高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题

总分200分

一、选择题（50分）

1+2•

2、已知，是虚数单位，则复数—-=（）

z-2

.43.43.

AIB-ZC--------1D-----h—Z

5555

2、下列函数中，既是奇函数，又是在区间（-8,+8）上单调递增的函数是（）

Ay=x2+xBy=%+2sinxcy=x3+xDy=tanx

3、已知a,〃均为单位向量，其夹角为8,则命题p:a-h>1是命题9：。€[£,?）的

（）

A充分非必要条件B必要非充分条件

C充要条件D非充分非必要条件

4、已知集合尸={%|=-+

数a的取值范围是（）

A（-00,1]B[1,+co）c[-1,1]D[-1,4-00）

5、函数y="^^■sin（%+,）+cos（---%）的最大值是（）

13V13V13/-

A——B-----C-----DA/13

442

6、如图，四棱锥S-ABC。的底面是正方形，SDL底面

ABCD,则下列结论中不正确的是（）

AABVSABBC|平面SA。

cBC与SA所成的角等于4）与SC所成的角

DS4与平面S3。所成的角等于SC与平面SB。所成的角

7、程序框图如图所示，若/（%）=%2,g（%）=k>g2%,输入%的

值为0.25,则输出的结果是（）

A0.24B-2c2D-0.25

8、设分别表示平面直角坐标系羽y轴上的单位向量，且

靖贞

a—i+。-2力=JG,则a+2i的取值范围是()

A[272,3]B[卓,2/]c[6,4]D[竿,3]

22c\I

9、已知耳，耳分别为双曲线c：'■一多=1的左右焦点，点A的坐标为(段,)修2),

则ZF｛AF2的平分线与轴的交点M的坐标为()

A(2,0)B(-2,0)c(4,0)D(-4,0)

10、设/(%)=%2+bx+c,若方程/(%)=%无实根，则方程/(/(%))=%()

A有四个相异实根B有两个相异实根

C有一个实根D无实数根

二、填空题(共49分)

11、设直线y=ax-4与直线y=8x-b关于直线y=x对称，则a-,b-.

l-|cosx|.

12、已知——----[=sinjr,则无=__________.

l+|cosx|

13、已知XGR,则J%(x+1)+arcsin(Vx2+x+1)的值为.

14、己知实数满足勿?=。2+[2=1,则(”-c)2+s-d)2的最小值为

20111

15、设数列｛%｝为等比数列，且每项都大于1,则IgqlgQ如25：-----------的值为

--Mlgqlgq+i

(%+―)4~

16、设X>0,则/(%)=——----------A的最小值为_______.

(x+-)3-(x3+-^)

XX'

17、如图是一个残缺的3x3幻方，此幻方每一行每一列及每一

40172018

条对角线上得三个数之和有相等的值，则尤的值为.

401511

20189

三、解答题(每题17分，共51分)

1010

18、已知实数七，％2，.,,须0满足^^七一1区4,3|七一2|<6,求为,工2，■，须0的平

1=11=1

均值.

xv

19、设尸为椭圆——+2—=1长轴上一个动点，过点P斜率为Z直线交椭圆于两点。若

2516

|PA|2+\PBf的值仅仅依赖于左而与P无关，求攵的值.

20、设p,qeZ；且p</。试证对〃eZ*,存在Ne，使

(〃々/—4”心心―/且⑺+而一/—近河一/.

四、附加题（每题25分，共50分）。

21、设圆。4与。1,圆。I与。2,圆。2与。3,圆Q与。4分别外切于［，£，£，匕，试

证：

（1）2四点共圆;

（2）四边形。|。203。4是某个圆的外切四边形；并且该圆的半径不超过四边形

片,乙,鸟,舄的外接圆的半径.

22、设彳,，2，,"10为12…,10的一个排列，记S=，；一q+,3—乙|+-+p9—^,1()1,

求S可以取到的所有值.

2012年浙江省高中数学竞赛试题解答

说明：本试卷分为A卷和B卷：A卷由本试卷的22迤组成，即10道选择迤,7道填空题、

3道解答题和2道附加题;B卷由本试卷的前20题组成，即10道i蝴题,7道填空题和3

道解答题.

