中考数学必背知识手册 圆（公式、定理、结论图表）

知识必备Io圆（公式、定理、结论图表）

考点一、圆的有关概念

1.圆的定义

如图所示，有两种定义方式：

①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做

圆.固定的端点。叫做圆心，以0为圆心的圆记作00,线段OA叫做半径；

②圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

A

要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.

2.与圆有关的概念

①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB,BC,AC都是弦.

②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是OO的直径，直径是圆中最长的弦.

③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC,BAC都是。0中的弧，分别记作BC,

BAC.

④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆.

⑤劣弧：像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧.

⑥优弧：像BAC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧.

⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆.

⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.

⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.

⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.

⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中NAOB,/BOC是圆心角.

⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中NBAC、/ACB都是圆周角.

要点诠释：

圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.圆外角度数等于它所夹弧的度数的差的一半.圆内角度

数等于它所夹弧的度数的和的一半.

典例1：（2022•西藏）如图，AB是。0的弦，OC_LA2,垂足为C,OD//AB,OC=^OD,则/A3。的度

2

数为（）

A.90oB.95oC.IOOoD.105°

【分析】连接08，则。C=工08,由。CJ_A8,则/OBC=30°,再由即可求出答案.

连接OB,则OB=OD,

"：OC=^OD,

2

：.OC^—OB,

2

VOC±AB,

NOBC=30°,

`:OD//AB,

.∙./BOQ=NOBC=30°,

：.NOBD=NODB=15",

NABo=30°+750=IO5°.

故选：D.

【点评】本题考查了圆，平行线的性质，解直角三角形，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利

用圆的半径相等是解题的关键.

考点二、圆的有关性质

1.圆的对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条.圆是中心对称图形，圆心是对称中心,

又是旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合.

2.垂径定理

①垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧.

②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如图所示.

要点诠释：在图中（1）直径CD,（2）CD±AB,（3）AM=MB,（4）AC=BC,（5）AD=BD.若上述5个条件

有2个成立，则另外3个也成立.因此，垂径定理也称“五二三定理”.即知二推三.

注意：（1）（3）作条件时，应限制AB不能为直径.

3.弧、弦、圆心角之间的关系

①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；

②在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等.

4.圆周角定理及推论

①圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

②圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中.

典例2：（2022∙宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1）,隋代建造的赵州桥距今约有1400

年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆

弧形，表示为源.桥的跨度（弧所对的弦长）A8=26"i,设M所在圆的圆心为O,WOCLAB,垂足

为D.拱高（弧的中点到弦的距离）CD=5m.连接。B.

（1）直接判断AO与8。的数量关系；

（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到Iw）.

O

【分析】(I)根据垂径定理便可得出结论；

(2)设主桥拱半径为凡在RtaOBO中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果.

【解答】解：(1)YOCLAB,

：.AD=BD-,

(2)设主桥拱半径为R,由题意可知A8=26,CD=5,

AfiD=AAB=13,

2

OD=OC-CD=R-5,

VZOPfi=90°,

.'.OD2+BD2=OB2,

：.(R-5)2+132=Λa,

解得R=I9.4g19,

答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19〃?.

【点评】此题考查J'垂径定理，勾股定理.此题难度不大，解题的关键是方程思想的应用.

典例3：(2022•六盘水)祥舸江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个

“齐天大圣”守护洞口的传说.真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是

月亮洞的截面示意图.

(1)科考队测量出月亮洞的洞宽CQ约是28根，洞高AB约是12,",通过计算截面所在圆的半径可以解

释月亮洞像半个月亮，求半径OC的长(结果精确到0.1〃?)；

(2)若NCOO=I62°,点M在琉匕求NCM。的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M

在洞顶位上巡视时总能看清洞口CD的情况.

【分析】(1)设OA=OC=&〃，利用勾股定理求出R即可；

(2)补全。。，在CC的下方取一点M连接CMDN,CM,DM,利用圆周角定理，圆内接四边形的

性质求解即可.

