青海省海东市2019-2020学年高二下学期期末考试联考数学（理）试题

高二数学试卷(理科)一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】化简复数为a+bi的形式，得到复数对应的点，即可得到选项．【详解】因为，所以复数对应的点位于第一象限．故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题．2.命题，则为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合特称命题的否定为全称命题，即可得解.【详解】因为命题为特称命题，所以为.故选：D.【点睛】本题考查了特称命题的否定，牢记特称命题的否定方法是解题关键，属于基础题.3.曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A. B. C.1 D.或2【答案】B【解析】【分析】求出函数的导数，然后可建立方程求解.【详解】因为，所以，因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，即，解得.故选：B【点睛】本题考查的是导数的计算和导数的几何意义，较简单.4.已知的展开式中第9项为常数项，则展开式中的各项系数之和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出展开式的第九项，令的指数为0，可以求出n，再将代入即可求出系数和.【详解】，所以，则,令，可得，所以展开式中的各项系数之和为．故选：A.【点睛】本题考查二项展开式的各项系数之和，属于基础题.5.某同学对如图所示的小方格进行涂色（一种颜色），若要求每行、每列中都恰好只涂一个方格，则不同的涂色种数为（）A.12 B.36 C.24 D.48【答案】C【解析】【分析】运用排列的定义进行求解即可.【详解】由题意可知：不同的涂色种数为：，故选：C【点睛】本题考查了排列的应用，属于基础题.6.已知直线m，n和平面，且，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】结合直线与直线，直线与平面位置关系，利用充分条件和必要条件的定义求解.【详解】若，则或直线m与直线n异面，故不充分；若，则或，故不必要；所以“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断以及直线与直线，直线与平面的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7.已知，若，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】首先可通过题意求出正态分布曲线的对称轴，然后根据得出，最后通过计算即可得出结果.【详解】因为，所以对称轴方程为，因为，所以，解得，故选：C.【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态分布曲线的对称性，考查计算能力，是简单题.8.已知函数满足，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数，得到函数的单调性，利用单调性得到关于的不等式，解出即可．【详解】的定义域是，，故在递增，，，解得：或，故选：．【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．9.数列6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（）A.190 B.276 C.231 D.【答案】B【解析】【分析】首先求出数列的通项公式，进一步求出结果．【详解】因为数列的各项分别为6，15，28，45，…，所以，，，，所以，故．故选：B【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万斤，每种植1斤藕，成本增加1元.销售额(单位：万元)与莲藕种植量(单位：万斤)满足(为常数)，若种植3万斤，利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕（）A.6万斤 B.8万斤 C.7万斤 D.9万斤【答案】B【解析】【分析】建立销售利润与种植量的函数关系，通过求导判断单调性，进而可求出答案.【详解】设销售利润为，则.因为，所以，则，求导得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则时，取得最大值.所以要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万斤.故选：B.【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用，注意利用已知条件建立函数关系式，进而通过导数研究函数的单调性，考查学生的计算求解能力，属于基础题.11.已知双曲线的右焦点，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，以为直径的圆过点，延长交右支于点，若，则双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出图形，设双曲线的左焦点为点，连接、，设，则，利用双曲线的定义及勾股定理求得，进而可得出，，然后利用勾股定理可求得的值，进而可求得的值，由此可求得双曲线的渐近线方程.【详解】如下图所示，设双曲线的左焦点为点，连接、，设，则，由双曲线的定义可得，，由于以为直径的圆经过点，且、，则四边形为矩形，在中，有勾股定理得，即，解得，，，由勾股定理得，即，，所以，，则.因此，双曲线的渐近线方程是.故选：A.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，考查了双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.12.设函数的定义域为，其导函数是，若，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造新函数，求导后可推出在上单调递减，而可等价于，即，故而得解．【详解】令，则，，，即在上单调递减，，可等价于，即，，不等式的解集为．故选：．【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上.13.复数的实部为a，虚部为b，则_________．【答案】1【解析】【分析】先求出复数，即可得出，求出结果.【详解】因为，所以，故．故答案为：1.【点睛】本题考查复数的运算，考查复数概念的理解，属于基础题.14.由一组观测数据，，…，得回归直线方程为，若，则____________．【答案】【解析】【分析】由题意结合样本中心点在回归直线上，代入即可得解.【详解】因为，，回归直线方程为，所以，解得．故答案为：.【点睛】本题考查了线性回归方程性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.15.设、是抛物线上不同的两点，线段的垂直平分线为，若，则______.【答案】【解析】【分析】根据线段的垂直平分线方程可得出直线的斜率，由此利用点差法可得出关于的等式，进而可求得实数的值.