经测量得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点到河边SKIPIF1<0的距离分别为SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，且SKIPIF1<0米．请计算出“将军饮马”问题中的最短路径长．问题2．如图3，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是对角线SKIPIF1<0上的一个动点，则SKIPIF1<0的最小值是________．问题3．如图4，在平面直角坐标系中，点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0．（1）请在SKIPIF1<0轴上确定一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0的值最小，并求出SKIPIF1<0的坐标；（2）请直接写出SKIPIF1<0的最小值．【模型迁移】问题4．如图5，菱形SKIPIF1<0中，对角线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点，求SKIPIF1<0的最小值．9．如图①，矩形SKIPIF1<0的SKIPIF1<0分别在y轴与x轴上，已知点B的坐标为SKIPIF1<0，动点D从点O开始沿射线OA以每秒3个单位的速度运动，动点E从点C始沿射线CO以每秒k个单位的速度运动.点D，E同时出发，设运动时间为t秒SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠，得到SKIPIF1<0．（1）若k的值为4，则t为何值时四边形SKIPIF1<0为正方形？（2）k为何值时四边形SKIPIF1<0为矩形？（3）如图②，在线段SKIPIF1<0上取一点F，使得SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，是否存在一个k值，使得四边形SKIPIF1<0为菱形？若存在，求出k以及此时t的值；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，矩形SKIPIF1<0的顶点A在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标为SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0分别与射线SKIPIF1<0、射线SKIPIF1<0交于点E、F．作四边形SKIPIF1<0关于直线l的轴对称图形SKIPIF1<0．（1）当直线l恰好平分矩形SKIPIF1<0的面积时，求直线l的解析式；（2）当线段SKIPIF1<0与y轴有交点时，求b的取值范围；（3）当直线l从点C出发，向x轴正方向运动，同时另一点P从O点出发向x轴正方向运动，直线l与点P的速度之比为3：1，连结SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0中有一边平行于矩形SKIPIF1<0的某一边时，求SKIPIF1<0的面积．三、以旋转为背景的问题例题3在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为平面内任意一点，连接SKIPIF1<0，将线段SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)如图①，当点SKIPIF1<0在菱形SKIPIF1<0内部时，判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系，并写出证明；(2)如图②，当点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在同一条直线上时，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．练习题1．已知：在矩形SKIPIF1<0中，把矩形SKIPIF1<0绕点C旋转，得到矩形SKIPIF1<0，且点E落在SKIPIF1<0边上，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点H．(1)如图1，求证：SKIPIF1<0；(2)如图2，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中所有数量关系为2倍的两条线段．2．阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC≌△CEB．(1)探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝SKIPIF1<0x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝SKIPIF1<0，请你求出直线CD的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．3．（1）问题提出：在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，以SKIPIF1<0为边在SKIPIF1<0右侧作正方形SKIPIF1<0，如图SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0的数量关系为______．（2）深入探究：将正方形SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0在平面内旋转，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中的结论是否有变化？请说明理由；（3）拓展延伸：若SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0在平面内旋转的过程中，当点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在一条直线上时，直接写出线段SKIPIF1<0的长．4．问题提出（1）如图1，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转90°得SKIPIF1<0．①求线段SKIPIF1<0的长；②求点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离．问题解决（2）如图2，为积极响应北京冬奥会“三亿人上冰雪”，让冰雪运动走向大众，某地利用山谷坡地准备建造一处滑雪场地SKIPIF1<0，按设计要求，在SKIPIF1<0上选一点SKIPIF1<0，修建格挡SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为工作区，SKIPIF1<0为热身试滑区域．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．请问是否存在符合设计要求的面积最大的热身试滑区域SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0面积的最大值及此时SKIPIF1<0的长；若不存在，请说明理由．5．已知正方形ABCD中，点E是边CD上一点（不与C、D重合），将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如图1，连接EF分别交AC、AB于点P、G．(1)请判断△AEF的形状；(2)求证：SKIPIF1<0(3)如图2，当点E是边CD的中点时，PE=1，求AG的长．6．（1）问题发现：如图SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，以SKIPIF1<0为一边作正方形SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0恰好与点SKIPIF1<0重合，则线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系为______；（2）拓展探究：在（1）的条件下，如果正方形SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0旋转，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的数量关系有无变化？请仅就图SKIPIF1<0的情形给出证明；（3）问题解决：当正方形SKIPIF1<0旋转到SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线时候，直接写出线段SKIPIF1<0的长．7．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且DE=CF，点P在射线BC上(点P不与点F重合).将线段EP绕点E顺时针旋转90得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q．(1)如图①，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，则线段BP，QC