高中数学北师大版选修2-2测评第一章推理与证明测评

第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是()A.有一个解 B.有两个解C.至少有三个解 D.至少有两个解解析至多有两个解包含:有两个解,有一个解,无解三种情况.答案C2.设n∈N+,f(n)=1+12+13+…+1n,计算知f(2)=32,f(4)>2,f(8)>52,f(16)>3,f(32)A.f(2n)>2n+12 B.f(n2C.f(2n)≥n+22 D解析根据题意,由f(2)=32,f(4)>42,f(8)>52,f(16)>62即可猜想f(2n)≥n答案C3.用数学归纳法证明:1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n=2nA.2k(kC.1(k+1解析由n=k到n=k+1,左边需要添加的项是11+2+3+答案D4.下列推理正确的是()A.把a(b+c)与loga(x+y)类比,则有:loga(x+y)=logax+logayB.把a(b+c)与sin(x+y)类比,则有:sin(x+y)=sinx+sinyC.把(ab)n与(x+y)n类比,则有:(x+y)n=xn+ynD.把(a+b)+c与(xy)z类比,则有:(xy)z=x(yz)答案D5.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N+)时,验证A.1 B.1+2C.1+2+3 D.1+2+3+4解析当n=1时,左边应取1+2+3+4,故选D.答案D6.用反证法证明命题:“若a,b∈R,且a2+b2=0,则a,b全为0”时,要做的假设是()A.a≠0且b≠0 B.a,b不全为0C.a,b中至少有一个为0 D.a,b中只有一个为0答案B7.若P=a+6+a+7,Q=a+8+a+5(a≥0),A.P=Q B.P>QC.P<Q D.无法确定解析由P=a+6+a+7可得P2=2a+13+2a+6·a+7=2a+13Q2=2a+13+2a+8·a+5=2a+13因为a2所以P2>Q2,且P>0,Q>0,所以P>Q,故选B.答案B8.在《九章算术》方田章圆田术(刘徽注)中指出:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程,比如在2+2+2+…中“…”即代表无限次重复,但原式却是个定值x,这可以通过方程x+2=x确定出来x=2,类比上述结论可得log2[1+log2(1+log2(1+…))]A.1 B.2 C.2 D.4解析由题意可得x=log2(1+x),x>0,∴2x=x+1,解得x=1.故选A.答案A9.甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上,各人帽子的颜色互不相同,乙比戴蓝帽的人年龄大,丙和戴红帽的人年龄不同,戴红帽的人比甲年龄小,则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为()A.红、黄、蓝 B.黄、红、蓝C.蓝、红、黄 D.蓝、黄、红解析丙和戴红帽的人年龄不同,戴红帽的人比甲年龄小,故戴红帽的人为乙,即乙比甲的年龄小;乙比戴蓝帽的人年龄大,故戴蓝帽的人是丙,即乙比丙的年龄大.综上,甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为黄、红、蓝.故选B.答案B10.已知正三角形内切圆的半径是其高的13,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是(A.正四面体的内切球的半径是其高的1B.正四面体的内切球的半径是其高的1C.正四面体的内切球的半径是其高的1D.正四面体的内切球的半径是其高的1解析原问题的解法为等面积法,即S=12ah=3×12ar⇒r=13h,类比问题的解法应为等体积法,V=13Sh=4×13Sr⇒r=14h,答案C11.若a>0,b>0,则p=(ab)a+b2与q=ab·baA.p≥q B.p≤qC.p>q D.p<q解析p=aa若a>b>0,则ab>1,ab>0,此时pq若0<a<b,则0<ab<1,ab<0,此时pq若a=b,则pq=1.综上,可知p≥q答案A12.设函数f(x)定义如下表,数列{xn}满足x0=5,且对任意的自然数均有xn+1=f(xn),则x2021=()x12345f(x)41352A.1 B.2C.4 D.5解析因为x1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(2)=1,x3=f(1)=4,x4=f(4)=5,x5=f(5)=2,…,数列{xn}是周期为4的数列,所以x2021=x1=2.故选B.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知x,y,z都是质数,且xyz=5(x+y+z),则x2+y2+z2的值为.

解析由xyz=5(x+y+z),可得5为xyz的约数,而x,y,z都是质数,所以其中必有一个是5,不妨设z=5,则xy=x+y+5,即(x1)(y1)=6,根据6的约数分解的情况可得,(1)x1和y1各对应着1和6中的某一个,例如x-1=1,y-1=6(2)x1和y1各对应着2和3中的某一个,例如x-1=2,y-1=3,解得因此这三个数分别为2,5,7,所以x2+y2+z2=22+52+72=78.答案7814.观察下列等式:31×2×12=1122,31×2×12+42×3×12解析因为31×2×31×2×31×2×……所以对于n∈N+,31×2×12+4答案1115.在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19n(n<19,n∈N+)成立.类比上述性质,相应地,在等比数列{bn}中,若b9=1,则有等式成立.