一、选择题(本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号

填入题干后的括号里，多选、不选,错选均不得分，诲题5分，共50分)

1.已知，•为虚数单位，则复数上2=(B)

i-2

A.iB.-iC.———iD.——l--/

5555

解答：Lt二=LL@UL_3=T.正硝答案为B。

i-2(i-2)(<+2)

2.下列函数中，既是奇函数，又在区间(fc.y)上单调递增的函数为(C)

A.y=/+xB.v=x+2sinxC.y=x'+.vD.y=Ianx

解答：逐一验证,正瑰答案由C。

3.己知“与/；均为单位向量，其夹角为。，则命题〃：卜-彳>1是命题

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分且必要条件D.非充分也非必要条件

解答：由向量几何意义知道,,-〃卜1nOw4.尸):若Ow|=’-6卜

正确答案为B。

4.已知集合尸={xI1<x<2},M=(A|2-«<A<I+«),若PcM-P•则

实数。的取值范困是(B)

A.(—<20,1]B.[1,4^0)C.[—1,1]D•[—1,+8)

解答：由。cM—〃nPuA/=>2—。01,12=a2I。正确答案为B。

5.函数丫=立§皿工+£）+（：0«2一/）的最大值为（C

）。

226

sIw=斗^”,正确答案为C。

6.如图，四棱锥5—A8c。的底面为正方形,5。，底面488,

则卜列结论中不小画的是（C）

A.A8_LSA

B.8c〃平面5AD

C.BC与SA所成的角等JAD与SC所成的角

D.SA।j平面SBD所成的角等1SC与平面SBD所成的角

解答：ABJ.平面SV）=A8_LS4；市BC〃AD岛BC〃平面SAD;设47于即交于

0,则SA与平面S劭所成的府为NASO,SC与平面S劭所成的角为NCSO,且存N

ASO=ZCSO.正踹答案为C。

7.程序框图如图所示，若/（x）=Vg（x）=lo&x,输入x的值为0.25.则输出

结果为（B）

A.0.24B.-2C.2D.-0.25

解答：计算得正确答案为B。

8.设〔j分别上小平面直角坐标系x,y轴I的单位向量，旦产」|+卜；-2）卜#.

则.+可取值范围为（D）

A.(272,318」竿,201C(75,41D.[竿,3]

解答：满足kT+1-可=#向量£的终点在线段2x+、-2=0(04x41)上，所

以p+2,的戢大值就是点(-2,0)与(1,0)距离3,最小值就是点(-2,0)到

线段的距离竽。正确答案为D。

9.已知Fi.f?分别为双曲线C:--二=1的左、右焦点,点八的坐标为

927

§.芈)，则NF】AF2的平分线与X轴交点”的坐标为(A).

A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4.0)

API\pUI

J

解答：A；(-6.0),F/6,0)=>4=2=>_7=2=>/W(2,O)u正确答案为A。

AF2\\MFI\

10.设/(x)=/+6x+c,若方程/(*)=*无实根，则方程f(.f(x))=x(D)

A.有四个相异实根B.有两个相异实根C.有个实根D.无实数根

解各：/(幻=4无实根,处】二次函数图象/(幻=T+/7X+C在克线.V=K上方,即

f(x)>x,所以/(7*))>f(x)>Xa正确答案为D

二、填空题(本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分,

共49分)

11.设立线.v=ar—4与.\，=8与一岳关于总线.v=x对称.贝U

1心一

«=一/=一-32o

8---------

14

解答：\，=av-4关于v=x对称的直线方程为v=一x+—°

“aa

I4I.

=-=8,—=〃=-,〃=-32o

aa8

12.已知一竺=sinx,则x=_kn，2k/r十%(kwZ)___.

I+COSX2

1-COSA

解答：由--=-s-i-n--x-=>sin2x=sinx(I-H|COSA|)2=>sinx=0,Acosx=0且

I-cosx

sinx=lnx=+—（keZ）

29

13.已知xG凡则J式x+l）+arcsinJ./+K+1的值为g«

解答：X24-X>0..\A24-X4-I>I=>A:+X-0♦所以原式二£♦

2

14.已知实数满足=+小'=1.则（a-c）2+（〃-〃）'的最小值为

3-272。

解答：（a-。）？+S-d），的最小值就是双曲线,1〃=1上点与阅c2^-d2=I上点的景.

