2023-2024学年湖南省永州市高二年级上册期中数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年湖南省永州市高二上册期中数学模拟试题

一、单选题

1.设集合A={x∣-14x≤l},B={x∣x2-2x<θ},则AB=()

A.{Λ∣-1≤X<0∣B.{Λ∣O<X≤1)

C.{x∣l≤x<2}D.{x∣T≤x<2}

【正确答案】B

【分析】先解出集合B,再直接计算交集.

【详解】因为A={x∣-l≤x≤l},B={X∣√-2X<0}={JV∣0<JC<2},所以ACB={x∣0<x≤l},

故选:B.

2.已知不共线向量4，b，∣α∣=2,W=3,a-[h-a)=∖,则,-R=()

A.√3B.2√2C.√7D.2√3

【正确答案】A

先由已知等式求出“∕=5,再利用向量模的求法即可求得∣b-α∣.

2

【详解】a[b-a)=∖,∣α∣=2,a.∣7-a=↑^∙Va∙b=5‹

∖b-aY=∖∣(b-a)2=∖∣b^-2a∙b+a=E.

故选：A

本题考查向量模的求法，属于基础题.

3.已知sin(α+^∙)=∣∙,贝IJCOS=()

A.-立B.--C.—D.

393

【正确答案】D

先用诱导公式化为8s(q-2α)=cos(2α+^}再用二倍角公式计算.

故选：D

4.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡六千七百七十三人，西乡五千

二百二十七人，南乡若干人，凡三乡，发役五百人，而南乡需遣二百人，问南乡人数几何？”

其意思为：今某地北面有6773人，西面有5227人，南面有若干人，这三面要征调500人，

而南面共征调200人(用分层抽样的方法)，则南面共有()人.

A.7200B.8000C.8200D.8800

【正确答案】B

【分析】根据分层抽样的概念及计算方法，列出方程，即可求解.

【详解】设南面有X人，则屋S=黑，解得X=8000.

故选：B.

5.已知直线区-y-3k+l=0,当&变化时，所有直线都恒过点()

A.(0,0)B.(0,1)C.(2,1)D.(3,1)

【正确答案】D

【分析】将直线方程整理为左。-3)-(y-l)=0,从而可得直线所过的定点.

【详解】直线H-y-3Z+l=0可化为总—3)ED=0,

[Λ-3=0fx=3

令〈,λ,解得：，，所以直线过定点(3,1),

Iy-I=OIy=I

故选.D

6.已知直三棱柱ABC-ABe中，NABC=I20。，AB=2,BC=Cq=1,则异面直线AB∣

与BG所成角的余弦值为()

ʌ√3r√15r√10n√3

2553

【正确答案】C

【分析】由题知A4=Bg-β4,SC1=SC+CC1,进而利用向量求解异面直线所成角即可.

【详解】解：由题知，在直三棱柱ABC-A4G中，8耳JL平面A8C,CGI平面ABC,

「BCu平面ABC,ABU平面A8C,

.∙.BβlɪBC,CC11AB,

•：ABl=BB1-BA,BC1=BC+CC1,

.∙.AB,-BCx=BBx-BC+BBcCCx-BA-BC-BACC,=0+l-2×l×[-ɪ∣-0=2.

\乙）

V∣Aβl∣=√5,∣βC,∣=√2,

.∕BeJAB「BC、2一回

..ccooss”λβBG）网鸣TX近5，

二异面直线ABt与BG所成角的余弦值为叵

5

故选：C.

Bl

≡

C

7.若直线y=x+b与曲线y=3-44%-/有公共点,则b的取值范围是（）

A.[l-√2,l+√2]B.[l-√2,3]C.[l-2√2,3]D.[-l,1+√2]

【正确答案】C

【详解】如图所示：

yt

曲线y=3-gx-Y,即（χ-2）2+（y-3）2=4（l≤jp≤3,04x≤4）,

表示以A(2,3)为圆心，以2为半径的一个下半圆,

由圆心到直线y=χ+b的距离等于半径2,

∣2-3-⅛∣

可得~1Γ—2，解得⅛=1+2∙∖∕2或6=1—2Λ∕21

结合图象可知1一2应≤b≤3,故选C.

8.设“X)是定义域为R的偶函数,且在(y,0)单调递增，设α=3%6=(g),C=Iog4OJ1

则()

A./(c)>∕(α)>∕(⅛)B./(α)>∕(c)>∕(⅛)

C.f(c)>f(b)>f(a)D./(a)>∕(Z>)>∕(c)

【正确答案】A

【分析】先将。，人化为同底数的幕，利用指数对数函数的性质比较〃、8、©三个数的大小

关系，再由函数y=∕(x)在区间(0,+8)上的单调性并结合偶函数的性质可得出/(4)、

”6)、/(C)的大小关系.