【解答】解：(I)设OA=OC=Rm,

'：OALCD,

：.CB=BD=工CD=14m,

2

在Rt△COB中，OC2^OB2+CB2,

.∖R2=∖42+(R-12)2,

.R_85

6

.∙.OC=巫F4.2∕n.

6

(2)补全。0,在CQ的下方取一点M连接CMDN,CM,DM,

VZ∕V=AZCOD=81°,

2

；NCWC+NN=180°,

ΛZCΛ∕D=99o.

VZCMD=99o不变，是定值，

“齐天大圣”点M在洞顶琉E巡视时总能看清洞口S的情况.

【点评】本题考查垂径定理的应用，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用

参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

典例4：（2022∙黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角α（αV180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇

子会显得更加美观，若黄金比取0.6,则B-a的度数是90。.

【分析】根据已知，列出关于a,B的方程组，可解得a,B的度数，即可求出答案.

a

【解答】解：根据题意得:J-=O.6

a+β=360°

a=135

β=225o

.∙.0-a=225°-135°=90°,

故答案为：90°.

【点评】本题考查圆心角，解题的关键是根据周角为360°和已知，列出方程组.

典例5：（2022•南通）如图，四边形ABC。内接于。0,8。为。。的直径，AC平分N54。，CD=2√5,点

E在BC的延长线上，连接

（1）求直径8。的长；

（2）若BE=5m,计算图中阴影部分的面积.

【分析】（1）由8。为。。的直径，得到N8C0=9O°,AC平分/8AO,得到N8AC=∕D4C,所以8C

=OC,是等腰直角三角形，即可求出80的长；

（2）因为BC=OC,所以阴影的面积等于三角形C£>E的面积.

【解答】解：（1）YB。为OO的直径，

：.NBCD=NDCE=90°,

'：AC平分NBA。,

.∙.N8AC=NDAC,

：.BC=DC=2近,

ΛBD=2√2×√2=4;

(2)Vβf=5√2-

ΛCE=3√2.

•：BC=DC,

ΛSsικ=5∆Cθe=A×2√2×3√2=6.

2

【点评】本题考查r圆的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握圆周角

定理是解题的关键.

考点三、与圆有关的位置关系

1.点与圆的位置关系

如图所示.d表示点到圆心的距离，r为圆的半径.点和圆的位置关系如下表：

点与圆的位置关系d与r的大小关系

点在圆内d<r

点在圆上d=r

点在圆外d>r

(1)圆的确定：

①过一点的圆有无数个，如图所示.

②过两点A、B的圆有无数个，如图所示.

③经过在同一直线上的三点不能作圆.

④不在同一直线上的三点确定一个圆.如图所示.

(2)三角形的外接圆

经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接

圆.三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心就是

三角形三条边的垂直平分线交点.它到三角形各顶点的距离相等，都等于三角形外接圆的半径.如图所示.

①设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表.

位置关系相离相切相交

图形豆

公共点个数O12

数量关系d>rd=rd<r

②圆的切线.

切线的定义：和圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线.这个公共点叫切点.

切线的判定定理：经过半径的外端.且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

友情提示：直线?是。。的切线，必须符合两个条件：①直线/经过。。上的一点A；②OA_LJ.

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.

切线长定义：我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切

线的夹角.

③三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内

心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点.

要点诠释：

找三角形内心时，只需要画出两内角平分线的交点.

三角形外心、内心有关知识比较

图形名称确定方法性质

外心（三三角形三①OA=OB=

角形外边垂直平Oa②外心不

∖Z⅛A∕接圆的分线的一定在三角形

圆心）交点的内部

A内心（三三角形三(∑CD=(JE=CFι

角形内个内角平②CHgCC分

切圆的分线的别平分/BAC、

D圆心）交点ZABC^ACB

3.圆与圆的位置关系

在同一平面内两圆作相对运动，可以得到下面5种位置关系，其中R、r为两圆半径（R2r）.d为圆心

距.

图形一

位置关系公共点个数R、，与d的关系

外离0<Γ>R÷r

外切∕Λ1d=R+r

相交2R-r≤J<JC-Fr

内切李1d≈R-r

内含Qd<R-r

要点诠释:

①相切包括内切和外切，相离包括外离和内舍.其中相切和相交是重点.

