2023年北京市通州区高考数学质检试卷及答案解析

2023年北京市通州区高考数学质检试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.知集合4={-1<<3},集合={∣∣x∣≤},贝1」()

A.AB={x∣-≤X<}B.AB{x∖-2x<3}

C.AB={∖-Kx<}D.AU={x∣<3}

2

2.双曲线三一y2=1焦点标为()

A.±1,0)B.(+√2,0)C.(±√3,0)D.(±√5,0)

3.已知a=(g)°∙2,b=lg40.2c=lo23()

A.ca>bB.>c>bC.a»cD.b»a

4.已知Coa=∣,a是第限角，且a,/?的终边关于、对，贝IJtan0=）

3344

C

------

A.4433

5.已知列{cm}满足an+1=2π(n∈N*)S?!为其刖和.右2,S5=()

A.20B.30C.31D.62

6.已知数(X)Ilog%,不等式f(x)V2的解集为()

1I

A.(-40U(0,4)B.(04)C.(t,4)D.Q+∞)

7.己，S是两不同的平面，直线Ca,alβ,么''〃/a"是_L6的（）

A.充分不必要条件B.必而不充分条件C.充分必条件D.既不充不必要条件

8.如图，在同一平面内平行四边形4。两4B,ZD分别正形ABEF,

AMN,其中AB=2/W14B/W=%则配・丽=（）

A.0

B.-1

C.2√2

D.-2√2

9.知数｛an｝是为d的差数列，且各项均为数，如果a=3,=45,那么n+的最小值为（）

A.13B.14C.17D.18

10.季度此活超市营业入低的是熟食区；

本季度此活超市的营净利润过来自生鲜区;

百分比给出下列四个结：

季度此生活超市营业利润最高的是日品：

本季度此生活超市鲜的营利润率超过40.

中正确结论的序号是（）

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.抛线y2=2的准线方程―

12.若复数Z满足l-∙z2i,则IZl=—.

13.已知圆C：（-12+（y-）2=和直线I：y=kx},则心坐标为一点P在圆C上动，到直

线/的距离记为（鼠则d的最大值为（）—.

14.知函数（X）=若函/R上不增函数，贝IJa的个取值为（）—.

15.（X）的最小正周期是；

音是由于物体的振动产生能引起听觉的波，中包含着正函数.音的数学型函y=SiBt,我们听到

声音由合成的，称为复合音.知一个复合音的数学是函数/（X=SnX+：STI2X,出列四个结论：

/（x）［0,3上是函数；

F（X）在［02］上有3零点;

其所有正确结的序号是—.

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题14.0分）

求4;

⅛∆ABCfacoB+ɪb=ch=2.

条CoSB=—|；

再从下三个条件中择一个为己，使44BC在且唯一确定求C上的高.

件：AAC的面积为喈.

17.（本小题14.0分）

求证：4C平面PB；

若平PAB与平面O的夹角等于半求面PB与CD所成的余弦值.

18.（本小题14.0分）

从参加体育实践活动时在IOQ）和［90,100）的学生中各机抽取人，中中学生的人数记X,求机变

X的布和期望；

北2022年冬奥会、向全世界递了挑战自我、极向上的体育精神，了健康、文明、快乐生方式

.为激发学生体育运动兴助力全面健康长某中学组全体学生开展以筑梦奥运，一起未为题的体

育实践活,为该校学参活动情况，机取100名学生作为样本，统他们参育实践活动时间（单位:

分），得表：

假设同中每个据组区间中值替样中的100名学生参加育实践活动时间的平均数记为40,中高

中学生参加体育践活动时间平均数分别为“1,42,Zn满足什条时，寄.（结不要求明）

19.（本小题14.0分）

ɑθ时，求证函数/0）存在小值；

求曲线y=fx）在点（OJO）处切方程；

请直接写函数（X的零点个数.

20.（本小题15.0分）

知椭圆C：W+，=l（α>b>的个顶点为（0-1）,一个焦为1,0）.

已点P（02,原点的直线交椭圆C于M,N两直线PM与椭圆C的另一个交点为（?.△MQ的积于殍,

直PM的斜率.

21.（本小题14.0分）

已知数集4{αlα,α3….αn（l=al<a2<∙∙∙<anfn≥2）有质P：对任的（2≤≤n）i,jeN*

（1≤讥），使得α∕c=iα∕成立.

知Sn=Ql+α2+∙∙∙+（n∈）,求：2Q-1≤Sn；

若an=36,求数4所元素和的最小值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：集合{x∣-1<3集合B=(x∣∣x∣≤}=(x∣2≤x≤2},

AUB=[x∣-≤x}故8正确O错误.

