第二章,水文统计原理

第二章水文统计原理跨越河流、沟渠的桥梁和涵洞，必须能够安全顺畅的通过设计洪水，这是选定桥位、确定桥孔长度、桥面高程和墩台冲刷深度的基本要求。

确定设计洪水流量、设计通航水位和设计最高（最低）潮水位及设计波浪高度等都是应用数理统计来完成。第一节水文现象的特性和分析方法水文现象的特性：1.周期性气候因素明显地以年为周期而变化，一年四季气候条件各不相同，年年如此，循环不已。地球上的潮汐变化，主要以月球引力为主，故以月为周期，每逢初一（朔）、十五（望），日、月和地球位于同一条直线上，形成潮差最大的大潮。2.地区性气候、地理和流域海域特征，都因地区不同而各异，水文现象在这些因素的综合影响下，也具有随地区不同而变化的性质，这就是水文现象的地区性。3.不重复性（偶然性）水文现象在总体上虽然存在着周期性的变化规律，但是具体出现的时间和数量大小每年都不完全相同，并带有一定的偶然性，称为水文现象的不重复性。水文现象的分析研究方法：1.成因分析法2.地区归纳法3.数理统计法成因分析法研究水文现象的物理成因以及同其他自然现象有关因素（如气候因素、自然地理因素）之间的相互关系，建立计算关系式。对于小流域径流常采用推理公式、经验公式进行计算。地区归纳法根据水文现象的地区特点，搜集实测水文资料，进行综合归纳分析，寻求水文现象、水文因素区域性分布规律，建立地区性水文因素计算公式、图表或等值线图，供生产使用。数理统计法由于水文现象具有不重复性（偶然性、随机性）的特点，根据概率论，对系统的实测水文资料进行统计分析，寻求水文现象、水文因素之间的统计规律，事先估计未来水文现象可能发生的结果。第二节几率和频率一、随机事件自然界的一切现象在其演变过程中既有必然性的一面，又有偶然性的一面。水文现象也一样。例如：每年汛期都必然会出现一次最大的洪峰流量，年年如此，就是一种必然现象，称为必然事件；而每年最大洪峰流量出现的具体时间和数量，则年年变化，各不相同，就是一种偶然性的现象，称为随机事件。二、随机变量在多次试验中，随机事件出现的种种结果，都以实数值来表示，这些数值就称为随机变量。随机变量分为连续型随机变量和离散型随机变量。水文统计学就是利用流量、降雨量、潮水位、波浪高等实测水文资料作为随机变量，通过统计分析，推求水文现象（随机事件）的客观规律性——统计规律。许多随机变量组成的一列数值，称为随机变量系列。三、几率和频率对于随机事件，它在一定条件下可能出现也可能不出现，若用一个具体数值来表示客观出现的可能程度（可能性大小），这个数值就称为该事件的几率（或概率）。在一系列重复的独立试验中，某一事件出现的次数与试验总次数的比值，则称为该事件的频率。频率与几率不同，几率是事件在客观上出现的可能程度，是时间固有的客观性质，不随人们试验的情况和次数而变动，是一个常数，是一个理论值；频率是利用有限的实验结果推算而得的，是一个经验值，将随试验次数的多少而变动，只有试验次数达到无限多时，才稳定在一个常数并等于理论值----几率。例如掷硬币的试验，对于一个均质硬币，“出现正面（正面向上）”就属于简单随机事件,掷硬币10000次，出现正面5019次,其几率和频率分别是多少？水文现象（如水流、水位、降雨等变化）都是非常复杂的随机事件，无法得知其事先几率，只能利用实测水文资料（多次试验结果）计算其频率，作为经验几率，以寻求它们的变化规律，推测未来可能出现的情况，满足工程的需要。四、总体和样本数理统计中，把随机变量系列的全体，亦即包括整体情况的全部系列，称为总体。样本是总体的一部分，在一定程度上反映了总体的特征，故可以借助样本具有的规律性来推断总体的规律。第三节频率分布一、频率密度和累计频率