解析在等差数列{an}的前19项中,其中间项a10=0,则a1+a19=a2+a18=…=an+a20n=an+1+a19n=2a10=0,所以a1+a2+…+an+…+a19=0,即a1+a2+…+an=a19a18…an+1.又∵a1=a19,a2=a18,…,a19n=an+1,∴a1+a2+…+an=a19a18…an+1=a1+a2+…+a19n.相似地,在等比数列{bn}的前17项中,b9=1为其中间项,则可得b1·b2·…·bn=b1·b2·…·b17n(n<17,n∈N+).故填b1·b2·…·bn=b1·b2·…·b17n(n<17,n∈N+).答案b1·b2·…·bn=b1·b2·…·b17n(n<17,n∈N+)16.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数,则用n表示的f(n)=.

解析由于f(2)f(1)=71=6,f(3)f(2)=197=2×6,推测当n≥2时,有f(n)f(n1)=6(n1),所以f(n)=[f(n)f(n1)]+[f(n1)f(n2)]+[f(n2)f(n3)]+…+[f(2)f(1)]+f(1)=6[(n1)+(n2)+…+2+1]+1=3n23n+1.又f(1)=1=3×123×1+1,所以f(n)=3n23n+1.答案3n23n+1三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:b2证明因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0,要证明原不等式成立,只需证明b2-即证b2ac<3a2,从而只需证明(a+c)2ac<3a2,即(ac)(2a+c)>0,因为ac>0,2a+c=a+c+a=ab>0,所以(ac)(2a+c)>0成立.故原不等式成立.18.(本小题满分12分)先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:已知a1,a2∈R,a1+a2=1,求证:a1证明:构造函数f(x)=(xa1)2+(xa2)2,因为对一切x∈R,恒有f(x)≥0,所以Δ=48(a12+a22(1)若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,请写出上述结论的推广式;(2)参考上述解法,对你推广的结论加以证明.(1)解若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,则a12+a2(2)证明构造函数f(x)=(xa1)2+(xa2)2+…+(xan)2=nx22(a1+a2+…+an)x+a12+a=nx22x+a12+a2因为对一切x∈R,都有f(x)≥0,所以Δ=44n(a12+a22+…+an2)≤19.(本小题满分12分)(2020全国Ⅲ,文19)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.证明:(1)当AB=BC时,EF⊥AC;(2)点C1在平面AEF内.证明(1)如图,连接BD,B1D1.因为AB=BC,所以四边形ABCD为正方形,故AC⊥BD.又因为BB1⊥平面ABCD,于是AC⊥BB1.所以AC⊥平面BB1D1D.由于EF⊂平面BB1D1D,所以EF⊥AC.(2)如图,在棱AA1上取点G,使得AG=2GA1,连接GD1,FC1,FG.因为D1E=23DD1,AG=23AA1,DD1AA1,所以ED1AG,于是四边形ED1GA为平行四边形,故AE∥GD1.因为B1F=13BB1,A1G=13AA1,BB1AA1,所以FGA1B1,FGC1D1,四边形FGD1C1为平行四边形,故GD1∥FC1.于是AE所以A,E,F,C1四点共面,即点C1在平面AEF内.20.(本小题满分12分)已知数列{an}满足a1=3,an·an1=2·an11.(1)求a2,a3,a4;(2)求证:数列1an-1是等差数列,并写出数列{a(1)解由an·an1=2·an11,得an=21a代入a1=3,n依次取值2,3,4,得a2=213=53,a3=235=7(2)证明由an·an1=2·an11变形,得(an1)·(an11)=(an1)+(an11),即1an-1-1an-1-1=变形得an1=22n-1.所以a21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax+x-2x+1(1)证明:函数f(x)在(1,+∞)上是增加的;(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负根.证明(1)任取x1,x2∈(1,+∞),不妨设x1<x2,则x2x1>0,ax2-x1>于是ax2-a又∵x1+1>0,x2+1>0,∴x=(=3(x2于是f(x2)f(x1)=ax2ax1+x2-2故函数f(x)在(1,+∞)上是增加的.(2)设存在x0<0(x0≠1)满足f(x0)=0,则ax0=x0-2x0+1∴0<x0-2x0+1<1,即12<x0<2,与假设x0<0矛盾.故方程f22.(本小题满分12分)设a1=1,an+1=an2-2an+2+b(1)若b=1,求a2,a3及数列{an}的通项公式;(2)若b=1,问:是否存在实数c使得a2n<c<a2n+1对所有n∈N+成立?证明你的结论.解(1)a2=2,a3=2+1,可写为a1=1-1+1,a2=2-1+1,a3=因此猜想an=n-1+下面用数学归纳法证明上式:当n=1时结论显然成立.假设n=k(k≥1,k∈N+)时结论成立,即ak=k-1+1,则ak+1=(ak-1)2+1+1=(k-1所以an=n-1+1(n∈N+(2)设f(x)=(x-1)2+11,则an+1令c=f(c),即c=(c-1)2下面用数学归纳法证明加强命题a2n<c<a2n+1<1.当n=