2023年河北省邯郸市武安市中考数学一模试题（含答案与解析）

2023年河北省邯郸市武安市中考一模试题

数学

注意事项：

1.本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必将学校、班级、姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上.

3.答选择题时，每小题选出答案后，用25铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非

选择题时，考生务必将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（本大题共16个小题.1〜10小题每题3分，11〜16小题每题2分，共42

分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.若炉则（）内应填的数是（）.

A.4B.5C.7D.8

2.如图，在三角形纸片ABC中，ZADB=90°,把沿AO翻折180°,若点B落在点C的位置,

则线段AD（）.

A

BDC

A.是边BC上的中线B.是边BC上的高

C.是NB4C的平分线D,以上三种都成立

下列式子中计算结果与-相等的是（

3.3,x*）.

26

A.-3×i×≡b-（^34H

26

「n5C51

C3+XD.—3×—I—

∙ΓΞJ662

4.下列等式正确的是（）

、区c∙份=3D/-∣]-4

A.=±3B.λ∏2=ιl

V164V93

5.如图，已知在RtaABC中，NC=90°,若沿图中虚线剪去/C,则N1+N2的度数是（).

B

A.270oB.240oC.180oD.90o

6.5G是第五代移动通信技术，应用5G网络下载一个IOOOKB的文件只需要0.（）（X）76s,下载5个1000

KB的文件需要的时间用科学记数法表示应为（）.

A.3.8×10^4B.3.8x10-3C.7.6xl（ΓlD.0.38×10^4

7.如图，该长方体是由下面A,B,C,。四个小几何体粘成的，那么图中第四部分对应的几何体是

99

89°90°

89^90°

5B.55

91°90°

91。90。

9.已知两个不等于0的实数〃、b满足α+6=0,则2+0等于（）

ab

A.-2B.-IC.1D.2

10.如图是个一不倒的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿Q4,PB分别相切于点A,B,不倒翁的

鼻尖正好是圆心O,若NOA5=25°,则/APB的度数为（）.

P

B.60oC.25oD.90o

11.已知等腰三角形纸片ABC,AB=AC,NB4C=36°.现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都

A.I可行、H不可行B.1不可行、II可行

C.1、H都可行D.I、II都不可行

12.初三年级甲、乙、丙、丁四个级部举行了知识竞赛，如图，平面直角坐标系中，X轴表示级部参赛人数,

y轴表示竞赛成绩的优秀率（该级部优秀人数与该级部参加竞赛人数的比值），其中描述甲、丁两个级部情

况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个级部在这次知识竞赛中成绩优秀人数的多少正确的是

)

y八1

即

I

\、•乙

A.甲>乙>丙>丁B.丙>甲=丁>乙C.甲=丁>乙>丙D.乙>甲=丁>丙

13.用四个螺丝将四条不可弯曲的本条围成一个木框（形状不限），不记螺丝大小，其中相邻两螺丝之间的

距离依次为3,4,5,7.且相邻两本条的夹角均可调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个

螺丝之间的最大距离是（）

14.已知一组数据1,2,3,4,5,”，〃的平均数是4,若该组数据的中位数小于4,则α的值可能是

（）

A.7B.8C.9D.10

15.《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事，诗云：“今携一壶酒，游春郊外走，逢朋加一倍，

入店饮半斗，相逢三处店，饮尽壶中酒.试问能算士，如何知原有.”（注：古代一斗是10升）译文：

李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升

酒.按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友后，李白正好喝光了壶中的酒，请问各位，壶中原有

（）升酒.

172535

A.5B.—C.—D.—

488

16.如图，在RtZXABC中，ZA=90o,ZC=30o,AB=I,AC=B动点尸在边43上，点P关于

BC,AC的对称点分别为点£,F,连接£/，交AC,BC分别为点M,N.

甲：我发现线段所的最大值为2,最小值为石；

乙：我连接尸M，PN,发现二PMN一定为钝角三角形.