0130403

【详解】∣c∣=∣log40.3∣=-ɪɑgjɪ=lθg4y≡(>)»>α=3°>1,Z?=3>3>1,

βp⅛>β>1>∣c∣>O,

由于函数y=∕(χ)是偶函数，在区间(y,o)上单调递增，所以在(0,+8)上单调递减，

由于函数y=∕(χ)为偶函数，则/(∣c∣)>"α)>f(6),即/卜)>%)>/(",

故选：A.

本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，涉及指数对数的运算和比较大小，考查

推理能力，属于中等题.关键是转化为(0,+8)上的单调性再比较.

二、多选题

9.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的IOO件产品，其中一等品有20件，合格品有70件,

其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，3为"是合格

品”，C为"是不合格品”，则下列结果正确的是()

7

A.P(B)=一

10

B.P(AnB)=O

7

C.P(BnC)=—

IOO

9

D.P(AuB)=-

10

【正确答案】ABD

【分析】依题意可得A、B、。为互斥事件，即可判断B、C,再根据古典概型的概率公式

得到P(A)、P(B)、P(C),即可判断A,最后根据和事件的概率公式判断D；

【详解】解：由题意知A、B、C为互斥事件，,RAB)=P(BC)=0,故B正确、C

错误；

271

・・・从100件中抽取产品符合古典概型的条件，・・・P(A)=而、P(B)=->P(C)=-,

o

则P(AB)=P(A)÷P(B)=-,：.A、D正确，

故选：ABD.

10.已知向量α=(l,-1,0),⅛=(-1,0,1),c=(2,-3,1),则()

A.卜一〃∣=6B.(α+2^)∙(∕2+e)=6

C.(〃+52)_LcD.a!l(b-c)

【正确答案】BCD

【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标运算一一计算可得.

【详解】解：因为。=(l,T,0),⅛=(-1,0,1),

所以α-%=(2,TT),所以卜-可=厅dd=",故A错误；

因为a+»=(—1,—1,2),⅛+c=(l,-3,2),所以(α+2b)∙,+c)=6,故B正确；

因为α+58=(-4,—1,5),所以(α+5Z>)∙c=-4x2+(-l)x(-3)+5xl=0,故C正确；

因为:」=(T3,0),a=。,—1,0),所以力」=—3。，所以「〃0」)，故D正确.

故选：BCD

H.已知直线卜I2的方向向量分别是AB=(2,4,X),CD=(2,y,2),若IABl=6且《∙L4,则x+

的值可以是()

A.-3B.-1C.ID.3

【正确答案】AC

根据空间向量模的计算公式以及向量垂直的坐标表示即可求解∙

【详解】AB=(2,4,X),CD=(2,y,2),

若IABI=6且4∙L4,

222

y∣2+4+x=6fx=4fx=T

则V，解得，或1，

2×2+4y+2x=0Iy=-3Iy=I

所以χ+y=l或一3.

故选：AC

12.已知圆。:/+尸=4和圆加：/+>2+4》-2)，+1=0相交于八，B两点，下列说法正确

的是()

A.圆。与圆仞有两条公切线

B.圆。与圆M关于直线AB对称

C.线段AB的长为姮

2

D.E,尸分别是圆。和圆M上的点，则IEFl的最大值为4+占

【正确答案】ABD

【分析】根据题意，由圆的方程分析两圆的圆心和半径，由此依次分析4个选项，即可得答

案.

【详解】解：根据题意，圆O：f+y2=4,其圆心为。(0,0),半径R=2,

ISIΛ/:x2+y2+4x-2y+l=0,即(x+2f+(y-以=4,其圆心为M(-2,l),半径r=2,

依次分析选项：

对于A,由于OM=J2?+』=逐,∣R-r∣=0,R+r=4,Xθ<√5<4,所以两圆相交，故有

两条共切线，A正确，

对于B,圆。和圆M的半径相等，则线段。”的垂直平分线为AB,则圆。与圆A/关于直

线AB对称，B正确，

22

fx+v=4

对于C,联立F+2+4t_2v+l-0,化简可得4x-2y+5=0,即A8的方程为

4x-2γ+5=0,

。到AB的距离d=,5•=亚,则IABl=2X√F=T^=2xJ^=√ΓT,C错误;

√l6+4211V4

对于D,∣OM∣=√4+T=√5,则IEFl的最大值为IOM+R+r=逐+4,D正确，

故选：ABD.

三、填空题

13.已知(l+i)z=2i(i为虚数单位)，则Z=.

【正确答案】l+i##i+l

【分析】根据复数代数的四则运算计算即可.

/、2i2i(l-i)、

【详解】(l+i)z=2i,Λz=-ɪɑɪɪɪi(l-z1)=1+..

