2022-2023学年云南省临沧市耿马县重点学校九年级（下）期中数学试卷

2022-2023学年云南省临沧市耿马县重点学校九年级（下）期中

数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.等高线指的是地形图上海拔相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字

为该等高线的海拔.若高于海平面10米记为+10米，某地的高度低于海平面25米，则此处的等

高线标注为（）

A.一25米B.+15米C.+25米D,一15米

2.下列立体图形的主视图可能是矩形的是

A.圆柱B.三棱锥C.球D.圆锥

3.下列运算中，正确的是（）

A.2a2+4a2=6a4B.（afo）2=ab2

C.2a6-i-a2=2a4D.（a-I）2=a2—1

4.一个多边形内角和是900。，则这个多边形是（）

A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形

5.截至2023年2月，中国已建设开通了231.2万个5G基站，建成全球技术领先、规模最大、

用户最多的5G网络.数据231.2万用科学记数法表示为（）

A.231.2x104B.23.12x10sC.2.312x106D.2.312x107

6.如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离6km,当火箭到达4点时，

雷达站测得仰角为43。，则这枚火箭此时的高度44为（）

A.6sin43°

B.6cos43°

D.6tan43°

7.已知x、y满足方程组以：；；二；则x+y的值是（）

A.3B.5C.7D.9

8.如图，△力BC与ADE尸是位似图形，点0是位似中心，若。A：0D=1：3,△ABC的面积

为3,则AOE尸的面积为（）

C

D

A.6B.9C.12D.27

9.按一定规律排列的数：p~1，余-土，…，则这列数的第n个数是（）

D2Mli

A.（-1严2+猾民浮+i

C.（5需D.（-1严需

10.某班在一次班委选举中,参与投票的学生必须从参选的四名同学（甲、乙、丙、丁）中选

1名，且只能选1名进行投票,根据投票结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，下列

结论不正确的是（）

,票数

U（）T选手

A.参与投票的学生有40人B.乙的票数为12票

C.a的值为30D.条形统计图中括号里应填的选手是甲

11.碳酸钠的溶解度y(g)与温度t(°C)之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是()

A.当温度为60久时，碳酸钠的溶解度为49g

B.碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大

C.当温度为40K时，碳酸钠的溶解度最大

D.要使碳酸钠的溶解度大于43.6g,温度只能控制在40。(：〜80汽

12.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1,点。、4、

B都在格点上，若扇形4。8是一个圆锥的侧面展开图，则该圆

锥的高为()

A.”

4

B

,8

C*

4

D.江

8

二、填空题(本大题共4小题，共8.0分)

13.代数式7』有意义时，x应满足的条件为______.

Vx+l

14.如图=38。/2=46。,则43的度数为.

15.已知点4(a,3),B(2,b)关于久轴对称，若反比例函数y=(的图象经过点C(a,b),贝ijk的

值为.

16.在AABC中，AD为边上的高，AC=5,BC=6,△ABC的面积为12,AB边的长为

三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题6.0分）

计算：(I)-2+2cos60。-|-2|+Cx(-1)2023

18.（本小题6.0分）

己知：如图，4B与CO交于点E,点E是线段48的中点，乙4=NB.求证：AC=BD.

19.（本小题7.0分）

共享单车是高校学生最喜爱的“绿色出行”方式之一，许多高校均投放了使用手机支付就可

以随取随用的共享单车，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了部分

出行学生使用共享单车的情况，并整理成如图表：

使用次数012345

人数57121493

根据以上表格信息，解答下列问题：

（1）这组数据的中位数是;众数是

（2）这部分出行学生平均每人使用共享单车约多少次？（结果保留整数）

（3）若该校某天有1500名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在4次及4次以上的学生

有多少人？

20.（本小题7.0分）

为落实国家“双减”政策，丰富学生的课外活动，某学校在课后活动中开设了4（书法）、8（绘

画）、C（武术）三门课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等

（1）小明选择的课程是武术这一事件是

4随机事件艮必然事件C.不可能事件

（2）若小明和小刚两位同学各选修一门自己喜欢的课程，请用列表或画树状图的方法求他们两

人恰好选修同类课程的概率.