②同心圆是内含的特殊情况∙

③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解.

rt)

④rl-r√时，要特别注意，r,>r2.

典例6：(2022•淮安)如图，AABC是Oo的内接三角形，NACB=60°,AD经过圆心。交G)O于点E,

连接8。，ZADB=30°.

(1)判断直线8。与OO的位置关系，并说明理由；

(2)若A8=4Λ∕5,求图中阴影部分的面积.

【分析】(1)连接8E,根据圆周角定理得到NAEB=∕C=60°,连接08,根据等边三角形的性质得到

/800=60°,根据切线的判定定理即可得到结论；

(2)根据圆周角定理得到ZABE=90°,解直角三角形得到OB,根据扇形和三角形的面积公式即可得

到结论.

【解答】解：(1)直线Bo与OO相切，

理由：连接8E,

VZACB=60°,

二NAEB=NC=60°,

连接08,

,.∙OB=OE,

ZX08E是等边三角形，

/800=60°,

VZΛDβ=30o,

AZDBD=180°-60°-30°=90°,

J.OBLBD,

；OB是。。的半径，

直线8。与。。相切;

(2)；AE是。。的直径，

.∙.NABE=90°,

VAB=4√3-

sin∕4EB=sin60°=运=±[^_=叵,

AEAE2

."E=8,

.∙.O8=4,

：.BD=MOB=4如,

2

.∙.图中阴影部分的面积=SAOBD-S扇修BOE=LX4X4√3-60•-X4=8M-sɪ.

23603

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，

正确地作出辅助线是解题的关键.

典例7：（2022•重庆）如图，AB是OO的直径，C为G）O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P,

若AC=PC=3我，则PB的长为（）

A.√3B.∣∙C.2√3D.3

【分析】连结。C,根据切线的性质得到∕PCO=90°,根据OC=OA,得到/A=NOCA,根据AC=

PC,得到NP=/4,在AAPC中，根据三角形内角和定理求得NP=30°,根据含30度角的直角三角形

的性质得到OP=2OC=2r,在RtZXPOC中，根据tanP=里求出OO的半径r即可得出答案.

PC

【解答】解：如图，连结。C,

：PC是O。的切线，

.∖ZPCO=90o,

*：OC=OA9

：.ZA=ZOCA,

λ:AC=PC.

：.ZP=ZAf

设NA=NOCA=/P=x°,

在AAPC中，ZΛ+ZP+ZPCΛ=180o,

Λx÷x+90+x=180,

∙'∙x=30,

.∖ZP=30o,

VZPCO=90o,

,OP=2OC=2r,

在RtZ∖POC中，tanP=耍，

PC

•V3_r

,~西

.∙.r=3,

：.PB=OP-OB=2r-r=r=3.

【点评】本题考查了切线的性质，体现了方程思想，在aAPC中，根据三角形内角和定理求得NP=30°

是解题的关键.

典例8：(2022•宁夏)如图，以线段AB为直径作。0,交射线4C于点C,A。平分NCAB交G)O于点£),

过点。作直线QELAC于点E,交AB的延长线于点F.连接8。并延长交AC于点M.

(1)求证：直线Z)E是。。的切线；

(2)求证：AB=AM;

(3)若ME=1,ZF=30°,求5F的长.

M

【分析】(1)连接OO,由NozM=NOAo=NDAC证明。。〃AC得No拉/=NAE0=9O°,即可证

明宜线OE是。。的切线；

(2)由线段A5是OO的直径证明NAO8=90°,再根据等角的余角相等证明NM=NA3M,则AB=

AM；

(3))由NAEF=90°,NF=30°证明N84M=60°,则4ABM是等边三角形，所以NM=60°,则N

EDM=30°,所以BO=MO=2ME=2,再证明NBOF=N凡得BF=BD=2.

【解答】(1)证明：连接。D,则。D=OA,

：.ΛODA=AOADi

YAQ平分NC43,

・•・NOAO=ND4C,

，NOOA=ND4C,

.,.OD//AC,

u：DELAC,

：.ZODF=ZAED=90o,

•・•。。是00的半径，ħDEA.ODf

，直线OE是。。的切线.