则下列判断正确的是（）

A.甲对乙对B.甲对乙错C.甲错乙对D.甲错乙错

二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分.其中18小题第一空2分，第二空1

分，19小题每空1分）

17.如图，在水平地面上的甲、乙两个区域分别由若干个大小完全相同的正三角形瓷砖组成，琪琪在甲、

乙两个区域内分别随意抛一个小球，P（甲）表示小球停留在甲区域中灰色部分的概率，P（乙）表示小球

停留在乙区域中灰色部分的概率，则尸（甲）P（乙）.（选镇”或“="）

甲乙

18.如图，在正方形ABC。中，P,H分别为Ar）和AB上的点，BP与CH交于点、E,BP=CH.

（1）判断BP与C”是否互相垂直_____；（选填“是”或“否”）

（2）若正方形ABCo的边长为4,AP=3,则线段班的长为.

19.《乌鸦喝水》故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了

水.根据图中给出的信息，解答下列问题：

55αnI放入大球小球共IO个

（1）放入一个小球水面升高cm,放入一个大球水面升高cm；

（2）如果放入10个球且使水面恰好上升到52cm,应放入大球个.

三、解答题（本大题共7个小题，共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20.已知两个数-4和“（。为负整数）.

-5-4-3-2-102345

(1)设整式g(—4+α)的值为R当α=-6时，求尸的值；

(2)已知-4，a,5的和的取值范围如图所示，求α的值.

21.某校360名学生参加植树活动，要求每人植树3〜6棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人植树

情况，并分为四种类型：A：3棵；B-.4棵；C：5棵；D-.6棵.根据各类型对应的人数绘制了如图所示

的扇形统计图和尚来完成的条形统计图.请解答下列问题：

(1)将条形统计图补充完整;

(2)在求这20名学生每人植树量的平均数时，嘉琪是这样分析的:

第一步：求平均数的公式是4=。丁”+—十%

n

第二步：该问题中，〃=4,Xl=3,x2=4,x3=5,x4=6；

_3+4+5+6

第三步:X=--------------=4.5（棵）.

4

①已知嘉琪的分析是不正确的，他错在第几步？

②请你帮他计算出正确的平均数，并估计这360名学生共植树多少棵.

22.新定义：如果“，6都非零整数，且α=4),那么就称。是“4倍数”.

(1)验证：嘉嘉说：232-2俨是“4倍数”，琪琪说：122—6x12+9也是“4倍数”，判断他们谁说得

对？

(2)证明：设三个连续偶数的中间一个数是2〃(〃是整数)，写出它们的平方和，并说明它们的平方和是

“4倍数”.

23.如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标分别为A(0,1),3(2,1),直线/的解析式为

y=+〃，点C的坐标为(0,—1)∙

y∣

c

（1）若直线/经过点C关于线段ÆB的对称点D,求直线/的解析式；

（2）在（1）的条件下，若将直线/向右平移〃个单位长度，且平移后的直线经过线段AB的中点M,求

〃的值；

（3）直线/'：》=依+Z∕（Z≠O）经过点C,若这条直线与线段有交点（包含M,B两点），请直接写出

A的取值范围.

24.如图，点P是AABC内一点，PDYBC,垂足为点。，将线段Pz）绕点P顺时针旋转90°得到扇形

DPE,过点E作加，PE交AB于点M,连接尸与OE交于点F,过点P作PNLPM交BC于点、

N.

(1)求证：∕∖PEM*APDN；

(2)已知PZ)=3,EM=6,

①通过计算比较线段PN和OR哪个长度更长；

②计算图中阴影部分的面积（结果保留乃）.

25.如图，X轴上依次有A,B,D,C四个点，且AB=BD=Z）C=2,从点A处向右上方沿抛物线

y=-（x+2）（x-6）发出一个带光的点尸

G

ABDCEFx

（1）求点A的横坐标，且在图中补画出）'轴；

（2）通过计算说明点P是否会落在点C处，并补全抛物线；

（3）求抛物线的顶点坐标和对称轴；

（4）在X轴上从左到右有两点E,F，且防=2，从点/向上作Gb_LX轴，且Gb=L在cGFE沿X

轴左右平移时，必须保证沿抛物线下落的点P能落在边EG（包括端点）上，直接写出点G横坐标的最大

值与最小值.