21.(本小题7.0分)

如图，在菱形ZBCD中，对角线AC,交于点。，过点4作力EJLBC于点E,延长BC到点F,

使得CF=BE,连接DF,

(1)求证：四边形4EFD是矩形；

(2)连接OE,若48=13,OE=2<13«求AE的长.

22.(本小题7.0分)

某校体育社团由于报名人数激增，决定从某体育用品店购买若干足球和篮球，用于日常训练，

已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用900元购买足球的数量是用720元购买篮球

数量的2倍.

(1)求篮球和足球的单价各是多少？

(2)根据学生报名情况，社团需一次性购买篮球和足球共80个，且要求购买足球数量不超过篮

球数量的号请你设计一个购买方案使得购买费用最少，最少费用为多少元？

23.(本小题8.0分)

如图，48是。。的直径，弦CO_L4B于点E,点P在B4的延长线上，连接POBC,且“DC=

2^ABC.

(1)求证：PD是。。的切线；

(2)若CD=8,AE=2,当动点M在。。的圆周上运动时(不与4、B重合)，需的比值是否发

生变化？若不变，求出这个比值；若变化，说明其变化的规律.

24.(本小题8.0分)

在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与抛物线y=ax2(a>0)交于4。1，、1)8(%2，丫2)两

点，与y轴轴交于点C(0,l),且抛物线上任意一点到直线y=-1的距离与它到点C的距离相等.

(1)求a的值；

(2)E|0/l|x|0B|\AC\x\BC\=n,求证：m2=4n+9.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：将高于海平面10米记作+10米，海平面的高度记为0米，低于海平面25米记作-25米，

故选:A.

根据题意，将高于海平面10米记作+10米，低于海平面25米记作-25米，等高线上标注的数字为

该等高线的海拔，可以表示出低于海平面25米的等高线.

本题考查了正数和负数的知识，掌握正数和负数的含义是关键.

2.【答案】A

【解析】解：4圆柱的主视图是矩形，故本选项符合题意；

B.三棱锥的主视图是三角形，故本选项不符合题意；

C.球的主视图是圆，故本选项不符合题意；

D圆锥的主视图是三角形，故本选项不符合题意.

故选：A.

根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答.

本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面

看，所得到的图形.

3.【答案】C

【解析】解：4、原式=6a2,不符合题意；

B、原式=。2乂，不符合题意；

C、原式=2a3符合题意；

D、原式=a2—2a+l,不符合题意.

故选：C.

各式计算得到结果，即可作出判断.

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：设这个多边形是71边形，根据题意得，

(n-2)-180°=900°,

解得n=7.

故选：B.

根据多边形的外角和公式5-2)-180°,列式求解即可.

本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键.

5.【答案】C

【解析】解:231.2万=2312000=2.312x106.

故选：C.

科学记数法的表示形式为axIO"的形式，其中141al<10,n为整数.确定n的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax1CP的形式，其中n

为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

根据正切的定义即可求解.

本题考查了锐角三角函数，仰角问题，掌握三角函数的定义是解题的关键.

【解答】

解：在Rt△力LR中，RL=6,Z.ARL=43°,

tanR=告，

:.AL=LR-tanR=6tan43°.

故选：D.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

方程组两方程左右两边相加，即可求出4+y的值.

【解答】

解：口…义，

[2x+y=7@

①+②得：3(x+y)=15,

则x+y=5.

故选:B.

8.【答案】D

【解析】解：•・•△ABC与ADEF是位似图形，

MAABSADEF,AB//DE,

OABODE9

空=”=工，

DEOD3

.SXABC_4x2_1

FOEF-(3)-9,

••・△ABC的面积为3,

・•.△DEF的面积为27,

故选：D.

