2023-2024学年四川省成都东部新区高一年级下册期中考试数学模拟试题

2023-2024学年四J11省成都东部新区高一下册期中考试数学

模拟试题

一、单选题

1.cos20°cos10°-sin20°sin10°=()

A.SinI0"B.cosl0oC.ʌ-D.正

22

【正确答案】D

【分析】利用两角和的余弦公式的逆应用直接求解即可.

【详解】cos20"cos1()'-sin20°sin10"=Cos(20+10)=cos30=—.

故选：D

本题考查了两角和的余弦公式，需熟记公式，属于基础题.

2.已知向量α=(l,2),6=(1,0),2=(3,4),若;I为实数,(⅛+Λα)lc,则:的值为

3HCI3

A.-----B.-----C.-D.—

11325

【正确答案】A

【分析】根据向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示即可求解.

【详解】解：⅛{b+λa)1c,得S+/Ia)∙c=0,

又a=(L2),8=(1,0),c=(3,4),^b+λa-{∖+λ,lλ),

(⅛+Λα)∙c=3(l+A)+4×2λ=0,解得;1=-打.

故选：A.

3.命题。：“向量α与向量Z?的夹角0为锐角”是命题4：''α∙6>0''的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】A

【分析】由充分条件和必要条件的定义结合数量积运算分析判断

【详解】若向量.与向量6的夹角。为锐角，则“力=邮卜os6>0,

当“∙6>0时，向量α与向量b的夹角6可能为0°,

所以命题P是命题4的充分不必要条件，

故选：A

4.若3cos2α=2sin(2-0),α∈(三,乃)则sin2a的值为()

42

A一逑B.考

cd'?

9∙4

【正确答案】C

【分析】先化简3cos2α=2sin(f-α)得COSa+sinα=",再平方即得解.

43

TT

【详解】因为3cos2a=2叫9

所以3cos2a=2(sin—cosa-cos—sina)=∖∣2cosa-V2sinα,

44

所以3(COS21-sin2α)=&(COSα-sinα),

所以3(cosa+sin<z)(cosa-sina)=6(COSa-sina)，

因为α∈g,7r),所以CoSa-SinaN0,

所以3(COSa+sin0)=7^，

所以CoSa+sinα=^-,

3

2

两边平方得，HSin2a=g,

7

所以Sin2a=--

故选：C

本题主要考查三角恒等变换，考查差角的正弦公式，考查二倍角的正弦余弦公式的应用，意在考查学

生对这些知识的理解掌握水平.

5.已知向量a=。/),8=(3,tan6),若向量。，b的夹角为看，则8=()

A.0B-?c∙id-7

【正确答案】C

【分析】根据平面向量的夹角公式的坐标运算，即可求出结果.

a`b3+Gtan，

【详解】由题意可知，CoS〈。力〉=

H-WJ+(可∙√32+tan202，即tan。=G

Tt

因为046≤π,所以。=三.

故选：C.

6.在-ABC中，点M,N满足AM=2MC,BN=NC，^MN=xAB+yAC,贝∣Jx+y=()

A.B.-C.∙^^D.1

632

【正确答案】B

【分析】由已知得MN=MC+CN=gAC+gc8,由此能求出结果.

在，ABC中，点M,N满足AM=2MC,BN=NC，

：.MN=MC+CN=-AC+-CB

32

=g>4C+J(AB-AC)

=-AB--AC

26

=xAB+yAC，

故选：B.

7.函数/(x)=cos(0x+s)的部分图像如图所示，则/(x)的单调递减区间为

A.(kττ—,kτvH—),kSZB.(2kττ—,2kτrT—),A∈Z

4444

1313

C.*一一Λ+-)Λ∈ZD.Qk一一,2Z+-),%∈Z

4444

【正确答案】D

1π

~a)+φ=—

【详解】由五点作图知，｛；ɔ,解得。=1，S=f,所以f(x)=CoS(G+f),令

53π44

-G)+φ=—

42

2kπ<πx+-<2kπ+π,keZ,m2k--<x<2k+-,々eZ,故单调减区间为2々一工2k+-,keZ,

44444

故选D.

三角函数图像与性质

8.已知向量α=(x,6),6=(3,4).且α与的夹角为锐角，则实数X的取值范围为()

A.[-8,+∞)B.[^8,∣]u[^,+o°]C.-8,?)停+8)

D.(-8,+∞)

【正确答案】B

【分析】根据向量夹角为锐角，则数量积为正数从而求得参数的初步范围；再排除向量平行对应的参

数值，即可求得结果.

