2022-2023学年云南省曲靖市宣威重点中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年云南省曲靖市宣威重点中学高二（下）期中数学

试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合4={%∣y=IogzQ-2%)},B={x∖x2>4},则4UCRB=()

A.{x∣-2≤X<∣}B.{x∖x<2}

C.{x∣-2<%<∣}D.{x∖x≤2}

2.已知复数Z=学，则下列说法正确的是()

A.z的虚部为4iB.z的共轨复数为1-4i

C.IZl=5D.z在复平面内对应的点在第二象限

3.下列命题中，不正确的是()

A.3X0∈R,XQ—2x0+2≥0

B.设α>1,则"b<a"是"logab<Γ的充要条件

C.若α<b<0,则工>ɪ

ab

D.命题“Vx6[1,3],χ2-4x+3≤0"的否定为"北0€[1,3],第一4&+3>0”

4.已知角。的终边经过点P(-3,4),那么2sin0-CoSO=()

A.yB.-yC.-2D.2

5.在A4BC中，角4,B,C所对的边分别为α,b,c,且c=2,C=^,sinB-2sinA,则BC

的面积为（）

AqB.2"D.G

3336

6.若直线匕：a%+2ay+1=0与直线0：（Q-I）X-（G+l）y-I=O垂直，则a的值为（）

A.0B.-1C.-2D.—3

7.若直线，：%+丫+。=0是曲线。：y=%-2/nx的一条切线，则实数Q的值为（）

A.-3B.3C.-2D.2

8.已知双曲线C：胃一，=1（<1>0/>0）的左、右焦点分别为尸1，尸2，过&的直线1与圆。：

/+y2=a2相切，直线/与双曲线左右支分别交于4、B两点,且40BF2建，若双曲线C的

离心率为e,则e2的值为（）

A.13-6θB.6θC.8-6√3D.√3

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.给出如下四个命题不正确的是()

A.方程χ2+y2-2x+1=0表示的图形是圆

B.椭圆弓+ɪ=1的离心率e=qs

C.抛物线X=2y2的准线方程是X=-1

O

D.双曲线《一号—1的渐近线方程是旷=±a

10.下列说法正确的是()

A.X〜NWd),。越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平

B.运用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过样本中心Gj)

C.相关系数Irl越接近1,y与无相关的程度就越弱

D.利用；r2进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系

11.将函数y=s讥2x的图象向右平移着个单位长度得到函数/(x)的图象，则()

Aj(X)=COS(2x+$B./⑼是/⑶图象的一个对称中心

C.当久=-需时，/(X)取得最大值D.函数/(%)在区间［兀,停上单调递增

12.如图，已知长方体4BC0中，四边形4BCD为正方形，AB=2,AA1=y∕~2,

E,F分别为4B,BC的中点.则()

A.A1EIDF

B.点&、E、F、Cl四点共面

C.直线GC与平面BBIClC所成角的正切值为，2

D.三棱锥E-GDF的体积为殍

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.在数列｛c⅛｝中，α1=1»an+1-αn=n,nEN+,贝IJalo=.

14.已知向量五=(4,3),23+另=(3,18)，则乙方夹角的余弦值为.

15.当α为常数时，(a+5)6展开式中常数项为15,则α=.

16.仇章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.4ι=？-―-7∣B1

称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳''×X

马”.现有如图所示的“堑堵”其中4C1BC,A&=JN

4C=1,当“阳马”四棱锥B—44CC1的体积为9时，则''堑堵"即三

棱柱ABC-&B1G的外接球的体积为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

在AABC中，角4,B,C的对边分别为α,b,c,且访=(2b-c,cosC),n=(ɑ,cosA),m∕∕n.

(1)求角A的大小；

(2)若α=4,SMBC=4/耳，试判定AABC的形状.

18.(本小题12.0分)

已知数列｛/l｝的前n项和为%,且％=2αn-2(π∈N*),在数列｛b｝中,比=1,2+bn=bn+1.

(1)求数列｛a"，｛%｝的通项公式；

(2)记〃=α∕ι+α2Z⅛+…+%%，求〃.

19.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面48CD为矩形，△PAD是边长为2的正三角形，平面H4D，

平面48CD,E为棱P。的中点.

(I)求证：AEI5FffiPCD;

(2)若直线PC与平面力BCC所成角的正切值为?，求侧面PAD与侧面PBC所成二面角的大小.

20.(本小题12.0分)

某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生进行了问卷调查，问卷

共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了100名学生的问卷成绩(单位:

分)进行统计,将数据按照[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分成5组，绘制的频

率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科

方向”学生.

⑴根据已知条件完成如表2X2列联表，根据小概率α=0.05的独立性检验，能否认为“文科

方向”与性别有关?