根据位似图形的概念得到AB〃DE,证明△。力BSAODE,根据相似三角形的性质得到需=需=%

根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.

本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的

关键.

9.【答案】D

【解析】解：分子1,3,5,7...的规律为2n-1,

分母2,5,10,17…的规律为小+1,

符号的规律为(—l)n+i,

故第n个数为(-1)'+T磊，

故选：D.

根据规律分别找到分子、分母及符号的规律即可解答.

本题考查了数字的变化规律，分别找到分子、分母及符号的规律是解题关键.

10.【答案】B

【解析】解：调查的总人数为：4+10%=40（人），因此选项A不符合题意；

乙的圆心角是90。，即选乙的人数占调查人数的；，而40xJ=10人，因此选项8符合题意；

44

选丙的人数为40-10-4-14=12（人），12+40x100%=30%,即a=30,因此选项C符合

题意；

40x35%=14,所以条形统计图中括号里应填的选手是甲，因此选项。不符合题意；

故选:B.

根据频率=翌以及扇形统计图的意义进行计算即可.

总数

本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握

百分比=警是正确解答的关键.

总数

11.【答案】c

【解析】解：由图象可知：

当温度为60冤时，碳酸钠的溶解度小于49g,故选项A说法错误，不符合题意；

0。（7至40。。时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大，40。。至80。。时，碳酸钠的溶解度随着温

度的升高而减少，故选项B说法错误，不符合题意；

当温度为40久时，碳酸钠的溶解度最大，说法正确，故选项C符合题意；

要使碳酸钠的溶解度大于43.6g,温度可控制在接近40。（:至80。&故选项。说法错误，不符合题

意.

故选：C.

根据函数图象解答即可.

本题主要考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所

需要的条件，结合实际意义得到正确的结论.

12.【答案】A

【解析】解：：OA=V32+42=5，OB=V32+42=5，AB=VI2+72=5V-2>

OA2+OB2=AB2,

•••△04B为等腰直角三角形，4A0B=90。，

设圆锥的底面圆的半径为r,

根据题意得2b=史鬻，

loU

解得r=去

•••该圆锥的高=J52_(>2=邑要.

故选：A.

先利用勾股定理的逆定理证明A04B为等腰直角三角形，乙4。8=90。，设圆锥的底面圆的半径为

r,由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据弧长公式得到

2兀「=经禁，解方程求出r,然后利用勾股定理计算该圆锥的高.

loU

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇

形的半径等于圆锥的母线长.也考查了勾股定理的逆定理.

13.【答案】x>-1

【解析】解：由题意得：x+l>0,

解得：x>-1,

故答案为：x>-1.

根据二次根式和分式有意义的条件可得x+1>0,再解即可.

此题主要考查了二次根式有意义，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义的条

件是分母不等于零.

14.【答案】960

【解析】解:•••lx//l2,

zl+z3+Z2=180°,

•••zl=38°,Z2=46°,

43=96°

故答案为：96°.

根据两直线平行，同旁内角互补求解即可.

本题考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.

15.【答案】-6

【解析】解:,点4(a,3),8(2,b)关于x轴对称，

a=2,b=-3,

•・•点C(2,-3),

,反比例函数y=g的图象经过点C(2,-3),

■-k=xy=2x(-3)=-6.

故答案为：—6

根据关于％轴对称的点的坐标特征，求出a、b值，代入解析式求出k值.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知图象上点的纵横坐标之积即为解析式中的k值是

解题的关键.

16.【答案】5或4所

【解析】解：分两种情况考虑：

vAC=5,BC=6,△ABC的面积为12,

12=xADxBC,

•••AD=4,

①当4。在△ABC内，如图所示，此时△4BC为锐角三角形,

在RtAACD中，根据勾股定理得：DC=V52—42=3,

•■BD=BC-CD=6-3=3,

在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AB=VAD2+BD2=V42+32=5;

②当4。在△ABC外，如图所示，此时△力BC为钝角三角形,

在Rt/iACC中，根据勾股定理得：DC=752-42=3,

••.BD=BC+CO=6+3=9,

在Rt△4BD中，根据勾股定理得:AB=VAD2+BD2=V42+92=

y/~97>

故答案为：5或J97.