9

【详解】若α〃人则4x=18,解得X=].

9

因为。与，的夹角为锐角，∙..χ≠:∙

又“∙b=3x+24,由4与人的夹角为锐角，

：.a-b>0,即3x+24>0,解得x>-8.

又∙.∙χwg,所以xe,8,∙∣)u(g,+∞j.

故选.8

本题考查利用数量积由夹角的范围求参数的范围，属基础题.

二、多选题

9.设4、%、C是任意的非零向量，则下列结论不正确的是()

∕Γrʌrr(rrʌ

A.0∙a=0B.∖a-bγc=a-∖b-c^

C.a∙b=0naLbD.(”+〃)-(4-5)=同-∣⅛∣

【正确答案】AB

利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.

【详解】对于A选项，0∙4=0,A选项错误；

rrrrr

对于B选项，(〃・〃)•，表示与C共线的向量，“∙(b∙c)表示与4共线的向量，但α与C不一定共线，B

选项错误；

对于C选项，a∙b=0=>aJLbfC选项正确；

对于D选项，(a+Z?)(a-b)=α~-//=卜I-W>D选项正确.

故选：AB.

本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力,

属于基础题.

10.如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是()

A.该质点的运动周期为0.7sB.该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零

C.该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零D.该质点的运动周期为0.8s

【正确答案】CD

【分析】由题图求得质点的振动周期可判定A错，D正确；由简谐运动的特点，可判定B错，C正

确.

【详解】对于A,D,由题图可知，质点的运动周期为2x(0.7-0∙3)=0.8s,所以A错，D正确；

对于B,C,由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3s和0.7s时运动速度

最大，在0.1s和0.5s时运动速度为零，故B错，C正确.

综上，CD正确.

故选：CD.

JT

11.如图，YABCD中，AB=I,A£)=2,ZBAD=-,E为CO的中点，AE与短3交于尸，则下列

叙述中，一定正确的是()

DEC

IlUU1IIUn2IIUlIl

A.8F在A8方向上的投影为OB.AF=-AB+-AD

33

IllBlLILIUD.若“=4NE4B,则tanα=且

C.AFAB=X

23

【正确答案】ABC

【分析】由余弦定理以及勾股定理可得8/）工A8,可判断A,根据平面向量的线性运算以及共线的性

质即可判断B,由数量积的运算律即可求解C,由向量的夹角公式即可判断D.

【详解】对于A,因为=-JAD2+AB2-2AD-ABcosZBAD=√l+4-2=√3,

因为452=A4+8f)2,所以Br)IAB,即〈3F,AB〉=9O。，BF在AB上的投影为I"ICoS〈B£AB〉=O,

故A正确；

对于B,因为A点=A。+。E=4O+∣∙A8,AF=λAE=λ(AD+^AB)=λAD+^λAB,

I2LRmlinnɔIAnn

因为8,F,。三点共线，所以4+彳4=1,所以4=?,^AF=^-AB+^AD,所以B正确；

乙ɔɔɔ

[2]22121

对于C,ΛFAB=(-AB+-AD)AB=-AB^-AB-AD=-+-×∖×2×-=[,C正确；

3333332

对于D,因为IAFl=J-AB2+-AD2+-AB-AD=—,

V9993

**_AFAB_1—历∣τ

所以cos<A尸,A8>=IAFllAB广亘二〒,如果tanα=叁■,又因为a=/FA8=30。，

~3^3

所以∕RLβ=2a=6(Γ,不满足COSNFAB=也ɪ,故D不正确.

7

故选：ABC

12.将函数f(x)=2cos2(Tx+?)-1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把

所得函数的图象向右平移e（e>o）个单位长度，最后得到的图象对应的函数为奇函数，则W的值可以

为（）

2

D.

3

【正确答案】AC

【分析】本题首先可以将/(x)=2cos[n+^J-l转化为〃x)=CoSl2G+QJ,然后通过图象变换得

出函数/7(x)=CoS1X-夕乃+^),最后通过函数/?(x)=CoSNX-Qr+∙∣)是奇函数即可得出结果.

【详解】/(x)=2CoS21x+小-I=COS(2%x+f,

所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，得到函数g(x)=coskx+qj,

再把所得函数的图象向右平移9(9>0)个单位长度，得到函数MX)=COS(万，

因为函数/7(x)=COS卜+是奇函数，所以/7(0)=CoS卜9万+()=0,

-TTJTI

即_”+土=工+上万(keZ),^φ=---k,

326

故夕的值可以为?、

66

故选：AC.