小距离平方,即（1,1）,（立，立）两点距离平方,即3-26。

刈II

15.设｛““｝为等比数列，旦每项都大于1，则电6坨“加,£一!—的值为

**.,Igfl,lgaM1

_2011—。

3011|

育举答：当公比为1时，M1]Iga,Ign^pV--------------=2011.

JIgaJg，*

当公比为m时，则糖q1g的“,I一=处警U¥（『--』）

krigajga,“怆9rrig«,怛，

=li%幽皿（_!----------!_）=2011.

IggIgqlga211l3

（XH）4—（X4+—7）7

16.设x>0,贝Uf（x）=-f-------------卜的最小值为_______-_______.

（x+T3-a'+T3

XX

解答：/=x+，n/22,x'+」y=i4-4/+2,/+二=--31,所以

XXX

4942177

/（x）-片。）一一/一二尸,^（2）--x2——X---_/（I）0因此/（幻的黄小值为一°

33.、3233

17.如图是个残缺的3x3幻方.此幻方每一行每一列及每一条对角线上的三个

数之和TT相等的值，则x的值为4016.

解答：*卜全幻方4017+2012=x-2003+xnx=4016。

40172012I

4015X-2OO3ZJ

20149

三'解答题（本大题共3小题，每小题17分，共计51分）

inin

18.已知实数占.天,满足-l|«4，Zk；-2|46,求知与.…百。的平均使

1-1

in1010

18.解答:10=£[&--2)14Zk，-||+£|^-2|<10,

所以有

10

Zk，-l|=4，Zk，-2|=6=l4为42.(10)

(17)

19.设P为椭圆±+±=1长轴上一个动点，过P点斜率为人直线交椭圆十A8

2516

两点,若仍有'+俨8|.'的值仅依赖JK而与尸无关，求K的值。

v=t(x-a)

为丫=〃*一4)。由V2,得

—+^-=1

12516

50aJt222

25ak-4OO⑸

内+为二l6+25k2，X'X：一—16+25公

所以

32办一,、，、(16/-400次

V.+.v=-,=k(v-a)(x-fl)=?(10)

2I6<+25A2l2I6+25A

所以

22

\PA(+\PBf=(xt-<7)+y：+(x,-a)+y；

21

=(X|+.r2)'-2xix2-2“(X]+Jr,)+(x+y,)-2Vj,v,+2a

,.2(512-800^)4?+800(16+25^)

二伏+”•(16+25行(15)

令512-800#-0=A-士J....................................(17)

5

20.设p,"Z',且q4p一试证对〃GZ+.存在NwZ',使

(p—J/，：—q)"=N-QN：-q"、JI

(/,+Qp--q)"=N+JA/-—q",

20.解：i殳x]=(〃-2=(〃+

我们有X|jq=4,.........................................................................(5)

令N=4(3+£)=£(-1)(*p"T(pLq)i,显然，NwZ*,...............(10)

2x

JIXpX2满足二次方穆/-2Nx+q"=0

更由于％VX],所以

Xi=N_jM_g”.x?=N+jN2-q”.........................................................(17)

四'附加题（本大题共2小题，每小题25分，共计50分）

21.设网。，与（小圆。与Q,网q与。,，网。，与a分别外切于片.鸟.七已试

证：

（1）片,%%2四点共圆;

（2）I四边形。OQ0,是某个圆的外切四边形：井n

（3）该圆的半径不超过四边形£6?出的外接圆的半径。

21.解答：（1）根据弦切角等于网心角之半，我们有

N66代-+/O00J,/巴巴6=1（ZO,OA+NO04OJ,所以

二2

/片66+NPRP=：（NW+NOQ；。、+NO/?04+NOQQJ=n,

这表明/鸟,%4.四点共圆......................................（10）

（2）qq+aa=（o4q+。/）+（。,代+QR）=（。出+。优）+（。武+。把