分两种情况考虑：如图1所示,此时△4BC为锐角三角形,在直角三角形4BD与直角三角形4CD中,

利用勾股定理求出AB的长即可；如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，同理求出AB的长即可.

本题考查的是勾股定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解.

17.【答案】解：原式=4+2x；-2+3x(―1)

=4+1—2—3

=0.

【解析】利用负整数指数幕，特殊锐角的三角函数值，绝对值的性质，算术平方根的定义，有理

数的乘方法则进行计算即可.

本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

18.【答案】证明：•••E是48的中点，

•••AE=BE,

在△AECWBED中，

Z.A-乙B

AE=BE,

Z.AEC=4BED

.-.^AEC^^BED(ASA),

AC—BD.

【解析】证明A4ECWABEO(ASA),可得4C=BO.

本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常

考题型.

19.【答案】33

【解析】解：(1)调查的总人数为5+7+12+14+9+3=50人，

将调查的50人共享单车的使用次数从小到大排列，第25个和第26个数都是3,所以中位数为岑=

3,

使用次数最多的是3次，共出现14人，因此众数是3,

故答案为：3,3；

0x5+1x7+2x12+3x14+4x9+5x3为、

(2)-----------泰------------x2(次)，

答：这部分出行学生平均每人使用共享单车约2次;

(3)1500x哥=360(人)，

答：估计这天使用共享单车次数在4次及4次以上的学生有360人.

(1)根据中位数、众数的定义进行计算即可；

(2)根据平均数的计算方法进行计算即可；

(3)用总人数乘以样本中使用共享单车次数在4次及4次以上的学生所占的百分比即可.

本题考查众数、中位数、平均数以及样本估计总体，理解平均数、中位数、众数的定义，掌握中

位数、众数的计算方法是正确解答的难点.

20.【答案】A

【解析】解：(1)•••学校在课后活动中开设了3门课程，

小军选择的课程是篮球这一事件是随机事件，

故选：A-.

(2)画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小明和小刚两位同学恰好同时选修同类课程的结果有3种，

••・小明和小刚两人恰好同时选修球类课程的概率是］=

yo

(1)由随机事件的概念即可得出结论；

(2)画树状图，共有16种等可能的结果数，其中小明和小刚两位同学恰好同时选修同类的有4种，

再由概率公式求解即可.

本题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步

或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

21.【答案】(1)证明：•••四边形48CD是菱形，

AD//BCELAD=BC,

■■■BE=CF,

BC=EF,

・•・AD=EF,

-AD//EF,

•••四边形4EFD是平行四边形，

vAE1BC,

Z.AEF=90°,

•••四边形4EFD是矩形；

(2)解:•.•四边形ABCD是菱形，AB=13,

•••BC=AB=13,AC1BD,OA=OC=^AC,OB=OD=3BD,

vAE1BC,

・・•Z.AEC=90°,

OE=^AC=OA=2yJ~13,AC=2OE=4V-13.

OB=VAB2-OA2=J132-(2<13)2=3<l3>

•••BD=2OB=

••・菱形SBC。的面积="BDXAC=BCXAE,

即gx6V-l3X4V-T3=13xAE,

解得：AE=12.

【解析】(1)先证四边形4EF0是平行四边形，再证出N4EF=90。，然后由矩形的判定定理即可得

到结论；

(2)由菱形的性质得BC=4B=13,ACA.BD,OA=OC,OB=OD,再由直角三角形斜边上的中

线性质得OE=。4=2「耳，AC=2OE=4「3，然后由勾股定理求出OB=3「耳，则BD=

2OB=6口耳，最后由菱形48CD的面积=^8。xAC=BCX4E,即可求解.

