5.3诱导公式第一课时教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版

5.3.1诱导公式（第1课时）一、内容和内容解析1.内容三角函数的诱导公式中的公式二至公式四（π±α，－α的正弦、余弦和正切）2.内容解析本节课的教学内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式四（π±α，－α的正弦、余弦和正切），是三角函数的主要性质。前面学生已经学习了任意角的三角函数的定义、诱导公式一和同角三角函数的基本关系，在此基础上继续学习公式二至公式四为下节课研究公式五，公式六以及以后的三角函数求值、化简打好基础。三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，利用对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得“数”与“形”得到紧密结合，成为一个整体.诱导公式的学习和推证过程还体现了三角函数之间的内部联系，是定义的延伸与应用，在本章中起着承上启下的作用.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值.诱导公式的推导过程，体现了“数形结合”和复杂到简单的“转化”的数学思想方法，反映了从特殊到一般的归纳思维形式．对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有积极的作用.本节课的重点是诱导公式的探究，即利用三角函数的定义借助单位圆，通过寻找角的终边的对称性与角终边与单位圆交点的对称性发现并推导出诱导公式，从而提高对数学知识之间（圆的对称性与三角函数性质）联系的认识。二、目标和目标解析1.目标（1）从三角函数的定义出发，借助单位圆关于原点的对称性，能推导π＋α的正弦、余弦和正切，发展直观想象、逻辑推理素养．（2）学生经历自主探究发现问题（任意角α的三角函数值与π＋α，πα，α，的三角函数值之间的内在联系），提出研究方法（利用坐标的对称关系，从三角函数的定义得出相应的关系式）并完成推导过程，体会数形结合及转化思想的运用，获得基本思想，积累基本活动经验．（3）通过建立公式一~四之间的联系，能利用公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，会用公式一~四进行简单三角函数式的化简求值，发展数学运算的素养．2.目标解析达成上述目标的标志是：会利用单位圆的对称性与任意角终边的对称性得出坐标关系，对应三角函数关系。会根据对称性建立角之间的关系，坐标之间的关系，最后得到三角函数关系的探究思路。通过观察类比总结出公式的特征，归纳把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数的步骤。三、教学问题诊断分析学生已经学习了任意角的三角函数的定义、诱导公式一和同角三角函数的基本关系，但是从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现问题，提出研究方法这个过程存在障碍，需要教师给予充分的引导，教师可通过复习任意角三角函数的定义先引入单位圆，引起学生对单位圆这一有效工具的注意，从总体上认识研究的目标与手段．学生比较熟悉锐角三角函数，对于理解公式中角α的任意性是个难点。教学过程中需利用ggb动画的演示帮助学生直观感受的任意性。公式探究出来后写在一起，或者在实际求值化简过程不熟悉，或者容易记错，可以在课堂上通过小组内交流，组间相互补充，展现思维过程后师生共同归纳概括公式的记忆方法。基于以上分析，确定本节课重点是：建立单位圆圆的对称性与三角函数之间的关系，探究三角函数诱导公式二~四．教学支持条件分析利用信息技术，ggb动画展示单位圆中角的对称关系，帮助学生直观理解角α的任意性，以利于探究出三角函数诱导公式二~四，从而感受数学的对称简洁的美。教学过程设计（一）创设问题情境师生活动：教师提问，学生思考、回答，学生口述的同时，教师板书问题的结果。问题1：（1）我们是怎样利用单位圆定义任意角的三角函数的？（2）终边相同角的各三角函数之间有什么关系？问题2:sin390°=？那sin570°=？教师引导：由公式一可将sin570°化为sin210°，210°虽然在0°～360°之间可是也不能直接获得其三角函数值，能否再把0°～360°间的角的三角函数值化为我们熟悉的0°～90°间的角的三角函数问题呢？如果能，那么任意角三角函数求值问题都可以化归成锐角三角函数求值，特殊的锐角有特殊值，而非特殊锐角的三角函数值可以通过查表最终解决。这节课我们就来学习和研究解决这类问题的方法.设计意图：通过复习旧知，提出的新问题，引导学生进一步思考，为新知识的学习打下基础，激起学生们的兴趣.