(2)证明：Y线段/W是C)O的直径，

，NADB=90°,

,

..ZADM=1800-NAQjB=90°,

ΛZM+ZDΛΛ∕=90o,NA8M+NOAB=90°,

ΛJZDAM=ZDAB,

：.ZM=ZABM,

：.AB=AM.

(3)解：VZAEF=90°,ZF=30o,

.∖ZBAM=60o,

是等边三角形，

ΛZΛ∕=60o,

VZDEM=90o,ME=I,

ΛZEDM=3Oα,

：・MD=2ME=2,

；.BD=MD=2,

λ:ZBDF=ZEDM=30o,

：.ZBDF=ZFf

BF=BD=2.

【点评】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与

性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的

一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

典例9：(2022•阜新)如图，在RtZ∖ABC中，NAC5=90°,。是3C边上一点，以。为圆心，OB为半径

的圆与A5相交于点。，连接。。，且Cz)=Ac

(1)求证：。。是。。的切线；

(2)若NA=60°,AC=2√3,求砺的长.

【分析】(I)连接OD由等腰三角形的性质及圆的性质可得∕A=NAOC,NB=/800.再根据余角

性质及三角形的内角和定理可得/OOC=180°-(ZADC+ZBDO)=90°.最后由切线的判定定理可

得结论：

(2)根据等边三角形的判定与性质可得NoCO=∕AC8-NACD=30°.再由解直角三角形及三角形内

角和定理可得NBOc的度数，最后根据弧长公式可得答案.

【解答】(1)证明：连接OD

'."AC=CD,

：.ZA=ZADC.

'：OB=OD,

：.ZB=ZBDO.

VZACB=90°,

/4+/8=90”.

ΛZΛDC+ZBDO=90o.

.∙.NOQC=180°-(ZADC+ΛBDO)=90°.

乂∙.∙oo是O。的半径，

；.C0是。。的切线.

(2)解：VAC=CD=2√3-∕A=60°,

...△ACZ)是等边三角形.

/ACO=60°.

ZDCO=ZACB-NACo=30°.

在RtaOCO中，。。=CZ)tanNQCO=∙tan30°=2.

VZB=90o-∕A=30°,OB=OD,

：.ZODB=ZB=30°.

：.ZBOD=ISOo-(NB+NBDO)=120".

...俞的长兀

=120X227τ.

1803

【点评】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题

的关键.

考点四、正多边形和圆

1.正多边形的有关概念

正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫正多边形的中心.外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半

径叫正多边形的边心距，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个角叫正多边形的中心角，正多边

形的每一个中心角都等于型

n

要点诠释：

通过中心角的度数将圆等分，进而画出内接正多边形，正六边形边长等于半径.

2.正多边形的性质

任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两圆是同心圆.正多边形都是轴对称图形，偶数条

边的正多边形也是中心对称图形，同边数的两个正多边形相似，其周长之比等于它们的边长（半径或边心距）

之比.

3.正多边形的有关计算

定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.

正n边形的边长a、边心距r、周长P和面积S的计算归结为直角三角形的计算.

360°Cn.180on180°

a-------,a-2κ∙sin------,r=K∙cos------,

nnnnnn

r2tl

=+佟），P"=∙a.，sn=g%.rn∙n=^Pll.rn.

典例10：（2022•黔东南州）（1）请在图1中作出aABC的外接圆Oo（尺规作图，保留作图痕迹，不写作

法）；

（2）如图2,。。是AABC的外接圆，AE是。。的直径，点B是CE的中点，过点8的切线与AC的延

长线交于点D.

①求证：BD1AD；

②若AC=6,tan∕4BC=3,求C）O的半径.

4

n

CC

图1图2

【分析】（1）利用尺规作图分别作出AB.AC的垂直平分线交于点0,以O为圆心、04为半径作圆即

可；

（2）①连接08,根据切线的性质得到证明根据平行线的性质证明结论；

②连接EC,根据圆周角定理得到/AEC=/A8C,根据正切的定义求出EC,根据勾股定理求出AE,得

到答案.