26.有两张全等的等腰直角三角形纸片ABC和。EF,ZACB=ΛDFE=90°,

AC=BCDFEF=12cm.

aI■:■>

（1）如图1,若点尸在边AB的中点M处，AB//DE^将JJEF沿射线AB方向平移。cm,当四边形

G4H>是菱形时，求”的值；

（2）若将图1中的」无尸以点尸为旋转中心，按逆时针方向旋转一定角度，DF交BC于点G,EF交

AC于点H,如图2,发现CG=HA,请你证明这个结论；

（3）若将图1中的工火/沿射线AB方向平移3√∑cm,接着以点尸为旋转中心，按顺时针方向旋转至

E/经过点C时，。尸交BC于点G,如图3,求出此时两张等腰直角三角形纸片重叠部分aCFG的面

积.

参考答案

一、选择题（本大题共16个小题.1〜10小题每题3分，11〜16小题每题2分，共42

分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

5（）12

1.若“∙α=α-,则（）内应填的数是（）.

【答案】C

【解析】

【分析】根据同底数基乘除法运算法则进行计算即可.

【详解】解：∙.∙"2÷α5=/,

，（）内应填的数是7,故C正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了同底数嘉的乘除法，解题的关键是熟练同底数哥乘除法运算法则，准确计算.

2.如图，在三角形纸片ABC中，ZADB=90。,把一ABC沿翻折18（）。，若点B落在点C的位置,

则线段AO（）.

A.是边BC上的中线B.是边BC上的高

C.是/84C的平分线D.以上三种都成立

【答案】D

【解析】

【分析】根据折叠的性质即可得到结论.

【详解】解把“ABC沿A。翻折180°,若点8落在点C的位置,

AB=AC,BD=CD,ZBAD=ZCAD,/ADB=ZADC=-×180o=90o,

2

.∙.ADlBC,

线段AO是边Be上的中线，也是边BC上的高，还是284C的平分线，

故选D.

【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

3.下列式子中计算结果与-相等的是（）.

A.-3×-X—-3--

26

【答案】B

【解析】

【分析】将-3；化为[-3-3），再根据乘法分配律计算即可.

【详解】解：根据乘法分配律得一3—1]x=,只有B正确,

2612）6

故选:B.

【点睛】此题考查了有理数的乘法分配律的计算,正确将-3^化为是解题的关键.

4.下列等式正确的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据算术平方根和立方根的定义逐项分析即可.

【详解】解：A.jɪɪj,故此选项不合题意；

B.-lɪ,负数没有算术平方根，故此选项不合题意;

C.√∑27=-3,故此选项不合题意;

故选:D.

【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键.

5.如图，已知在RtAABC中，ZC=90°,若沿图中虚线剪去NC,则N1+N2的度数是（）.

A.270oB.240oC.180oD.90o

【答案】A

【解析】

【分析】利用四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解即可.

【详解】解：；在RtZ∖A8C中，ZC=90°,

.∙∙ZA+N3=90°,

,.∙Z1+Z2+ZA+ZB=360°,

：.Nl+N2=360。-(ZA+NB)=270。

故选：A.

【点睛】此题考查了直角三角形的性质和四边形的内角和，解题关键在于根据四边形内角和为360。和直角

三角形的性质求解.

6.5G是第五代移动通信技术，应用5G网络下载一个IOOoKB的文件只需要0.00076s,下载5个IOOO

KB的文件需要的时间用科学记数法表示应为().

A.3.8×10^4B.3.8x10-3c.7.6x10"D.0.38×10~4

【答案】B

【解析】

【分析】先计算0.00076x5,再根据科学记数法将结果即可.

【详解】解：下载5个IOOOKB的文件需要的时间为0.00076x5=0.0038=3.8x10-3(s),

故选:B.

【点睛】此题考查了有理数的乘法运算法则，科学记数法，正确理解题意列得算式及掌握科学记数法的表

示方法是解题的关键.

7.如图，该长方体是由下面AB,C,。四个小几何体粘成的，那么图中第四部分对应的几何体是

().

【答案】A

【解析】

【分析】第四部分所对应的几何体一排有一个正方体，一排有三个正方体，前面一个正方体在后面三个正

方体的中间.进而作出判断.

【详解】由长方体和第一、二、三部分所对应的几何体可知，

第四部分所对应的几何体一排有一个正方体，一排有三个正方体，前面一个正方体在后面三个正方体的中

间.

故选：A.

【点睛】本题考查了认识立体图形，正确分析正方体的位置是解题的关键.

8.根据图中所给的边长及角度，下列四边形中，一定可以判定为平行四边形的是（）.