(二).探索新知，汇报交流问题3：你能用我们刚刚复习的方法求出sin210°吗？师生活动1：教师提出具体问题，学生独立思考并回答老师的提问。师生活动2：教师追问：390°的终边与锐角30°角的终边重合，那210°角的终边与哪个锐角的终边有关系呢？它们的三角函数间又有怎样的关系呢？如果是任意角如何转化成有关系的锐角呢？设计意图：教师通过问题引导，从课前提出的具体问题入手，用定义求解学生是可以想到并完成的，但借助学生熟悉的特殊角去建立30°角的终边与210°角的终边的位置关系，再转化为角的终边与单位圆交点坐标之间的关系需要教师引导，从这个过程中让学生体会研究此类问题的思路和方法，为下一步研究任意角α和π＋α三角函数之间的关系做好铺垫。教师引导：为了解决这个问题，我们联想到前面利用单位圆定义了三角函数，并根据定义得出了公式一，这组公式非常形象地刻画了“周而复始”的变化规律．能不能利用单位圆的继续探究呢．我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质．由此想到，我们可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性．问题1：在直角坐标系中能找到单位圆的哪些特殊对称性呢?如图，在直角坐标系内，若设任意角的终边与单位圆交于点，你能想到单位圆上点的哪些特殊对称点?思考：设任意角α的终边与单位圆交于点P1，你能想到单位圆上点P1的哪些特殊对称点?答：关于原点对称；关于y轴对称；关于x轴对称。角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角α的终边与角α的终边有什么关系？角πα的终边与角α的终边有什么关系？学生探究思考后，在希沃课件上做游戏互动匹配对应的对称关系，增加课堂趣味性。图1图1师生活动：探究角π＋α与角α的图1图1第一步，先从形上找到角之间的关系：以OP2为终边的角β都是与角π＋α终边相同的角，即β=2kπ＋(π＋α)（k∈Z）．第二步，建立关于原点对称的点的坐标之间的关系，将形的关系代数化：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．因为P2，P1关于原点对称，所以x2＝－x1，y2＝－y1．第三步，等量代换数得到三角函数值之间的关系：由三角函数的定义得sinα＝y1，cosα＝x1，tanα＝eq\f(y1,x1)（x1≠0）；sin(π＋α)＝y2，cos(π＋α)＝x2，tan(π＋α)＝eq\f(y2,x2)（x2≠0）．sin（π＋α）＝－sinαsin（π＋α）＝－sinα，cos（π＋α）＝－cosα，tan（π＋α）＝tanα．追问1：问题中给出的α是任意角，而我们图中的α为第一象限角，我们得到的结论适用于任意角吗？师生活动：打开ggb文件，输入β=π＋α，拖动α的滑动条改变α的值，观察终边对称情况，学生思考、讨论得出：无论α的终边在什么位置，点P1、P2关于原点对称的位置关系不变，因此坐标间的关系也不变，π＋α与α的三角函数值的关系就不会改变．追问2：归纳推导公式二的过程，你能给出主要的研究路径吗？师生活动：学生思考、交流后得出研究路径：单位圆的对称性→角与角的关系→对称点的坐标间的关系→三角函数值之间的关系．设计意图：在探究过程中，引导学生从三角函数定义出发，使他们认识到可以利用圆的对称性研究三角函数的性质，感受由形到数的转化，感悟数形结合的思想方法，提升直观想象素养．带领学生梳理研究路径，进一步明确研究的方向和步骤，为后续的自主探究打下基础．问题2：类比公式二的探究过程，借助于平面直角坐标系，你认为还需要研究点P1的哪些特殊的对称点？又能得出怎样的结论呢？师生活动：学生可以自然地发现还需要研究点P1关于x轴、y轴对称的点．通过自主探究、小组讨论，教师巡视观察，适时引导．大多数学生可以独立完成公式三、四的推导．sin（π－αsin（π－α）＝sinα，cos（π－α）＝－cosα，tan（π－α）＝－tanα．sin（－α）＝－sinα，cos（－α）＝cosα，tan（－α）＝－tanα．