【解答】（1）解：如图1，Oo即为4A8C的外接圆；

（2）①证明：如图2,连接0B,

；8。是。。的切线，

：.OBLBD,

:点8是令的中点，

∙∙∙BC=BE-

：.NCAB=NEAB,

；OA=OB,

：.Z0BA^ZEAB,

.∖ZCAB^ZOBA,

：.OB//AD.

.,.BDlAD-,

②解：如图2,连接EC,

由圆周角定理得：ZAEC=ZABC,

∙."n∕A8C=旦，

4

.".IanZAEC=-,

4

:FE是。。的直径,

ΛZACE=90o,

•.♦一AC一--3»

EC4

∙.FC=6,

.∙.EC=8,

ΛΛE=√AC2+EC2=IO,

。。的半径为5.

图1图2

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径

是解题的关键.

典例11：(2022•黔东南州)如图，在AABC中，ZA=80°,半径为3c”?的。。是AABC的内切圆，连接

OB.OC,则图中阴影部分的面积是迫兀cm1.(结果用含n的式子表示)

一4一

BC

【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，得出圆心角OoE的度数即可得出阴影部分的面积.

【解答】解：∙.∙∕A=8(Γ,。。是AABC的内切圆，

.,.ZDOE=ISOo-(LNABC+ɪNACB)=180°-—(180o-NA)=130°,

…啮”］，八2

故答案为：兀.

【点评】本题主要考查三角形内切圆的知识，熟练掌握三.角形内切圆的性质及扇形面积的计算是解题的

关键.

典例12：（2022∙青岛）如图，正六边形ABCQM内接于OO,点M在篇上，则NCME的度数为（）

A.30°B.36°C.45°D.60°

【分析】由正六边形的性质得出NCOE=I20°,由圆周角定理求出NCME=60°.

【解答】解：连接OGOD,OE9

Y多边形ABCDEF是正六边形，

，NCOO=/OOE=60°,

ΛZCOE=2ZCOD=120°,

ΛZCMf=AzCOE=60°,

故选：D.

【点评】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出NCo例

=120。是解决问题的关键.

考点五、圆中的计算问题

L弧长公式：I=塔,其中/为n°的圆心角所对弧的长，R为圆的半径.

2.扇形面积公式：S『竺咳,其中S扇='/K.圆心角所对的扇形的面积，另外S扇=L/R.

3.圆锥的侧面积和全面积:

圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长.

圆锥的全面积是它的侧面积与它的底面积的和.

要点诠释：

（I）在计算圆锥的侧面积时要注意各元素之间的对应关系，千万不要错把圆锥底面圆半径当成扇形半

径.

（2）求阴影面积的几种常用方法（1）公式法；（2）割补法；（3）拼凑法；（4）等积变形法；（5）构造方程法.

典例13：（2022•广西）如图，在AABC中，C4=CB=4,ZBAC=a,将AABC绕点A逆时针旋转2α,得

到aAB'C1,连接B'C并延长交A3于点ZX当B'时，病'的长是（）

【分析】证明a=30°,根据已知可算出AO的长度，根据弧长公式即可得出答案.

【解答】解：YCA=CB,CDLAB,

/.AD=DB=-AB1.

2

ΛZAB'0=30°,

Λa=30o,

「AC=%

ΛΛD=ΛC∙cos30o=4×^1=2√3.

2

∙∙∙AB=2AD=4√3,

•∙的长度/=n=r60X—Xπ.

1801803

故选:B.

【点评】本题主要考查了弧长的计算及旋转的性质，熟练掌握弧长的计算及旋转的性质进行求解是解决

本题的关键.

典例14：（2022•荷泽）如图，等腰RtaABC中，AB=AC=M,以4为圆心，以AB为半径作羸；以BC

为直径作俞.则图中阴影部分的面积是π-2.（结果保留n）

【分析】如图，取8C的中点O,连接OA.mSsl=S≠∣fa-SMBC+SmACB-SΛACB,求解即可.