89^99

89°90o

A.55B.55CD-5

910_________900__________

91°_________900__________

【答案】B

【解析】

【分析】根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形判断A；根据题意可知平行线间距离是5,可知两组

对边平行，可判断B；对于C,D可知一组对边平行，不能判断另一组对边的关系，可得答案.

【详解】由89。+91°=180。，可知一组对边平行，另一组对边相等，不一定是平行四边形，所以A不符合

题意；

由900+90°=180°，可知一组对边平行，平行线间距离是5,可知另一组对边平行，该四边形是平行四边

形，所以B符合题意；

由890+91°=180°,可知一组对边平行，另一组对边无法确定，不一定是平行四边形，所以C不符合题

意；

由90°+91°=180°,可知一组对边平行，另一组对边无法确定，不一定是平行四边形，所以D不符合题

意.

故选:B.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键.

ha

9.已知两个不等于0的实数。、匕满足α+0=0,则一+—等于（）

ab

A.-2B.-IC.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果.

【详解】解：∙.∙2+^=匕互，

abab

.b+a_b2+a1_(a+b)2-2ab

abahab

∙.∙两个不等于O的实数“、b满足a+b=O,

.ba[a+b^-2ab-2cιbC

ababab

故选：A.

【点睛】本题考查分式的化简、配完全平方、灵活应用配方法是解题的关键.

10.如图是个一不倒的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿B4,PB分别相切于点A,B,不倒翁的

鼻尖正好是圆心。，若NOW=25°,则/A尸8的度数为().

【答案】A

【解析】

【分析】由切线长定理可得PA=PB,进而有ZPBA=ZPAB,因此要得到ZAPB的度数只需得到ZPBA

或NRW的度数；由切线的性质可得NR4O=90°,已知NQA8=25°,根据NPW=NOAfi即

可得到的度数；接下来，在,246中根据三角形的内角和定理即可完成解答.

【详解】解：∕¾切。。于点A,。4是半径，

:,PA^OA,

.∙.ZΛ4C>=90o.

NoAB+ZPAB=ZPAO,

.∙.ZPAB=APAO-ZOAB=65°.

PA.PB分别切。。于点A、B,

.-.PA=PB,

:.ZPBA=ZPAB=65°.

ΛPAB+ZPBA+ZAPB=ISOo,

.∙.ZAPB=180o-65°-65°=50°.

故选：A.

【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理，掌握其性质定理是解决此题的关键.

11.已知等腰三角形纸片ABC,AB=AC,N84C=36°.现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都

是等腰三角形（不能有剩余）.两名同学提供了如下方案：

A.I可行、H不可行B.I不可行、∏可行

C.I、II都可行D.I、H都不可行

【答案】C

【解析】

【分析】根据线段垂直平分线的性质得出结论，根据等腰三角形的性质得出NA8C,ZACB,进而得出

ZDBC,即可判断二BDC和二BDE的特征，然后根据等腰三角形的判定说明，BDE即可得到答案.

【详解】解：；点尸在线段AB的垂直平分线上，

二PA=PB（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），

同理，得PA=PC,

：.PA=PB=PC,

.∙.,PAB,P3C,.∙.A4C都是等腰三角形.

连接BDDE,

VABAC,NA=36°,

.∙.ZABC=NACB=gx(180°-36°)=72°.

,.∙BD=BC,

：.ZBoC=ZBa),

.∙.ZDBCɪ180o-72o×2=36o,

.∙._BOC是顶角为36°的等腰三角形.

,/ZDBE=ZABC-ZDBC=36°,

/.BD=BE,

.BDE是顶角为36°的等腰三角形.

,/ZBED=ZBDE=-×(180o-36°)=72°,

/.NA£0=180°—ZB££>=108。，

ZADE=I80°—ZAZA=36°,

.*.ZADEZA，

：.AE=DE,

Z∖AE0是顶角为108。的等腰三角形，

故选C.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理

等，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键.