本题考查余弦函数的相关性质以及三角函数图象变换，考查二倍角公式的应用，函数y=cos2x的横

坐标伸长到原来的2倍后得到函数y=COSX,再向右平移夕个单位长度得到函数y=cos(x-e),考查

推理能力与计算能力，是中档题.

三、填空题

13.函数/(x)=2COSX+sinX的最大值为.

【正确答案】√5

【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，通过正弦函数的有界性求解即可.

【详解】解：函数/(x)=2CoSΛ+sinx=6(3叵Cos*SinX)=J^sin(x+θ),其中tanθ=2,

可知函数的最大值为：√5.

故答案为石.

通过配角公式把三角函数化为y=Asin(3t+Q)+8的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意

观察角、函数名、结构等特征.一般可利用IaSinX+1CoSXl≤+〃求最值.

14.定义关于向量的运算法则，26=叱(。+助)，若〃?=(1,2),〃=(2,I),则(阳-")可历+”)=.

【正确答案】2

【分析】先计算m-〃=（τ,l）,机-〃+2（%+〃）=（5,7）,再结合新定义转化为计算两者的数量积即可.

【详解】因为〃?一〃二（-1,1）,历一〃+2（〃2+〃）=3加+鹿=（5,7）,

所以（m-力虑（加+〃）=-1x5+1x7=2.

故2

15.已知同=5,6=（2,1）,且α∕∕6,则向量”的坐标是—.

【正确答案】（2√5,√5）或（-2石,-石）

【分析】先设α=（χ,y）,根据题中条件，列出方程组，求解，即可得出结果.

【详解】设α=（χ,y）,

因为Ial=5,b=(2,1),S.a∕∕b>

x-2y=0Λ=2√5x=-2√5

所以解得或'

X2+∕≈25J=小y=-yβ

因此向量”的坐标是（2方,>/^）或（-2囱,-石）.

故答案为（2行,行）或（-2底-5

本题主要考查向量的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.

16.已知函数/CO=Sin（X+J其中尤G，若f（X）的值域是-g,l,则实数。的取

值范围是.

【正确答案】%F

TTTTTT

【分析】由已知得尤+£七--^+7，建立关于〃的不等式可得答案.

6L60.

_、、，._TCTCTCTC

【详解】••无£~~ζ^a，∙*∙x+τ^e~~7^a+~7，

_jJ6L6o

Iππ7TTTr

∙."3的值域为-亍1,所以f%+gs?,解得£%女.

2J2663

故∖'π•

本题考查正弦型函数的值域，属于基础题.

四、解答题

17.已知单位向量4,〃满足仅Q-3b)∙(20+h)=3.

(1)求a∙b;

(2)求∣20M的值.

【正确答案】(1)-ɪ;(2)√7.

【分析】(1)利用单位向量的定义、数量积运算性质即可得出；

(2)利用数量积运算性质,即可求得答案.

【详解】(1)由条件4/+2&石-64»-352=3,

即4-4d∙6-3=3,

,1

:.ab=——

2

(2)∣2α-⅛∣2=4tJ2-4α∙⅛+⅛2=4+l-4×^-∣j=7,

.∙.∣2α-⅛∣=√7

本题主要考查了求向量的数量积和向量模，解题关键是掌握向量的基础知识，考查了分析能力和计算

能力，属于基础题.

18.已知函数/(x)=6CoS(2x-1)-2SinXCOSX.

(1)求Fa)的最小正周期；

JTJT

(2)求当X∈时，/(x)的值域.

【正确答案】(1)乃；(2).

【分析】(1)展开两角差的正弦，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期；

(2)由X的范围求出相位的范围，再由正弦函数的有界性求/(x)的值域.

【详解】(])∕(x)=GCOSl2x-(1-2sinXCOSX

=>/3—cos2x+——sin2x-sin2x

—cos2x+-isin2Λ=sin

22

∖/(x)的最小正周期为小

Ti7i.Æ7i5τr

(2).ɪ∈--，∙'∙2x+--∈,

44J3[_66_

.∙.-i≤sin^2x+yj≤l,∖八勾的值域是-g.l.

本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的周期性，三角函数值域等问题，考查三角函数和差公式、

二倍角公式及图像与性质的应用，难度不大，综合性较强，属于简单题.

