湖南省永州市2022-2023学年高一年级下册学期期末质量监测数学试卷（含答案）

湖南省永州市2022-2023学年高一下学期期末质量监测数学试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、若复数Z满足z（l+i）=2i（其中i为虚数单位），则z=（）

A.l-iB.l+iC.—D.—

22

2、若向量。，8满足M=l,W=ab=l,则。与b的夹角为（）

A.-B.-C.塞D・里

4334

3、△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若。=2,c=y/l,cosB=—,

4

则6=（）

A.73B.2C.2V3D.4

4、袋中有大小质地完全相同的5个球，其中红球3个，黄球2个，从袋中任意取2个

球，则取出的2个球都是红球的概率为（）

1933

A.—B.-C.—D.-

105105

5、在长方体ABCD-ABCA中，AB=AD=2。A4,=2,则异面直线A"与Ag

所成角的余弦值为（）

A.旦B.@C正D.逅

4444

6、图1是宋代五大名窑中汝窑制造的双耳罐，它装物的有效部分可近似看成由两个圆

台拼接而成（如图2所示）在图2中，已知下底面圆的直径是6,中间圆的直径是

10,上底面圆的直径是4,上下底面圆的距离是5,且上、下两圆台的高之比是2:3,

若不考虑罐壁的厚度，则该汝窑双耳罐的容积为（）

图I图2

A.69兀B.72兀C.75HD.78兀

7、已知。4,OB,0C均为单位向量，04+2OB+2OC=O,则的值为（）

A.-B.-C.-D.—

8888

8、在△ABC中，BD平分ZABC,且8。交AC于O,若BO=1,cosZABC=-,则

3

4AB2+1BC^+l曰।出4/、

-------+------的1V最l小值为（）

ABBC

A25760297603176「35m

A・----JD.----C.----D,----

12121212

二、多项选择题

9、分别抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A="第一枚出现点数为奇数”，事件8=

“第二枚出现点数为偶数”，则下列结论正确的是（）

A.P（A）=-B.P（AB）=J

22

C.事件A与8互斥D.事件A与8相互独立

10、下列说法中正确的是（）

A.若复数z=l-2i,则复数z在复平面内所对应的点在第四象限

B.若两个复数的积是实数，则它们一定互为共朝复数

C.若向量a=（x,3）,〃=（2,-1）的夹角为锐角，则实数x的取值范围为

D.^OA^xOB+yOC（x,yeR）,且x+y=l,则A,B,。三点共线

11、在直三棱柱ABC-43G中，点。是SB1的中点，A41=A3=4,AC=2,

4AC=60。，点P为侧面44CC（含边界）上一点，3P〃平面AOG，则下列结论

正确的是（）

A.BC1AC,

B.点A,到平面AG。的距离是6

C.直线8C与平面AG。所成角的正弦值是!

4

D.线段BP长的最小值是竽

12、在△4BC中，AB=C,BC=2,AC=y/w,BM=MC,BN=2NC,则()

A.线段AN的长度为巨

3

•・14

B.AN,BC=—

3

7T

C.ZAMB+ZACB=-

4

D.存在点P在线段AB的延长线上，使得NCPM的最大值为三

4

三、填空题

13、某学校为了解高一学生每天阅读时长，从高一男生和女生中采用分层抽样的方法

抽取部分学生进行调查分析.已知该学校高一学生中男生和女生的比例是4:3,在抽取

的学生中男生比女生多24人，则被抽取的学生人数是.

14、已知向量a=(2,3),A=(-1,2),则。在8方向上的投影向量的坐标为.

15、一个人骑自行车由A地出发向东骑行了6km到达8地，由8地向南东30。方向骑

行了6km到达C地，从。地向北偏东60。骑行了26km到达。地，则A,。两地的距

离是km.

16、在矩形ABC。中，43=1,BC=2,点E,尸分别为8C,AO的中点，点H为AE

的中点，将△ABE沿直线AE翻折至△A4E的位置，当/与〃/=45。时，三棱锥

B「AED的外接球的体积是.

四、解答题

17、已知向量a=(2,l),b=(l,2),c=(3,5).