【详解】由题知，，，两式相减得，所以，由题知，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线方程中参数的求解，涉及点差法的应用，考查计算能力，属于基础题.16.两对夫妻准备周末出去旅游，有甲､乙､丙､丁四辆顺风车可以搭乘，其中甲､乙两车每辆最多可搭乘两人，丙､丁两车每辆最多可搭乘一人，不是夫妻的两个人不能搭乘同一辆车，若不考虑座位顺序，且这两对夫妻都要坐上车.则不同的搭乘方案共有___________种.【答案】50【解析】【分析】分情况讨论使用两辆车、三辆车、四辆车、利用排列组合知识即可求解【详解】当使用两辆车时，不同的搭乘方案有种；当使用三辆车时，不同的搭乘方案有种；当使用四辆车时，不同的搭乘方案有种.故不同的搭乘方案共有50种.故答案为：50【点睛】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题.三､解答题：本题共6大题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与圆C交于点A，B两点，求．【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）（1）由消元可得椭圆的普通方程，由可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）利用几何法可求圆的弦长.【详解】解：（1）∵曲线C的参数方程为（为参数），∴曲线C的普通方程为．∵，∴曲线C的极坐标方程为．∵直线l的极坐标方程为，即，∴直线l的直角坐标方程为．（2）由（1）知曲线C是以为圆心，半径为4的圆，则圆心到直线l的距离，故．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查几何法求圆的弦长．属于基础题．18.如图，在正四棱柱中，，，，，是棱的中点，平面与直线相交于点.（1）证明：直线平面.（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出，，设点为的中点，连结，，推导出平面，平面，从而平面平面，由此能证明平面．（2）以为原点，为轴，为轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面，平面平面，，由题意得，设点为的中点，连结，，是棱的中点，，平面，平面，平面，，，，平面，平面，平面，，所以平面平面，平面，平面．（2），，如图，以为原点，为轴，为轴，为z轴，建立空间直角坐标系，，所以设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设二面角的平面角为，由，，二面角的正弦值为．

【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．19.某科研小组为了验证一种治疗新冠肺炎的新药的效果，选名患者服药一段时间后，记录了这些患者的生理指标和的数据，并统计得到如下的列联表（不完整）：合计合计在生理指标的人中，设组为生理指标的人，组为生理指标的人，将他们服用这种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16，17，19．B组：12，13，14，15，16，17，20，21，25．（1）填写上表，并判断是否有95%的把握认为患者的两项生理指标x和y有关系；（2）从A，B两组人中随机各选人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙，求乙的康复时间比甲的康复时间长的概率．附：，其中．0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）表格见解析，没有；（2）.【解析】【分析】（1）补全列联表，然后计算进行分析；（2）设甲的康复时间为，乙的康复时间为，用列举法写出求乙的康复时间比甲的康复时间长的情况，然后利用古典概率模型概率计算公式求解.【详解】解：（1）填表如下：合计合计所以．故没有的把握认为患者的两项生理指标和有关系．（2）设集合．设甲康复时间为，乙的康复时间为，则选取病人的康复时间的基本事件空间为，共81个基本事件，其中的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共27个，从而．【点睛】本题考查独立性检验及古典概型的计算，难度一般.独立性检验问题只需准确计算出的值，然后利用独立性检验的思想进行检验即可；对于古典概型，分析清楚基本事件总数及某事件A成立时所包含的基本事件数是关键.20.在某公司举行的年会中，为了表彰年度优秀员工，该公司特意设置了一个抽奖环节，其规则如下：一个不透明的箱子中装有形状大小相同的两个红色和四个绿色的小球，从箱子中一次取出两个小球，同色奖励，不同色不奖励，每名优秀员工仅有一次抽奖机会.若取出的两个均为红色，奖励2000元；若两个均为绿色，奖励1000元（1）求优秀员工小张获得2000元的概率；（2）若一对夫妻均为年度优秀员工，求这对夫妻获得的奖励总金额的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见详解，数学期望为元.【解析】【分析】（1）优秀员工小张获得2000元，说明取出的都是红色，简单计算即可.（2）列出的所有可能取值，并计算相应的概率，然后列出分布列，最后根据数学期望的公式计算即可.【详解】（1）由题可知：优秀员工小张获得2000元的概率为（2）每名优秀员工没有奖励的概率为，每名优秀员工获得1000元奖励的概率为的所有可能取值为0，1000，2000，3000，4000，所以的分布列为01000200030004000数学期望为所以（元）【点睛】本题考查离散型随机变量的期望，关键在于审清题意，细心计算，考查阅读理解能力以及分析能力，属基础题.21.设椭圆C：的左、右焦点分别为，离心率为，短轴长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点作一条直线与椭圆C交于P，Q两点，分别过P，Q作直线l：的垂线，垂足依次为S，T．试问：直线与是否交于定点?若是，求出该定点的坐标，否则说明理由．【答案】（1）；（2）交于定点，.【解析】【分析】（1）根据条件求出，即可写出椭圆方程；（2）分轴时和不垂直于x轴时两种情况讨论，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理得出与的方程特点，可以判断.【详解】解：（1）因为，所以．又，所以．由，得．即．所以，从而椭圆C的标准方程为．（2）当轴时，不妨设，直线的方程为，即，直线的方程为，即，直线与交于定点．当不垂直于x轴时，设直线的方程为．联立方程组得．设，，因为，所以直线为，令，得．因为，所以直线与x轴的交点为．同理可得直线与x轴的交点也为，故与交于定点．综上所述，直线与交于定点．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系，考查椭圆中的定点问题，属于较难题.22.已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）当时，设，且