12.初三年级甲、乙、丙、丁四个级部举行了知识竞赛，如图，平面直角坐标系中，X轴表示级部参赛人数，

y轴表示竞赛成绩的优秀率(该级部优秀人数与该级部参加竞赛人数的比值)，其中描述甲、丁两个级部情

况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个级部在这次知识竞赛中成绩优秀人数的多少正确的是

()

yf«

即

U

A.甲>乙>丙>丁B.丙>甲=丁>乙C.甲=丁>乙>丙D.乙>甲=丁>丙

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可知孙的值即为该级部的优秀人数，再根据图象即可确定各级部人数的大小关系.

【详解】解：根据题意，可知犯的值即为该级部的优秀人数，

描述甲、丁两级部情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，

.∙.甲、丁两级部的优秀人数相同，

•••点乙在反比例函数图象上面，

...乙级部的孙的值最大，即优秀人数最多，

∙.∙点丙在反比例函数图象下面，

.∙.丙级部的孙的值最小，即优秀人数最少，

...乙〉甲=丁>丙，

故选：D.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的

关键.

13.用四个螺丝将四条不可弯曲的本条围成一个木框（形状不限），不记螺丝大小，其中相邻两螺丝之间的

距离依次为3,4,5,7.且相邻两本条的夹角均可调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个

螺丝之间的最大距离是（）

5

【答案】D

【解析】

【分析】两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形

的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可.

【详解】解：已知4条木棍的四边长为3、4、5、7；

①选3+4、5、7作为三角形，则三边长为7、5、7,能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为7；

②选5+4、7,3作为三角形，则三边长为9、7、3,能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为

9；

③选5+7、3、4作为三角形，则三边长为12、4、3；4+3<12,不能构成三角形，此种情况不成

立；

④选7+3、5、4作为三角形，则三边长为10、5、4；而5+4<10,不能构成三角形，此种情况不成

山

综上所述，任两螺丝的距离之最大值为9.

故选O.

【点睛】本题考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是

解答的关键.

14.已知一组数据1,2,3,4,5,a,匕的平均数是4,若该组数据的中位数小于4,则。的值可能是

()

A.7B.8C,9D.10

【答案】D

【解析】

【分析】由平均数定义可得α+8的值，再由中位数的定义可知如b中必有一个是小于4的，即可得出答

案.

【详解】解：••♦数据1,2,3,4,5,小6的平均数是4,

.∙.l+2+3+4+5+α+A=7χ4=28,

.^.a+b=l3,

将此组数据由小到大排列，则第4个数据即为中位数，

又Y该组数据的中位数小于4,

：.a,〃两数中必有一个值小于4,

a+b=13,

.∙.”,b两数中较大的数的值大于9,

.∙.”的值可能是10.

故选：D.

【点睛】本题考查了平均数定义：所有数的总和除以数的个数；中位数定义：将一组数据从小到大排列，

若奇数个数据则中间的就是中位数，若偶数个数据，则取中间两个数的平均数作为中位数；熟练掌握平均

数和中位数定义是解题的关键.

15.《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事，诗云：“今携一壶酒，游春郊外走，逢朋加一倍，

入店饮半斗，相逢三处店，饮尽壶中酒.试问能算士，如何知原有."(注：古代一斗是10升)译文：

李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升

酒.按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友后，李白正好喝光了壶中的酒，请问各位，壶中原有

()升酒.

172535

A.5B.—C.—D.—

488

【答案】D

【解析】

【分析】设壶中原有X升酒，则遇见第一个朋友后剩余的酒为2x-5升，遇见第二个朋友后的酒为

2(2%-5)-5升，遇见第三个朋友的酒为2[2(2x—5)—5]—5,正好喝完，则列方程为

2[2(2Λ-5)-5]-5=0,进行计算即可得.

【详解】解：设壶中原有X升酒，由题意得，

2[2(2Λ-5)-5]-5=0

2[4x-15]-5=0

8x-3O-5=O

Sx-35

35

X=一，

8

故选D.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列方程.

16.如图，在RtZVLBC中，ZA=90o,NC=30°,AB=I,AC=6,动点P在边AB上，点P关于

BC,AC的对称点分别为点E,F，连接EP，交AC,SC分别为点M,N.

甲：我发现线段瓦`的最大值为2,最小值为石；

乙：我连接尸M,PN,发现./MN一定为钝角三角形.

则下列判断正确的是（）

A.甲对乙对B.甲对乙错C.甲错乙对D.甲错乙错

【答案】A

【解析】

【分析】连接CP,CE,CF,PM,PN,根据轴对称的性质可知AECF是等边三角形，则EF=CP,当点

P与B重合时，CP最大为2AB=2,当点P与A重合时，CP最小为CA=百，从而解决问题.