【解答】解：如图，取BC的中点O,连接OA.

∙.∙∕CA8=90°,AC=AB=√2,

：.BC=MAB=2,

.∙Q=O8=OC=1,

:∙S阴=S华圆-5∆ABC÷S扇形AC8-S&ACB

=A∙π×12-工X&XnX（亚）：-IX&X&

223602

=π-2.

故答案为：π~2.

【点评】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用割补法求阴影部

分的面积.

典例15：（2022∙广安）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半

aDE=2m,圆锥的高AC=1.5m,圆柱的高CZ）=2.5〃?，则下列说法错误的是（）

A.圆柱的底面积为471#

B.圆柱的侧面积为10π√

C.圆锥的母线AB长为2.25,“

D.圆锥的侧面积为5π∕M

【分析】利用圆的面积公式对A选项进行判断：利用圆柱的侧面积=底面圆的周长X高可对3选项进行

判断；根据勾股定理可对C选项进行判断；由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥

底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式可对。选项进行判断.

【解答】解：底面圆半径。£=2m，

•••圆柱的底面积为4τ∏∕,所以A选项不符合题意；

；圆柱的高Co=25〃，

圆柱的侧面积=2nX2X2.5=10ττ（«/2）,所以B选项不符合题意；

；底面圆半径。£=2加，即Be=2，"，圆锥的高AC=1.5zn,

■圆锥的母线长AB=JL52+22=2.5（，〃），所以C选项符合题意；

圆锥的侧面积=Lx2nX2X2.5=5π（川），所以力选项不符合题意.

2

故选：C.

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，

扇形的半径等于圆锥的母线长.也考查了圆柱的计算.

典例16：（2022•贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始

倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥

体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6C∙"3高是6cm；圆

柱体底面半径是3cm,液体高是7cm.计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（）

3cmC.4cmD.5cm

【分析】由圆锥体底面半径是6C7",高是6cm,可得CO=OE,根据圆锥、圆柱体枳公式可得液体的体积

33

为63πcw7,圆锥的体积为72πcn∕,即知计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为9mw3,设计时结束

后，“沙漏”中液体的高度A拉为此团，可得工π∙(6-χ)2∙(6-X)=9π,即可解得答案.

3

【解答】解:如图:

B

：圆锥体底面半径是6CMΛ高是6cm,

...△ABC是等腰直角三角形，

...△CDE也是等腰直角三角形，即CC=OE,

由已知可得：液体的体积为τrX32χ7=63τr(a/),圆锥的体积为LτX62χ6=72n(cm3),

3

.∙.计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为72τr-63π=9ττCcm3),

设计时结束后，“沙漏”中液体的高度AD为xα",则Co=OE=(6-χ)cm,

.,.-^-π∙(6-x)3(6-χ)=9π,

3

(6-χ)3=27,

解得x=3,

计时结束后，“沙漏”中液体的高度为3cm,

故选：B.

【点评】本题考查圆柱体、圆锥体体积问题，解题的关键是掌握圆柱体、圆锥体体积公式，列出方程解

决问题.

考点六、四点共圆

1.四点共圆的定义

四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点

共圆”.

2.证明四点共圆一些基本方法：

L从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯

定这四点共圆.或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距.

2.如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆.（若能证明

其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径.）

3.把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角

时，即可肯定这四点共圆.

4.把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，

即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线

段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也

共圆.即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆.

典例17：（2022•遵义）综合与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组

继续利用上述结论进行探究.

提出问题：

如图1,在线段AC同侧有两点8,D,连接AD,AB,BC,CD,如果NB=N。，那么A,B,C,。四

点在同一个圆上.

探究展示：

如图2,作经过点A,C,。的。O,在劣弧AC上取一点E（不与A,C重合），连接AE,CE,则/AEC+

ZD=180°（依据1）

•：NB=ND

.,.NAEC+NB=180°

.∙.点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

点B,。在点A,C,E所确定的OO上（依据2）

.∙.点A,B,C,。四点在同一个圆上

反思归纳：

（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆.

（2）如图3,在四边形ABC。中，Nl=/2,/3=45°,则