本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形

斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键.

22.【答案】解：(1)设足球的单价是x元，则篮球的单价是(x+30)元，

根据题意，得迎=瑞、2,

xx+30

解得x=50,

经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，

:.x-F30=80.

答：篮球的单价是80元，足球的单价是50元；

(2)设学校购买m个篮球，则购买足球(80-瓶)个，购买费用为w元，

则w—80m+50(80—m)=30m+4000,

•・•购买足球数量不超过篮球数量的5

:.80—m<

解得m>60,

•••k=30>0,

.••当Tn=60时，w有最小值，最小值为5800元，

此时80-爪=20,

答：社团购买60个篮球，20个足球费用最少，最少费用为5800元.

【解析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键

是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出函数解析式.

(1)设足球的单价是x元，则篮球的单价是。+30)元，根据用900元购买足球的数量是用720元购

买篮球数量的2倍列出方程，解方程即可；

(2)设学校可以购买m个篮球，则可以购买(100-m)个足球，购买费用为w元，根据总费用=购买

篮球和足球费用的和列出函数解析式，再根据购买足球数量不超过篮球数量的主求出小的取值范

围，再根据函数的性质求最值.

23.【答案】(1)证明：如图,连接。。，

••,4B是。0的直径，弦CD148,

•••AC-DC>

:.Z.AOD=2(ABC,

•・•乙PDC=2^ABC,

・•・Z-PDC=乙AOD,

・・・Z,PDC+(ODE=Z.AOD+(ODE=90°,

・・・Z.ODP=90°,

・•,OD1PD,

V0D是。。的半径，

•••PD是O0的切线；

(2)解：需的比值不发生变化，

理由：如图，VDO1PDfCD1PO,

•・・Z,OED=乙ODP=90°,Z-EOD=乙POD,

OED~>ODP,

同理△OED〜

则。。2=EOOP,

DE?=OE•EP,

1

-DE=CE=^CD=4,AE=2,

设AO=x,贝！|E。=x—2,

故/=(%—2)2+42,

解得：x=5,故EO=3,

即42=3,EP,

16

:.EP=—,

EMAE23

当点M与点/重合时：丽=而=口=引

3”

EMEB83

当点M与点B重合时：丽=方=和=+

当点M不与点4、8重合时：连接EM、PM、MO,

vDO2=EO-OP,

・•・OM2=EOOP,

/.-O-M-=--O--P-,

EOOM

vZ-AOM=Z.MOA,

••・△OFM-AOPM,

.EM_OE_3

综上所述，器的比值不变，比值为|.

PM5

【解析】(1)根据垂径定理得诧=虎，然后证明NODP=90。，进而可得PD是。。的切线；

(2)分别利用当点M与点4重合时：需=煞，当点M与点8重合时：需=尊当点M不与点A、B重

合时，得出^OFM〜ZkOPM,分别得出答案.

本题是圆的综合题，有一定的难度，考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理,

熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

24.【答案】(1)解：设点M为抛物线丫=a/上的任意一点，坐标为(n,an2),

•••点M到直线y=-1的距离为：|an2+l|,

•••点C的坐标为(0,1),

•••MC2=n2+(an2-l)2,

•••点M到直线y=-1的距离与它到点C的距离相等，

(an2+I)2=n2+(an2-l)2,

整理得：(4a—l)n2=0,

,・,点时(几,0几2)为抛物线y=aM上的任意一点，

A4a—1=0,

1

・・”=%；

(2)证明：•.,直线y=k%+b经过点C(0,l),

・•・此时直线的解析式为：y=kx+l,

由(1)可知：a="，

••・抛物线的解析式为：y=h2,

/4

令=fcx4-1,

整理得：x2-4kx-4=0,

1

=

4-

•・,直线y=fcx+1与抛物线y/交于4。y),B(x2,y2),

%2是方程％-4--4=0的两个实数根，

・,•%1+%2=4/c,•%2=