【详解】解：连接CRCE,CF,PM,PN,

∙.∙点P关于BC,AC的对称点分别为点£,F,

：.CP=CE,CP=CF,NPCN=NECN,NPCM=NFCM,

.∖ZECF^2ZACB=6QQ,

是等边三角形，

当点P与8重合时，CP最大为248=2,

当点P与A重合时，CP最小为CA=6，

.∙.E尸的最大值为2,最小值为6,故甲正确；

由对称性知，NE=NCPN=60°,ZF=ZCPM=GOo,

/MPN=120°,

.•.△PMN是钝角三角形，故乙正确，

故选：A.

【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键

证明尸是等边三角形.

二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分.其中18小题第一空2分，第二空1

分,19小题每空1分）

17.如图，在水平地面上的甲、乙两个区域分别由若干个大小完全相同的正三角形瓷砖组成，琪琪在甲、

乙两个区域内分别随意抛一个小球，P（甲）表示小球停留在甲区域中灰色部分的概率，P（乙）表示小球

停留在乙区域中灰色部分的概率，则P（甲）P（乙）.（选镇或“=”）

甲乙

【答案】=

【解析】

【分析】利用概率的定义直接求出P（甲）和P（乙）进行比较.

2131

【详解】解：P（甲）,P（乙）——所以P（甲）=P（乙）.

6393

故答案为：=.

【点睛】本题考查了随机事件的概率，掌握概率的定义是解题的关键.

18.如图，在正方形ABC。中，P,H分别为A。和AB上的点，BP与CH交于点、E,BP=CH.

（1）判断BP与C”是否互相垂直;（选填“是”或“否”）

（2）若正方形ABC。的边长为4,AP=3,则线段BE的长为.

122

【答案】①.是②.y##2-##2.4

【解析】

【分析】（1）由HL证明Rt△ABTWRtZXBCH,得NBHC=NBPA,即可推出结论；

（2）由勾股定理求出BP的长，再根据RtZ∖ABRRtZ∖BCH,得出BH的长，最后证明..BE"S..BAP,

得出比例式求解即可.

【详解】（1）解：：四边形ABCo是正方形，

ΛZA=ZCBH=9Q°,AB=BC,

在RJAB尸与RtZ∖3C”中，

AB=BC

BP=CH

：.RtABgRtSO/（HL）,

.∙.ZBHC=NBPA,

∙.∙ZBΛ4+ZPBA=90o,

.∙.ZBHC+NPBA=90。,

.∙.BPlCH-.

（2）Y正方形ABCZ）的边长为4,

.∙∙AB=4,ZA=90°,

,/AP=3,

∙*∙BP=y∣AP2+BA2=5-

,/RtAAB-RtABCH,

.∙.BH^AP=3,

•：ZABP=AEBH,4BHC=NBPA，

：.jBEHSdBAP,

.BHBE

.•二,

BPAB

.3BE

,（一=----

54

BEw

故答案为：①是；②M

【点睛】本题考查了三角形全等和相似的判定及性质，正方形的性质，勾股定理的应用，综合运用以上知

识是解题的关键.

19.《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了

水.根据图中给出的信息，解答下列问题：

（1）放入一个小球水面升高Cm,放入一个大球水面升高cm；

（2）如果放入H）个球且使水面恰好上升到52cm,应放入大球个.

【答案】①2②.36

【解析】

【分析】（1）①设放入一个小球使水面升高xcm,根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；②设

放入一个大球使水面升高为相，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果.

（2）设放入大球加个，小球（10一m）个，根据题意列出关于用的方程，求出方程的解即可.

【详解】（1）解：①设放入一个小球使水面升高XC加，根据题意列出方程，

有图形得：3x=32-26,

解得：x=2；

②设放入一个大球使水面升高ycm,根据题意列出方程，

由图形得：2y=32-26,

解得：y=3；

故答案为：2,3.

(2)解：设放入大球加个，小球(10—〃。个，根据题意得，

3m+2(10-m)=52-26,

解得：m=6,

答：应放入大球6个；

故答案为：6.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解题的关键.