故答案为.z=l+i

14.已知两个向量α=(2,-l,3),。=(4,,”,〃)，且。〃力，则m+〃的值为.

【正确答案】4

【分析】依题意可得存在实数2使得％=∕U,即可得到方程组，解得即可；

【详解】解：因为“=(2,-l,3),6=(4,加,〃)，且二〃力，所以存在实数/1使得8=即

4=2λλ=2

(4,∕n,n)=2(2,-l,3),即4m=-λ解得=所以加+〃=4

n-32/7=6

故4

15.如图所示，若正方形ABCO的边长为1,PDl5FffiABCD,且PD=I,E、尸分别为A8、

BC的中点，则直线AC到平面PM的距离为.

【正确答案】胆##二下

1717

【分析】以点。为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线到平面的距离.

【详解】依题意，以点。为原点，射线ZHOCoP分别为χ,y,Z轴非负半轴，建立空间直角

则A(l,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),E(l,ɪO),f(ɪ1,0),则

22

AC=(-1,1,O),£F=(-^,ɪO),PE=(l,i-1),

222

n∙EF=-ɪʃ+-^y=0

22

设平面PEF的一个法向量为”=(X,y,z),贝『,令y=2,得“=(2,2,3),

“∙PE=x+∙^y-z=O

2,

显然;?.花=0，即"，AC，而直线AC(Z平面庄户，则AC//平面P£F,

因此直线AC到平面PE尸的距离即为点A到平面PE尸的距离，而AE=(O,g,0),

IAET1Tn

则点A到平面PEF的距离d=L∣==*,

M√1717

所以直线AC到平面PEF的距离为姮.

17

故姮

17

16.德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A,B是NMON

的ON边上的两个定点，C是。M边上的一个动点，当C在何处时，NACB最大？问题的答

案是：当且仅当-ABC的外接圆与OM边相切于点C时，/AC8最大.人们称这一命题为米

勒定理，已知点£>,E的坐标分别是(0,1),(0,3),F是X轴正半轴上的一动点，当NDFE

最大时，点尸的横坐标为.

【正确答案】√3

【分析】根据米勒定理可知，当一八所的外接圆与X轴相切时，/OFE最大，利用垂径定理

和三角形外接圆的性质即可得出答案.

【详解】因为点。，E是y轴正半轴上的两个定点，点F是X轴正半轴上的一个动点，

根据米勒定理可知，当_£>£尸的外接圆与X轴相切时，/CFE最大，

易知，弦。E的垂直平分线必过DE尸的外接圆圆心，

所以弦OE中点G的纵坐标，即为一DEF外接圆半径的大小，即r=2.

设勿EE的外接圆的圆心为(小2),其中a>0,则。2+(华『=/,

S∣Ja2÷l2=22,解得〃=百，所以△OEF的外接圆的方程为(X-Gy+(y-2?=4,令y=0,

可得x=√L即点尸的横坐标为√L

故答案为•百

四、解答题

17.(1)求过点(4,3)且与直线x+2y+l=O垂直的直线/的方程；

(2)求过点4(2,-1)且在X轴和y轴上的截距相等的直线I的方程.

【正确答案】(1)2x-y-5=0;(2)x+2y=O或x+y-1=().

(1)根据两直线垂直的关系设/的方程为2x-y+c=0,代入点，可得所求直线的方程；

(2)分直线/过原点和直线/不过原点两种情况求得所求直线/的方程.

【详解】解：(1)设/的方程为2x—y+c=O,代入(4,3)得c=-5.

•••直线/的方程为2x-y-5=0,

(2)当直线/过原点时，直线/的方程是y=-；x,即x+2y=0；

当直线/不过原点时，设直线/的方程是土+』=1，将点A坐标代入，得2-1=1,解得。=1,

aaaa

此时直线/的方程是χ+y-1=0.

综上所述，所求直线/的方程是x+2y=0或x+y-l=O.

18.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,B⅛∏(a-c)sinC=asinΛ-⅛sinB.

(1)求23的大小；

(2)若α=5,c=2,。为BC的中点，求CoSNAOC的值.

【正确答案】(I)B=

⑵一理

【分析】(1)应用正弦定理边角关系得“c=∕+c2-从，再由余弦定理求COS8,即可得/8

的大小

71

(2)应用余弦定理求得AC2=19、ΛD2=—,在^AOC中求CoSNADC.

【详解】(1)由正弦定理边角关系，可得(。一C)C=M一%则ac=/+/—/,

而CoSB="-+C'"=J.,且Be(θ,π),故8=工

由（1）知：62=α2+c2-2（accosB=29-10=19,即4C,=19,

a2n41u21

Xτ7AλD~=—+C*"-accosB=-----5=—

444

25

CD2+AD2-AC2ɪ

在^AOC中，cosZ4DC=

2CDAD'2↑

T

19.如图，四棱锥尸―ABC。的底面是矩形，PDABCD,PD=DC=I,BCm，

M为BC的中点.