公式三：公式四：设计意图：将角的终边关于坐标轴对称时的三角函数关系一起让学生探究，既突出了诱导公式的整体研究架构，又检验了学生对公式二的学习效果，提升学生的逻辑推理素养．师生活动：希沃课件设置拔河游戏，增加互动趣味性。问题3：例1利用公式求下列三角函数值：cos225°；（2）sin；（3）sin；（4）tan（－2040°）．追问1：题目中的角与哪个特殊角接近？应该选择哪个诱导公式化简求值？师生活动：学生独立完成之后展示交流，注意展示其思考过程，教师帮助规范求解过程．（1）cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－；（2）sin＝sin＝sin＝sin＝sin＝；（3）sin＝－sin＝－sin＝＝；（4）tan(－2040°)＝－tan2040°＝－tan(6×360°－120°)＝tan120°＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－．设计意图：在得到诱导公式后，在此让学生独立去实践解决问题，在实践中体会诱导公式在解题过程中的应用，使任意一个角都转化为他们所熟知的锐角，体会从未知到已知的化归思想，从而为总结出解题的一般步骤奠定基础.追问2：通过上面四个题目的解答，你对公式一~公式四的作用有什么进一步的认识？你能归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数的步骤吗？师生活动：先由学生阐述自己的想法，老师带领学生一起总结：口诀：函数名不变，符号看象限化简求值思路与公式选用的特征：【巩固练习1】求下列各三角函数式的值：(1)sin(－660°)；(2)coseq\f(27π,4)；(3)2cos660°＋sin630°；【解析】(1)因为－660°＝－2×360°＋60°，所以sin(－660°)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).(2)因为eq\f(27π,4)＝6π＋eq\f(3π,4)，所以coseq\f(27π,4)＝coseq\f(3π,4)＝－eq\f(\r(2),2).(3)原式＝2cos(720°－60°)＋sin(720°－90°)＝2cos60°－sin90°＝2×eq\f(1,2)－1＝0.例2化简：eq\f(cos(180°＋α)·sin(α＋360°),tan(α180°)·cos(180°＋α))．追问3：本题与例1的区别是什么？由例1总结出的求解步骤还能用吗？师生活动：区别：例1涉及的是具体的角而例2用的是抽象的角α，求解步骤依然适用．学生独立完成，展示交流，注意展示其思考过程，教师帮助规范求解过程．tan(－α－180°)＝tan［－(180°＋α)］＝－tan(180°＋α)＝－tanα，cos(－180°＋α)＝cos［－(180°－α)］＝cos(180°－α)＝－cosα，所以，原式＝eq\f(cosα·sinα,(tanα)·(cosα))＝－cosα．设计意图：让学生在自主选择公式求解问题的过程中，体会公式一~公式四各自的作用，总结根据题目的条件选择公式的方法和步骤，形成程序化的解题步骤，体会算法思想、转化与化归的思想，发展数学运算的素养．【巩固练习2】化简：.【解析】原式＝＝＝＝－.问题4：回忆本节课的学习内容，回答下面的问题：我们是如何发现和提出本节课所要研究的问题的？探索公式二~公式四，我们经历了怎样的过程？用了哪些方法？运用公式二~公式四将任意角的三角函数化归为锐角的三角函数的基本步骤是怎样的？你认为还有哪种对称关系值得研究？师生活动：学生给出答案，发表看法，教师在学生回答的基础上进行适当归纳．设计意图：（1）回顾从“角的终边相同”时三角函数的关系，到“角的终边具有特殊对称性”的三角函数的关系，进一步落实发现和提出问题的能力，帮助学生建立借助单位圆研究三角函数性质的思维习惯．通过回顾进一步明确诱导公式的研究路径和运用步骤．（3）为接下来探究角的终边关于直角坐标系中特殊直线对称的问题留下伏笔．目标检测设计1、计算：（1）cos(－420°)；（2）sin(－76π)；（3）tan(答案：（1）；（2）；（3）－．化简：答案：．设计意图：检测学生恰当选择公式进行三角函