三、解答题(本大题共7个小题，共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20.已知两个数-4和α(。为负整数).

IllllIlllIIIA

-5-4-3-2-1O12345

(1)设整式g(—4+α)的值为P.当a=-6时，求产的值；

(2)已知Y,m5的和的取值范围如图所示，求”的值.

【答案】(1)—5

(2)-1

【解析】

【分析】(1)直接把α=-6代入整式求解即可；

(2)根据数轴信息列出不等式，结合。为负整数求解即可.

【小问1详解】

p=l×(-4-6)=-5;

【小问2详解】

由题意，得-4+α+5>-l,

1+α>—1,

解得a>-2,

因为。为负整数，所以。的值为-1.

【点睛】本题考查了实数与数轴，读懂数轴图信息是解题的关键.

21.某校360名学生参加植树活动，要求每人植树3〜6棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树

情况，并分为四种类型：A：3棵；B：4棵；C：5棵；D：6棵.根据各类型对应的人数绘制了如图所示

的扇形统计图和尚来完成的条形统计图.请解答下列问题:

（2）在求这20名学生每人植树量平均数时，嘉琪是这样分析的:

第一步:求平均数的公式是f

n

第二步：在该问题中，/7=4.X]=3,x2=4,X3-5,x4=6；

_3+4+5+6

第三步:X=---------=4.5（棵）.

4

①已知嘉琪的分析是不正确的，他错在第几步？

②请你帮他计算出正确的平均数，并估计这360名学生共植树多少棵.

【答案】（1）见解析（2）①嘉琪错在第二步；②4.3棵，1548棵

【解析】

【分析】（1）总人数乘以。类型的百分比求得其人数，据此补全条形图可得；

（2）①利用平均数的定义解答；②求出样本的平均数，再乘以数据的总数量可得答案.

【小问1详解】

。类型的人数为20xl0%=2（人），

补全条形统计图如图所示：

植树人数条形统计图

①嘉琪错在第二步:

3×4+4×8+5×6+6×2,一

②天=------------------------------=4.3(棵),

20

估计这360名学生共植树360x4.3=1548(棵).

【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键.

22.新定义：如果”,。都是非零整数，且α=4),那么就称。是“4倍数”.

(1)验证：嘉嘉说：232—2F是“4倍数”，琪琪说：设2-6x12+9也是“4倍数”，判断他们谁说得

对？

(2)证明：设三个连续偶数的中间一个数是2〃("是整数)，写出它们的平方和，并说明它们的平方和是

“4倍数”.

【答案】(1)嘉嘉说的对

(2)4(3n2+2),说明见解析

【解析】

【分析】(1)通过计算结合“4倍数”的概念求解即可；

(2)设三个连续偶数分别为2〃一2,2〃，2〃+2,然后通过计算结合“4倍数”的概念求解即可.

【小问1详解】

嘉嘉：232-2F=(23-21)χ(23+21)=2χ44=4χ22,是“4倍数”，

琪琪：122—6x12+9=(12-3)2=92=81,不是“4倍数”.所以嘉嘉说的对.

【小问2详解】

证明：设三个连续偶数分别为2〃一2,2/7,2n+2,

(2n-2)2+(2n)2+(2π+2)2

=4/-8n+4+4n2+4n2+8n+4

=12/+8=4(3/+2),

Vn整数，

.∙.4(3"+2)是“4倍数”.

【点睛】此题考查了整式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握乘法公式.

23.如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标分别为A(0,l),3(2』)，直线/的解析式为

y=gx+b,点C的坐标为(0,—1).

y∣

c

(1)若直线/经过点C关于线段AB对称点。，求直线/的解析式；

(2)在(1)的条件下，若将直线/向右平移〃个单位长度，且平移后的直线经过线段AB的中点M，求

n的值；

(3)直线/'：>=依+"(攵Ho)经过点C,若这条直线与线段有交点(包含M,B两点)，请直接写出

k的取值范围.

【答案】(1)y=[χ+3

2

(2)n=5

(3)1<Λ<2

【解析】

【分析】(1)由轴对称的性质可得出。(0,3),再代入直线/的解析式，求出6的值即可；

(2)由题意可求出线段AB的中点M的坐标为(1,1).根据一次函数平移的规律，得出平移后的直线解析

式为y=；(x—〃)+3,再将"(I』)代入，求出〃的值即可；

(3)将C(O,—1)代入/':y="+万化。0),得出直线/'：y=丘—1.再将8(2,1),M(1,1)代入，分

别求出M的值，即得出k的取值范围.