19.已知点A(U),B(2,lnf),。为坐标原点

(1)若A,B,。无法构成三角形，求r；

(2)若一.A3O为直角三角形，求

【正确答案】(l)f=e2

⑵f=l或f=4

e^

【分析】(1)根据向量共线的坐标运算即可求解，

(2)由向量垂直的坐标运算即可列式求解.

【详解】(1)若A,B,。无法构成三角形，则三个点在一条直线上，故OAuoB又

2

OA=(U)1OB=(Zlnr),所以lm=2?te.故f=e"

(2)若角。为直角，则OALOB,由OA=(1,1),08=(2,Inr)得OA?O82+lnr=0?tɪ,

若角A为直角,则OA_LAB，由。4=(1,1),AB=(I,Inr-1)得OA?A8l+ln∕-1=0?t1-

角B为直角，则08八48，由OB=(2,lm),AB=(1,1m-1)得OB?AB2+lnr(lnr-1)=0,由于

1岛-lm+2=*f-g2÷→0,此时方程无实数根,

综上E或T

20.如图，。是坐标原点，M,N是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限;

(1)证明：8s(α—尸)=cosαcos/+SinaSin∕?；

(提示：设ON为a的终边，O例为夕的终边，则M,N两点的坐标可表示为(COSp,sin0和

(CoSa,sinα))

⑵求IOM+。M的范围.

【正确答案】(1)证明见解析；

⑵［。，闾

【分析】(1)设ON为α的终边，OM为夕的终边，则Λ/,N两点的坐标可表示为(COSp,sin∕?)和

(COSa,sina),令ON与OM的夹角为。，则。=2E+α-6，Z∈Z,从而禾U用向量的数量积结合诱导公

式即可证明；

(2)令ON与OM的夹角为＜9,可得］＜a≤τt,利用IOM+0M-=(OM+ON,,再结合余弦函数的

性质即可求解.

【详解】(1)证明：如图，设QV为α的终边，。何为夕的终边，则M,N两点的坐标可表示为

(cosβ,sin夕)和(CoSa,sina)

则ON=(coscr,sina),OM=(cosβ,sinβ),

,ONOM=(cos=,sinα)∙(cosyff,sin∕?)=cosacosβ+s∖nasinβ

设ON与OM的夹角为e,则e=2E+α-"，％∈z,

旦ON∙0M=|ONl∙∣0M∣∙cos6=cos9

/.cosθ=cos(σ-/?)=cosacos∕?+Sinasinβ,

⅛cos(σ-β)=cosacos/7+sincrsinβ成立.

（2）令ON与OM的夹角为d,

因为M,N是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限,

TT

所以W<e≤τt∙

2

I|222

∖OM+ON∖=OM+20MoN+ON=2+2CoS8,

JT

-<θ≤π,..-1≤cos^<0,.∙.0≤2÷2cosθ<2,

,2

所以O≤∣0M+ON∣<√Σ,

故IOM+CW∣的范围为［θ,夜).

TT

2L如图‘在扇形"。中，半径。P=I,圆心角々。。二,C是扇形弧上的动点，矩形ABCO内接

于扇形，记NPoC=α,求当ɑ取何值时，矩形ABCz）的面积最大？并求出最大面积.

Q

【分析】由题意可得Aβ=cosα-sinα,BC=sina,从而可得矩形A8C3的面积

S=变sin(2α+工)一,，再由0<α<：可得£<2a+：<=,由此可得当2α+f=1时，S取得最大

242444442

值.

【详解】在RtZ∖QBC中，βC=sina,OB=CoS。，

..,ADπ

在RtZXADO中，——=tan-=1l,

OA4

所以OA=AD=JBC=Sina,

所以AB=O8-。4=Cosα-Sinα,

设矩形ABC。的面积为S,则

S=AB-BC=(cosa-sinɑ)∙sina=SinaCOSa-sin?a

=ɪsin2σ+ɪeos2α-ɪ=—sin(2a+-)-ɪ,

222242

,ʌτtτt_7i3ττ

由0<α<1^zα--<2a+-<—,

4444

所以当2α+;=/即a=；时，Sa=与ɪ,

4ZoZ

因此，当a=g时，矩形ABCD的面积，最大面积为也二1.

82

22.已知向量α=Q”,cos2x),b=(sin2x,n),设函数/(x)=α∙。，且),=/(x)的图象过点令,J5)和

点(ʒ-,-2).

(I)求机，〃的值；

(II)将y=∕(x)的图象向左平移9(O<φ<π)个单位后得到函数y=g