(1)若(£+"田,求】的值;

(2)若加。+应?与c共线，求4的值.

m

18、锦绣潇湘•大美永州，据统计，零陵古城在今年“五一”当天吸引游客达12万人

次，同比大幅增长.当地旅游主管部门为了更好的为游客服务，在景区随机发放评分调

查问卷100份，并将问卷评分数据分成6组：[70,75),[75,,80),[80,85),[85,90),

[90,95),[95,100],绘制如图所示频率分布直方图.

(1)已知样本中分数在[80,85)的游客为15人，求样本中分数小于80的人数，并估

计第75百分位数；

(2)已知样本中男游客与女游客比例为3:2,男游客样本的平均值为90,方差为

10,女游客样本平均值为85,方差为12,由样本估计总体，求总体的方差.

参考公式：分层抽样中两组数据x,y的抽样比例是二，则总样本方差

m

习[+—其中I为总样本平均数.

19、如图，在三棱锥A—BCD中，平面4?。，平面BCD,=点。为B。的中

点.

(1)证明：AO1BC；

(2)若△OCD是边长为4的等边三角形，点E为中点，且二面角的大

小为30。，求三棱锥A-BOC的体积.

20、一位外地游客到永州市旅游，其游览阳明山、九疑山、舜皇山这3个著名景点的

概率分别为0.5,0.5,0.6,且该游客是否游览哪个景点互不影响.设C表示该游客对上

述3个景点游览的景点数与没有游览的景点数的差.

(1)记=为事件A,求P(A)的值.

(2)记“函数/(x)=x+，，在区间［1,M)上单调递增”为事件8,求P(B)的值.

21、如图，在四棱锥P-ABC。中，平面A3C。，正方形A8CD的边长为2,E是

PA的中点.

(1)求证：PC〃平面3DE；

(2)若PD=4,线段PC上是否存在一点F,使Ab_L平面BDE?若存在，求出P尸

的长度；若不存在，请说明理由.

22、已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,h,c,b=c=2,

GsinC+cosC=@吆，点。，P为平面内两动点，|C©=1,点N是BC的中点，DN

与AC相交于点M(点M异于点A,C),点。为△ABC内切圆圆心，且卜0卜；.

.2.22

(1)求角A和PA'+PB'+PC的值；

NM

(2)设CM=/CA(O<r<l),g(r)=----,求g⑺的最小值.

ND

参考答案

1、答案：B

解析：因为z（l+i）=2i,

2i2i（l-i）2i-2i22i-2i22i+2,.

所以z=——=---------=------=------=-----=1+1,

1+i（l+i）（l-i）1-i222

所以z=l+i.

故选B.

2、答案：A

解析：cos〈a,6〉==-=—，且〈。,力e[0,it],

|a||^|1x722

所以〈♦5〉=工.

4

故选:A

3、答案：B

解析：根据余弦定理可知，Zj2=a2+c2-2accosB=4+7-2x2xV7x—=4

4

则。=2.

故选:B

4、答案：C

解析：设3个红球为％,%,%,2个黄球为伪，打，则从袋子中任取2个球包含,

（4，%），（4，。3），（4，沙|），（4也），（。2，。3），（。2，伪），（生，仇），（。3，4），（。3也），（伪，打）

共10个基本事件，

其中两个都是红球，包含（4，七），（4，。3），3，%），共3个基本事件，

则取出的2个球都是红球的概率P=士.

10

故选:C

5、答案：D

解析：如图连接AC,CA，在长方体A8CD-A用GO中，

因为AG〃AC，所以直线AA与4G所成角等于AQ与AC所成的角;

在△ACQ中，AC=2瓜ADX=CR=4由余弦定理可得,

D^+C^-DIC242+(2>/6)2-42V6

cosZDjAC=

2ACAD,2x276x4-4

故选:D

6、答案：C

解析：由图可知，双耳罐是由两个圆台组成，

上面圆台底面直径分别为4,10,所以圆台底面半径分别为2,5；

下面圆台底面直径分别为10,6,所以圆台底面半径分别为5,3；

又因为容器上下底面圆的距离是5,且上、

下两圆台的高之比是2:3,

所以上面圆台的高2,下面圆台的高是3,

故该汝窑双耳罐的体积为：1x2x(4+25+10)7i+|x3x(9+25+15)Ji=757r

故选:C.