【小问1详解】

VA(0,l),3(2,1),

/.ABX轴.

∙.∙点C,。关于线段AB对称，且C(O,-1)

.∙.D(0,3).

：直线/的解析式为y=gχ+A,且经过点。，

:∙b=3,

.∙.直线/的解析式为y=gχ+3;

【小问2详解】

由(1)知直线/的解析式为y=；x+3,

∙.∙A(O,1),3(2,1),

；•线段43的中点M的坐标为(1,1).

设平移后的直线解析式为y=g(x-")+3,

将M的坐标(1,1)代入y=；(X-〃)+3,得1=；(1一〃)+3,

解得〃=5；

【小问3详解】

V直线/'：y^kx+b∖k≠0)经过点C,且C(0,-l),

：.b'=-\>

∙,∙直线t'.y=kx-∖‹

将3(2,1)代入得，1=2攵一1,

解得：k=l；

将“(1,1)代入得，1="1,

解得：k=2,

；.女的取值范围是l≤Ar≤2.

【点睛】本题考查轴对称的性质，利用待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，一次函数图象的平移，

一次函数的图象和性质等知识.熟练掌握一次函数图象的平移规律，一次函数的图象和性质是解题关键.

24.如图，点P是AABC内一点，PDLBC,垂足为点。，将线段P。绕点P顺时针旋转90°得到扇形

DPE,过点E作BWL尸石交A8于点M,连接PM,与QE交于点F,过点P作PN_LPM交8C于点

N.

A

（1）求证：∕∖PEM迫APDN；

（2）已知PO=3,EM=g.

①通过计算比较线段PN和OR哪个长度更长；

②计算图中阴影部分的面积（结果保留%）.

【答案】（1）见详解（2）①尸N更长；（g）S∣,=-

ιa524

【解析】

【分析】（1）根据尸DLBC,得出NPrW=90。，根据旋转性质得出PD=PE,NDPE=90°,可证

NEPM=NDPN,然后利用ASA证明∕∖PEM学∕∖PDN即可;

（2）①根据Z∖PEM乌△尸。N,得出EM=DN=日利用勾股定理可求

222

PNɪy∣PD+DN=y∣3+（√3J2=2√3.然后利用锐角三角函数求出/QPN=30。，求出圆心角

607F×3

ZZ>PF=90o-30o=60o,利用弧长公式求出OF=-----------=万即可；②根据△尸£四名△尸DN,得出

180

NEPM=NDPN=30。,EP=DP=3,利用割补法求S映=SAEPMSiI彩PEF即可.

【小问1详解】

证明：VPDlBC,

：./尸ON=90°,

•；将线段PD绕点、2顺时针旋转90。得到PE,

：.PD=PE,NZ）PE=90。，

ZEPM+ZMPD=90o,

,：EMLPE，

：.NMEP=NNDP=90°,

•：PN工PM,

：.NMPD+NDPN=90°,

：.NEPM=NDPN,

在APfiM和N中，

NEPM=NDPN

<PE=PD

NMEP=ZNDP

：.APEM四APDN(ASA)；

【小问2详解】

解：①YAPEM%APDN,

JEM=DN=Q,

在RtAPCW中，

^32+(√3)2=2百，

PN7PD?+DM=

DN√31

.*.SmNDPN=------=——==—,

PN2√32

NDPN=34°,

：.NoPF=90°-30°=60°,

.•加=如叱=〃,

180

,∙-PN=2#>=氏>炭=兀=PF；

；.PN更长;

②∙.∙APEM公APDN,

：.NEPM=NDPN=30°,EP=DP=3,

∙"∙SPjSC=SAEPM-SSIfJPEF=ɪX∖∣3×3—304X3?3#)3兀

236024

【点睛】本题考查图形旋转，三角形全等判定与性质，锐角三角函数之求角度，勾股定理，三角形面积,

弧长公式，扇形面积公式，掌握图形旋转，三角形全等判定与性质，锐角三角函数之求角度，勾股定理,

三角形面积，弧长公式，扇形面积公式是解题