故选：

求集合4,集合B,利并集和交集定义能求AnUB.

题查集合的运算，考查交集、并义、不等式质等基础识，考查运求解能，是础题.

2.【答案】C

2

【解析】解：双曲线——y2=1，可α=V∑,b=,c=遮所以双曲的焦点坐标为(±百,).

故选：

直接利用双曲线方解焦点坐即可.

本考查双曲线的简单质应用，坐标的求法是基础题.

3.【答案】A

【解析】解：∙∙∙O<φ0∙2<(1)0=1,Oal;

ʌc»b,

故选：

对数函数和指数函数的性求解.

考查三个大比较的法，是基础题，解题要认真审题，注意对数函数和指函数的性的理运用.

4.【答案】D

【解析】解：∙∙∙a第象角，且角a,的终边关y轴对称，

=7T—a+2∕c,fc∈Z,

故选：

据题可知0=兀-+2kτr,fc∈Z,再由诱导公式角函数的本关系求解即可.

本题考查诱公式及角三函数的基系的运用，考运算求解能力属于础题.

5.【答案】C

【解析】解:αn+l=2n,.∙.数列｛αn为等比列且公比2,

5

l×(-2),

1-2-1

故选：

根等数列的通项式求和公式进行计算即可.

本主要考查数列的通项公式和求和式，于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：,・,(》)Vog2|,

%)<2—2<Ioglx<2,

.∙.等式/(x)<的解集G4).

故选：

利用对数函的单性求解可.

本题主要考查对数不等式的解属于基.

7.【答案】B

【解析】解：线，Ca且α1,则不，［与0相交，故充分不成立；

•••ul∕/“11夕必要而不充分条件.

故选：

据空间线位置关系，结合要不充分条件的概断即可.

本题查充分件、必要条件、要条件判，查空间中线线、线面、面面间的位置等基础知，考查推理

论证能，基题.

8.【答案】A

【解析】解：题意知，AC=AB+AD,FNFA+AN，M

所以前-FN=(AB+AD)(FA+前)

故选：

由题意出前=亚+而，7N=FA+AN>再求亚•丽的值.

本题考查了面向量的表示与数量运算问题，是础题.E

9.【答案】B

【解析】解：由差数列的通项公式n=αl(-l),得

∙∙.(n—l)d=44×1=1×2=67,

∙∙∙⅛nl=6,d=或-1=7,d=6时，

即n=7d=或n=8,d=6时n+最小值为14.

故选：

由al=3,an=,得到(n-1=4,然后析出n,d的有可能取值，而得到案.

考查了等差数列通项公，解答关是由各项均为正数得到公差为整数，是基础题.

10.【答案】D

【解析】解：由题中数据，类营收入占4.7%为最低的，故错；

乳制品区业利润率为翳32.526.68%；

其区的营利润率为岩325%=12.45；

生鲜净利润占比6.8%>50%,故正：

生鲜区的营业利为L正确;

故选：

根表中数据以及营业率的概念逐项进行分析断.

本题考查了与计的关知识，属于基础题.

11.【答案】X=-ɪ

【解析】解：抛物y2=2x的准线方为：x-∣=-∣.

故案为：X=—ɪ.

直利用抛物的标准方程求准线程即可.

本题查抛物线单质的应，是基本知识的考查.

12.【答案】√2

【解析】解：T(I—i)∙=i,

.∙.(l+)(i)∙z=(l+i)∙2,

22

∙∙∙zI=Λ∕(-1)+I=√2.

答案为：V2∙

利用复数运法则和模计公式即可得出.

题考查了复数的算法模的计算式，属于基础题.

13.【答案】(1,2)2√2+l

【解析】解：圆的方程知圆心标为(12)；

由直心=k(x+l)知直线过点Q-,0)则ICQl=J(Il)2+(20/=2√∑,

又圆C的半径为r=1,max=U+=2√Σ+L()

答案为:(12)：2√2+l.

由圆村准方程可得心，据直线Z过定点Q(-l,0)可知当JL/时，圆心C至IM离最大贝∣J(k)Tna-ICQl+r.

考查直线与圆的位置关系，考查了到直线距离公的应用，是基.

14.【答案】一2(答案不唯一，满足a<-1或0<a<1即可)

【解析】解：=X和y=x3的图象图示：

故当<-1或Oal时，数在R上不是增函数.()

故答案：—2.

作y=χ和yχ3的图，数形结即可得a的范围，从而得到的可能.