7、答案：D

解析：

8,答案：D

解析：在△ABC,设ZABC=28,

则ZABD=NDBC=6,

cos20=->0,

3

.Mh-----177^2亚A_/1-cos20_G

..sin2。=—cos(2。)=———,sin0=u-------=3

SMBC-S^BD+

-ABxBCsin20^-ABxBDsin0+-BDxBCsin0

222

整理得」_+，=3色

BCAB3

^11+*=4.+工+小—4W8C+侦

ABBCABBC3

(134ABBC八33_9>/6

4AB+BC=(4AB+BC)—+------+——+5x

ABj2y[6BCAB)

当且仅当士竺=史，即8C=2AB=3&时，4AB+BC取得最小值

BCAB4

M...4AB2+1BC2+1XA।氏在35#

此时-------+------的最B小值为一J.

ABBC12

9、答案：AD

解析：分别抛掷两枚质地均匀的骰子，其中基本事件的总数为36种,

事件展“第一枚出现点数为奇数”，共有3x6=18种，所以P⑷4所以A正

确;

3x3卜所以不正解

由事件8="第二枚出现点数为偶数”，所以P(AB)B

36

当第一枚抛出1点，第二枚抛出2点时，此时事件A与事件B同时发生，所以A与8

不互斥，所以C不正确;

史=,，可得所以事件与事件相互独立，所以

由P(B)=8P(AB)=P(A)P(8),A8

362

D正确.

故选:AD.

10、答案:ACD

解析:

11、答案:ACD

解析:

12、答案:BCD

A5?+AC?—5c2_2也

解析：对于A选项，cosABAC=

2ABxAC5

AB-AC=|AB|X|AC|cosZBAC=4

217

AN=AB+-BC^-AB+-AC，故A错误.

333

对于B选项,AN-BC^^AB+^ACY^AC-AB)=—,故B正确.

'3

对于C选项,cosZABC-2_*^_1J=一，又由于ZABCG(0,7i)

2xV2x22'7

3兀

所以NABC

T

因为ZABM=NCBA,也=%，得AMftAsayiBC,得NM4B=ZACB

BCAB

■JT.

所以NAM8+NAC8=ZAMB+ZMAB=万—NABC=上，故C正确.

4

对于D选项，如图，过点M和点C分别作AB延长线的垂线，垂足分别为。，H

①当点P与点”重合时，MH=MB,

71

NCPM=一；

4

②当点P在8H的延长线上时，设NCPH=a,NMPD=0,设PB=x(x>O),

企

J?F

则tana=-----产,tan，=―

x-y/2V2

X--------

2

也

V22

x-^2V2

x------y[2x_V2<]

tanACPM-tan(c)f-/7)=2

E2九2-3任+42x+--3V2

,V22X

1+—产^-=

x-42y/2

x——

2

^CZCPM<-

4

③当点P在"8线段上时，易知NCPM<3

4

综上所述，存在点P,使得NCPM的最大值为工，故D正确

4

13、答案：168

解析：设抽取的学生中男生人数为。，女生人数为“

/74

则一=—,JLa-b-24>解得a=96,Z?=72,

b3

则被抽取的学生人数是96+72=168.

14、答案:「相

解析：。在b方向上的投影向量为

a-bb2x(-l)+3x2.4；

---------=------—b=­b

网网75x755

所以投影向量的坐标为\(-1,2)=

故答案为:

15>答案：2辆

解析：以A为原点，A3所在直线为x轴建立直角坐标系，如图,

则A(0,0),8(6,0)

C(6+6sin30°,-6cos30°)，即C(9,-3扬,

。(9+sin60。,-3G+273cos60°),

即。(12,-2历，

所以40=(12,-26)，

故|AO|="2?+^2G『=2屈

所以A,。两地距离为R辆？.

16、答案：局

解析：如图，点P为△AED的外心，过点F作直线/,使/_L平面A8CD

又“点为RtZ\ABE的外心，过”点作fl平面AEB一

/'交/于。点，即点。为球心.