随机变量系列中，每个大小不同的随机变量，都对应着一定的出现频率。这种大小不同的随机变量和它出现频率之间的对应关系，称为随机变量的频率分布。

频率是各组出现次数与总次数的比值，表示每组所在区间的流量值出现的可能程度；累计频率是各组累计出现次数与总次数的比值，表示等于和大于该组所在区间的流量值出现的可能程度，均以百分数计。某水文站1975年最大流量实测资料表数理统计中，为了便于数学上的分析，通常以流量为横坐标、频率密度为纵坐标，绘成频率密度直方图。某一组距的频率密度是频率在组距Δχ内的平均值，若组距为Δχ，区间的频率ΔP，则频率密度为ΔP/Δχ。则f(x)即为密度曲线的函数，称为密度函数(表示点x处的频率密度)，而且某一区间的频率应为该区间密度曲线以下的面积，即二、累计频率和重现期水文统计中，等于或大于某一流量值出现的次数（即累计出现次数）与总次数的比值，称为该流量的累计频率P，以百分数（%）或多少分之一表示，如P为1%或1/100。桥梁水文计算时，洪水、潮汐等水文现象的样本取值，采用的抽样方法为年最大值法，因而表示的频率为年频率。工程中习惯上常用洪水、潮汐等水文现象的重现期来表示其频率（即累计频率），重现期以年为单位。若以P（%）表示频率，以T（年）表示重现期，两者的关系为T=1/P例:频率为2%的流量重现期为50年，表示该流量可能出现的时间间隔平均为50年。但是，并不是说在100年间只出现两次，或每隔50年必然出现一次。三、设计洪水频率桥梁、涵洞及道路排水工程、防护工程等的基本尺寸，都取决于设计流量的大小。为了经济、合理地确定工程的设计流量，《公路工程技术标准》（JTJ）规定了桥涵设计洪水频率。课堂习题一某河流拟建4*20米的预应力砼简支梁桥，通过水文站的资料查得洪水流量为：Q0.33%=3600m3/s；Q1%=3600m3/s；Q2%=3600m3/s；该桥位二级公路上的桥梁，请选择对应的洪水流量？第四节经验频率曲线根据作为水文统计样本的实测水文资料系列，计算各项随机变量的经验频率，点绘经验频率与其对应的随机变量大小的曲线，称为该样本的经验频率曲线。经验频率曲线横坐标为频率（即经验频率）P（%），纵坐标为水文观测值（随机变量）x一、经验频率的计算实际工程中，搜集到的水文资料系列，大都年限较短，容量有限，直接应用式（2-2-1）计算样本中各项随机变量的经验频率将得到不合理的结果。目前，各国应用最广的经验频率公式是维泊尔（Weibull)公式，即二经验频率曲线的绘制为了表示多年水文观测系列，如年最大洪水流量、潮汐水位等，各项观测值的出现频率，以及观测值的大小随频率数值的变化，可以横坐标为频率(即经验频率)P(%)，纵坐标为水文观测值(随机变量)x，在坐标纸上点绘各个观测值的点据分布图，如图2-4-1.有必要时，根据点据的分布趋势，目估连出一条光滑曲线，这条曲线称经验频率曲线。

如前可知，设计洪水流量都是小频率的特大洪水流量。一般情况下，实测洪水资料的年份有限，为了求设计洪水流量，必须将经验频率曲线向上外延。由图2-4-1可知，点绘等分格纸上的经验频率曲线呈S形，且两端陡而中间平缓。求很小频率的设计流量需要向左端上方外延，这样可能产生很大的误差。海森设计一种海森(A.Hazen，1914)几率格纸，频率(P%)为横坐标，以P=50%为中心对称分格，中间格密而两边渐疏；随机变量(流量、降水量、潮水位等)为纵坐标，均匀分格或对数分格。海森几率格纸的频率坐标分格是根据将正态分布曲线在该坐标纸上画为直线的要求确定的。点绘在海森几率格纸上的经验频率曲线，消除了两端陡而中间平的趋势，呈现较平顺的曲线分布形式。三经验频率曲线的外延

第五节统计参数随机变量系列的频率分布特征和频率分布曲线形状，能够用该系列的几个数值特征来确定。系列的数值特征值称为该系列的统计参数。均值----系列中随机变量的算术平均值。反映系列中随机变量数值大小的特征。中值----系列中的随机变量为等权时，按大小递减次序排列，位置居于正中间的那个变量。反映系列中间项和密度曲线的位置。众值----系列中出现次数最多的那个变量。反映系列中最大几率项和密度曲线的位置。均方差----离均差平方的平均数的平方根。反映各随机变量例均程度。变差系数（无量纲）----均方差与均值的比值。偏差系数----反映频率分布对均值的偏斜程度。CS>0为正偏态；CS<0为负偏态；CS=0为正态分布。对年最大流量系列，偏差系数一般不出现负值，多呈正偏态分布。第六节理论频率曲线根据自然界大量实际资料的频率分布趋势，很多学者建立了一些频率曲线的线形，并选配了相应的数学函数式。这种具有一定数学函数式的频率曲线，习惯上称为理论频率曲线。根据我国多年使用经验，认为皮尔逊Ⅲ型曲线（Pearson-Ⅲ线）比较符合我国多数地区水文现象的实际情况。我国水利、公路、铁路等工程有关规范，在水文统计中，大多采用皮尔逊Ⅲ型曲线。一、皮尔逊Ⅲ型曲线的应用水文统计所需要的频率曲线及相应的函数，并用以推求指定频率的变量或某一变量的频率。频率曲线实为累积频率曲线，亦即分布曲线，其相应的函数即分布函数，可以由密度函数积分而得。频率曲线纵坐标值xp的计算公式（即频率曲线的分布函数）为：对于最大流量系列，频率曲线的分布函数为：课堂习题二某水文站有10年的年最大流量观测资料，请推算P=0.33%、P=1%和P=2%。并计算3参数及Q1%的抽样误差。课堂习题二（分别求0.33%，1%，2%的洪水流量）

顺序号按年份顺序排列按流量大小排列1年份流量年份流量119812800199048002198229101985340031983320019873300419842200198332005198535001989300061986240019822910719873400198128008198826501988265091989300019862400101990480019842200二、抽样误差水文统计的误差的来源：1.水文资料的观察、整编和计算过程中形成的误差；2.利用样本推算总体的参数值而引起的误差即抽样误差。根据误差理论，抽样误差应呈正态分布。根据目前水文观测的实际情况，均值和变差尚可利用公式计算，但要求实测水文资料具有足够长的观测年限，而且代表性较好，数据可靠，否则仍会产生很大的误差；偏差系数误差过大，不宜利用公式计算，通常采用适线法选定其值。第七节相关分析自然界中许多现象都是相互联系的，由于不确定因素太多，所以实际问