(1)求证：PBLAM;

(2)求平面PAW与平面尸DC所成的角的余弦值.

【正确答案】（1）证明见解析；（2）巫.

7

【分析】（1）以点。为原点，依次以D4,DC,OP所在直线为X,y,z轴建立空间直角坐

标系，求出PB-AM=0,利用数量积即可证明.

（2）求出两平面∕¾M与平面PQC的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦.

【详解】解：（1）依题意，棱D4,DC,OP两两互相垂直.

以点。为原点，依次以ZM,DC,OP所在直线为X,y,z轴，

如图，建立空间直角坐标系.

可得PB=(Λ∕Σ,1,-1),AM=——,ɪ,θj.

所以PB∙AM=√∑x[-用+1-0=0,

所以P3_LAW

(2)由(1)得到A(∖∕Σ,0,0),M

因此可得AM=-,AP=(-∙∖∕2,0,l).

设平面R4"的一个法向量为4=（x,yz）,则由

■显

AVAM=0,X+y=0,

得2

n∙ΛP=0,

1-V2x+z=0,

令z=2√∑,解得用=(2,0,2逝).

同理，可求平面PoC的一个法向量%=（1,0,0）.

所以，平面B4M与平面PZ）C所成的锐二面角。满足:

CoS””「JL√M

cos∣∣

'-kk-√^×ι一〒.

即平面BAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为巫.

7

20.心绞痛是冠状动脉供血不足，心肌急剧地暂时缺血与缺氧所引起的以发作性胸痛或胸部

不适为主要表现的临床综合征.在某地随机调查10位心绞痛患者第一次出现症状的年龄，

得到如图所示的样本数据频率分布直方图.

（2）估计这组数据的平均数；（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）

【正确答案】（1）0.030；

(2)53.5.

【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程，即可得出。的值；

（2）根据频率分布直方图中的数据，列出式子，计算即可得出答案.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，

0.005×10+0.015×10+0.020×10+α×10+0.015×10+0.010×10+0.∞5×10=l,

所以α=0.030.

(2)由频率分布直方图可知，这组数据的平均数为

25×0.05+35×0.15+45×0.2+55×0.3+65×0.15+75×0.1+85×0.05=53.5.

21.(1)求过点A(3,T),S(-l,5),C(1,3)点的圆的方程，并写出圆心坐标和半径;

(2)求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5,2)和(3,-2)的圆的方程，并写出圆心坐标和

半径.

【正确答案】(1)圆的方程为(x+8f+(y+4)2=13O,圆心坐标为(一8,-4),半径为√i而；

(2)圆的方程为(x—2)2+(y—1)2=10,圆心C(2,l),半径布.

【分析】(1)求出AB和AC的中垂线方程即得圆心的坐标和半径，即得解；

(2)设圆心坐标为C(a,2«-3),解方程J(4-5y+(2α-3-2)2=J(α-3)2+(24-3+2)?求

出。，即得解.

【详解】解：⑴AB的中点坐标为(1,2),L=上三=三,

-1—32

2

则AB的中垂线方程为y-2=[(x-l),即2x-3y+4=0,

AC的中点坐标为(2,1),怎C=U=-2,

贝IJAC的中垂线方程为y-l=；(X-2),即x-2y=0.

2x-3y+4=0x=-8

联立，解得

x-2y=0y=-4

22

则圆心坐标为(-8,Y),半径为λ∕(-8-3)+(^l+l)=√130.

.∙.所求圆的方程为(x+8)2+(y+4)2=130,圆心坐标为(-8,T),半径为√j而;

(2)••♦圆心在直线2x-y-3=0上，设圆心坐标为C(α,2a-3),

因为A(5,2),B(3,-2),由|酬=IcB

得J(L5,+(2”3-2)2=J(α-3)2+(2"3+2),

解得α=2,则圆心C(2,l),半径r=∣CA∣=后二丁而T=Ji6.

所求圆的方程为(x—2y+(y—I):=。

22.已知动点M与两个定点。(0,0),A(3,0)的距离的比为动点M的轨迹为曲线C.

(1)求C的轨迹方程，并说明其形状；

(2)过直线x=3上的动点尸(3,P)(P≠0)分别作C的两条切线尸0、PR(Q、R为切点)，N为弦

QR的中点，直线/：3x+4y=6分别与X轴、y轴交于点E、F,求△NE尸的面积S的取值范

围.

【正确答案】(I)(X+IF+)。=%曲线C是以(一1,0)为圆心，2为半径的圆

【分析】(1)设出点M的坐标，利用直接法建立关系式，化简即可求解；

(2)写出以CP为直径的圆的方程，然后利用Q,R是两个圆