本题考了分段数的应用于基础题.

15.【答案】②④

11

【解析】解：为f(xn)=in(%+π÷-f[2(%+π)]=-inx+-sinx≠f(x),故Tr是/(X的周期故错；

,/(x+2)=x),即该函数最正周期为2τr,设％[0,2ττ],

令f(%)=0,Inxsixos=0,即n(l+cos)=0解得:x=0或％=Tr或=π,故正；

令/2CSX-I)(CoSX+1)=0得，cs%=2或—1,()

所以X=E或兀，y,此时出)=苧，/•(兀=0,/留)=一苧,/(0)=/'(2)=0故最值苧故正确.

故：.

利用周期数的定义判断期，利用导数究单调性，在一个周研究极值处的值进而求出值，由此逐项

判断即可.

题考查导究数的极值、最值时的应用，同考查了角函数的性质属于中档题.

16.【答案】解：弦定理及acosB+gb=c,nAcosB+ɪsfi=SinC,

该44B不存在.

_1

所以2sin=sAsinB,

所Sin=sinA+B)=IncosB+osAsiB=^•(―∣)+ɪ∙=遮二之遮<。，

LɔZɔO

择件：因为所以B∈0,y),

因为SnC=Sin(A8)=sines+CoSAiB,

选择条件：△AC的面=ɪbcinA=ɪ×2c×ɪ=与"，所C=V3+1,

因SinB≠0,以CoS=

以Q=瓜,

又A(O㈤,所A=,

由余弦理知，Q2=b2c2-bcos=4+(√31)2-2×2(√3+1×ɪ=6,

为S=ɪ∙∕ι=ɪ×V6×h=3；3,以B边上的高九=

【解析】条：易知8∈请)，从而知=今再由S心几(+B),展开运算求得SiC的值然后由∕ι=biC得

解；

：由cos8=-1,出SinB的值，再由Si=in(A+B),开运算求得SiTIC的，SinC<0,故该形不存；

条件：S=IbcsinA,求得再利用弦理，求出α,后据等面积法，解.

本题查三角形，熟练正弦定理余弦定理，两角的弦公式是解题的关键考查逻推能力和运算能力,

属于中题.

17.【答案】贝噂霁U

平PzIB与平面CD的夹角等于全

.∙.A=-JAD2+CD2=√2>AB=y∣AE2+BE2=√2>

解：设P=a,

证明：过44E1.C交B于点E,

则B(√Σ,O,),CO,√2,,P(,0,a),4(0,0,0,(-日塔,0,

则3=1,

μc∣∣n∣2,

XVBC//D,CDLAD,CD=1,BC=,

令y=√2,

又∙∙∙P1底4BC。，

则P00,1),

解a=1,

.∙.A1AP,

PCiAB=A,

即广厂°,

(√2-QZ=O

设平面PC的一个法量为记=(xyfz)f

：•BC2=AB+AC,

2_1

则√2x,22+今2»

则而=(¢,0,1),DC=(y,y,0).

即异面直线PB与CD成的余值为g∙

【解析】利用股定证明4C∙LB,结合4C_L4及线垂的判定定理可得证；

设AP=,立空间角坐系，对应点的坐标，然后结合空间向量的数运算求解即.

本题考了线垂直的判定定及异面直线所成角，重点考查的间向量的，档题.

18.【答案】解：方法生共有69+1010+6+4=45人，记事4为“所查学生随机抽取1人，生抽

到”，事件B为“从有调查学中随机抽取1人，参加体活动时在［50,6),

由题意知，从所有调查学中机取人，抽到女生所包的基本件共4个，

方法二：X的所有可能值，1,,

由意，事C,D相互独立，且P=Il=IP⑼=曰=|,()

所以PX=)=P(CD)P(C)P(D)=∣×∣=i,

ɔJ7

所以X分布列：

X012

144

P

999

故的数学期望E=OX2+1x［+2Xt=E=/()

方法二：女生共有6+9+1+10+6+4=45人，事件M为“从所有调查学生中随机抽名生，知

抽是女该生参加体活动时间在5,6)“，

因为从参加体育时间在［090)和［010)的学生中各机抽取1人是互独立，抽到初中学生的概均为|,

ɔ

故X〜B(,/

---21124

(X=I=P(CDuCD)=P(CO)P(C)(D)=^×^+-×-=-t

所以P=ɪ=()

抽到女生且参加体育活动时在［506)包含的本件共9个,

由题，m=,2,311,

X012

144

P

999

故X的数期望EnP=2X：=*()

方法一：X的所有可能0,12,

2=13×5+12×6÷×5+5×5÷4×95=2825,

根男女生人数补全初中学生各间数：

所以从校随机取1名学生，若已到的女，估计该学生加体育活动在［50,6)的概率为最

9

因此P(BM=鬻=髻建屋，

记事件C为“从参加体育活动间［80,90生随机抽1人抽到的是初中学生”，事。参加体活动间在

［0,100)的生中随机抽取人，抽到的是初中学生”，

(X=2)=ciφ2=∣=∣×∣=⅛,

当m2,3...11时立，故的取值范{m∈Z2≤m≤1}.