易知NFHO=45。,则0/=也，

2

在Rt△尸0。中：R=0D=y/0F2+FD2

2

4r-

所以球的体积为V=-7lRy=瓜

3

4

17、答案：(1)一二

(2)7

解析：(1)4万=(2,1)+〃1,2)=(2+41+24)

由(上+。)±b9得(a+丸。)•。二0

即2+兄+2(1+2几)=0

解得％=-3

5

(2)ma+nh=m(2,1)+n(l,2)=(2m+〃,/%+2n)

由ma+nb与c共线，得5(2m+〃)-3(m+2n)=0

化简得7〃z=〃

故二=7

m

18、答案：(1)94

⑵弓

解析：(1)由频率分布直方图可知分数在［85,100］内的频率为

(0.06+0.05+0.04)x5=0.75

故分数在［85,100］内的人数为100x0.75=75

所以分数小于80分的人数为100-75-15=10

由题意可设第75百分位数为尤，xe［90,95)

r-..ix—900.2

则------=-----

50.25

解得x=94

故样本中分数小于80的人数为10人，第75百分位数约为94

(2)由已知可得总样本平均值为三=」-^+』-5

m+nm+n

32

——x90+——x85=88

2+32+3

又由

n+m

，^[10+(88—90)2]+A^[12+(88—85月

424284

=--1--

555

所以用样本估计总体，总体的方差约为空

5

19、答案：(1)见解析

⑵8

解析：(1)证明：=点。为8。中点

AO1BD

又平面平面BC。，平面:平面3Q)=B£>,A0u平面ABD,

平面BCD

又BCu平面8co

:.AOLBC

（2）过点E作EF//AO交BD于点、F,过点尸作FM，BC,垂足为M,连接EM

AOJ_平面BCD,EFHAO

平面BCD

又BCu平面8CO

:.EF±BC.

FMLBC,FMEF=F

.,.BC_L平面EFM

又£Mu平面EFM

.-.BC1EM

r.二面角E-3C—。的平面角为NEMr

且N£M/=30。

BO=OD,△OCD为正三角形

・・.△88为直角三角形，ABCD=90°

.•.尸河〃。短，点尸为8。的靠近点。四等分点

33

：.FM=-CD^-x4=3

44

h

EF=FMtan3O0=3x—=73

3

AO=2EF=2百

■.AO,平面BCD

=；SB℃xAO=；xgx4x4x¥x26=8

20、答案：⑴0.75

(2)0.85

解析：(1)由条件可知。的取值为-3,-1,1,3

当C=1时，表示的事件为该游客游览了两个景点，有一个景点没有游览

其概率为P(C=1)=0.5X0.5X0.4+0.5X0.6x0.5x2=0.4

当C=-l时，表示的事件为该游客游览了一个景点，有两个景点没有游览

其概率为尸(C=_I)=0.5x0.5x0.4+0.5x0.5x0.4+0.5x0.5*0.6=0.35

故P(A)=P(C=1)+P(C=-1)=0.4+0.35=0.75

(2)当C=—1时，/(x)=x-1在［1,+8)上单调递增

当。=一3时，=3在［1,+00)上单调递增

当C=1时，f(X)=X+(在［1,+8)上单调递增

当C=3时，/(X)=X+［在［1,+8)上不是单调递增

P(C=3)=0.5X0.5X0.6=0.15

故P(8)=1-P(C=3)=1—0.15=0.85

21、答案：(1)见解析

(2)存在，理由见解析

解析：(1)证明：连接AC交8。于点。，连接OE

■四边形ABC。是正方形，

.•.点。是AC的中点

又点E是出的中点，

OE//PC

OEu平面BOE,PC.平面BDE

PCH平面BDE

(2)存在，理由如下：

过点A作AE_LPC,垂足为点忆由(1)可知。石〃PC

AFLOE

PAJ_平面ABC。，89u平面ABC。

PALBD

四边形ABC。为正方形

BD1AC

又巳4匚平面4。尸，ACu平面ACP,PAAC=A

30,平面ACP

又，/Fu平面ACP

BD±AF

又BDu平面BOE,OEu平面BOE,BDOE=O,

AFL平面BDE

AP^Plf-Ab1=26,AC=2叵,PC7Ap'AC?=2石

APxAC2A/3X2^2x/30

在RtAPAC中，由等面积法可得AF

265

/.PF=RAP2-AF?=

.•・存在点F,使得AE_L平面BOE,PF=W~

13

22、答案：(1)—

3

(2)2>/3-3

解析：(1)由已知gsinC+cosC=a”,b=c=2

c

根据正