【解析】法一根据相互立件同时发生的概率求解可方法二：根据二项分布的公式求解；

全初中的人数表格，再分别计算〃0〃1,〃2关于Tn的析入"o≥空m的范围即可.

本题查了离散随变量的列与期望，属于中档题.

19.【答案】解：/(x)=xn(2+1)-ax,得/'(%)=Inx+1+汀γ2α》,

显然》=0是函数/。)的零，当XO时，数(X的即为方程α=*由的解，

(X在(0,+8)递减，gx)取值集合为(,2,

由知，'=ln(2+1)+J+1—α%,()

因此，(X)在(一3,0)上单减，9。取值合为(2,+8)；

当一;<<0∕√(X)0,当X>O时，∕ι'(X)<O函数%)在(一表0)上增，在，+8)上递减,

函数f(久=%Zn(x)-α%2定义域为(一万,+),/)=0=xn(2x+1)=%2,

令⑸=则FX∈(-∣,0)U(,∞),则g，X)=鉴-；［+)，

所以当αθ时，函")在极小值.

于是得当0时，数/(x)取得极小，

令九=GIn(2"+),则九(X)=劭一石=一言,()

当一；«。时，(P(X)>,当X>0,φx)<0,

则f'(0=,而/(0)0，

于是得当0<α2或α>时，程α=的里!有唯一解，当α≤或α=2此程无解，

X

则有r>o,数/(%在(0,+)上增，()

3%)在(一2,0)上递，(0,+8)上递减S(X)≤9(00,

即V(T，8),有ln(2x+1)≤%当仅当X=时取“=”，

74x

令a9(=ln(x+l)-2x,<p(x)=^--=)

当一J<xO时，叫/D>2,当%>时，0<‘必+1)<2,

2XX

所以，当Q≤0或。2时，函数/*(%)一零点，当0<V2或>时，函数/%)有零.

【解析】求出函数/(%)导尸(%,再利导数何意义求解作答.

在x≠0,分离数，构函数g=吟9,再探讨在(一；,0)(0,8)上的零点况即作答.()

本考查利用导数研究函数的切方程，利用导数研究函数的极值与最数的零点考分类论思想转化思

想，难题.

20.［答案1解得卜2=2,⅛2=y(满足答>|)

根椭圆的对称知SAMQ=SONQ=TSMNQ,SΔPOMS∆PON,所以。MQS△。Q=SAPQ-S△

PON=ZkO-SAPM

1

=-2

22∖X2∖-1××∖×ι∖=∣2-x∣=√(x1+x2)-4X1X2

(y=kx2

由J

⅛

9(1+k2x2+8%+6=0,

l2+y=1

Zl=fc2-4(1+2fc2)×60解得上2>

由题设，得=,c=,α=b2+c2=2,

所椭圆的方程为J+y2=1离心率e=≡=⅛=y∙

所以k=+V2，或k=+

【解析】据题意得到be,进而求α,最后得到圆方程离率；

设出直线PM的方程并入圆程后简，再出点M,Q的坐标，进而表达出面积，后与数的关系求出答

案.

本题主要查方程的解，直线圆锥曲线位置关系，韦达定理及应用等知识，于中题.

21.【答案】解：ι∙3Hl,∙∙∙{1,,5}不具有质P；

而此时集合A中至少有3不同ɑnem-Ii,0的元素，

又Iaa2<…<anfn≥2,

Sanan—1+αi+α/+3αl=75,矛，

∙∙∙2=lx2,31+2=3+,{13,6}具有性质P；

假设IC4根据性质，对cm=36,有Cd,j,使得几6=α+α∕,

18∈4进而Qt=18,且Cm-=8,

解：小值为75.

即对任的k(2≤∕c≤zι),引，(l≤^≤≤使得Q=ɑ+Qj成立，

ai=fq=1此时集合中至少要一个大于等于4元素α,才能得到元素8,>7,

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