理科方向文科方向总计

男40——

女——45

总计——100

(2)将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取4次，记

被抽取的4人中“文科方向”的人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和

数学期望.

2

2

参考公式：χ=----九(αd'c)-----其中Tl=α+b+c+d.

z(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)

参考临界值:

a0.100.050.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

21.(本小题12.0分)

设f(x)=X-ex.

(1)求曲线f(x)在X=1处的切线方程；

(2)求/Q)的单调区间与极值；

(3)若X∙e*-α=0有实数解，求实数α的范围.

22.(本小题12.0分)

已知椭圆C：:+y2=ι,不与坐标轴垂直的直线,与椭圆C交于P,Q两点，记线段PQ的中点

为M.

(1)若M0,令,求直线PQ的斜率；

(2)记4(一1,0),探究：是否存在直线/,使得MPl=IAQ若存在，写出满足条件的直线I的

一个方程；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因为4={x∖y=Iog2(3-2x)}={x∣3-2x>0}={x∣x<|},

B={x∖x2>4}={x∖x>2或X<-2},

CRB={x∣—2≤X≤2},

故AUQRB={x∖x<2}.

故选：D.

根据已知条件，先求出集合儿B,再结合补集、并集的定义，即可求解.

本题主要考查补集、并集的定义，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共班复数的概念，是基础题.

利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z,然后逐一核对四个选项得答案.

【解答】

5+3i_(5+3t)(l+i)_2+8t

1+4i,

1-1—(l-i)(l+i)-2

∙∙∙z的共粗复数为1一4i.

故选8.

3.【答案】B

2

【解析】解：由诏-2x0+2=(x0-I)+1≥0,A为真;

,

ɑ>1,则“0<b<a'推出"logtjb<1"，反之成立，

所以充分性不一定成立，必要性成立，2错误；

由α<6<0,则工一<=室>0,.•.工>：,C正确；

ababab

命题“Vx∈[1,3],x2-4x+3≤0,'的否定为“而。∈[1,3],诏一4殉+3>0”，

满足命题的否定形式，所以。正确.

故选:B.

利用二次函数的最值判断4充要条件判断B；不等式的基本性质判断C；命题的否定判断0；

本题考查命题的真假的判断，涉及充要条件，命题的否定，不等式的基本性质等知识，是基础题.

4.【答案】A

【解析】解：由题意得sin。="cosθ=-∣,

所以2sin0-cosθ=2×^+∣=y.

故选：A.

由已知结合三角函数的定义即可直接求解.

本题主要考查了三角函数定义的应用，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：SinB=2sinA,

二由正弦定理可得：b=2a.

由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcosC,

：.22=a2+(2α)2-2a×2a×CoS寺,

化为a?=',解得α=*

ɔ3

∙∙∙b=殍

1,.,12∖Γ34<3.π2>Γ3

∙∙∙SrAABC=5QbSIMrC=5X~~τ~X~~γ~XSIn5=—z—

CΛ4ɔɔ

故选：B.

22

由SinB=2sinA,由正弦定理可得:b=2α.再利用余弦定理c?=a+b-2abcosC,解出α,在再

利用三角形面积计算公式即可得出.

本题考查了三角函数的面积计算公式、正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查了推理能

力与计算能力，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：直线4：αx+2αy+1=O与直线"：(Q-I)X-(Q+l)y-1=O垂直,

当Q=O时不满足，

当α≠O时∙，α(α-1)—2α(α+1)=0,解得Q=-3.

故选：D.

根据两直线垂直与斜率之间的关系即可求解.

本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：设直线与曲线的切点P(πι,n),

直线久+y+α=O斜率为-1,由题意可得，y'∖x=m=1-^=-1,

得m=1,n=1—2lnl=1,

则切点为(1,1)，切线方程为y=-(x-l)+1,即x+y-2=0.

.∙.a=­2.

故选：C.

设切点坐标，求出y=x-2)x的导函数，由导函数值为-1求解切点坐标，把切点坐标代入切线

方程求得α值.

本题考查已知切线方程求参数，是基础题.

8.【答案】A

【解析】解：过。作Orl/交，于7,过氏作尸2“∙U交2于M,1

由题意可得IrOl=a,∣Fx01=c,

22

.∙.∖TF1∖—√C—a—b，

•••。是F/2中点，:∣MF2I=2∖T0∖=2a,∖FM∖∣

1=♦2Sl=2b,—TT4XV-T

又NFlBF2=≡,.∙.∖BM∖=2y∏a,∖BF2∖=4α

由双曲线定义可得IBFIl-IBF2∣=2a,

∙∙∙2b+2√-3α-4α=2α①，

2

又c2=α2+Z>2②，e2=%③，

①②③联立可得e2=13-6√^.

故选：A.

过。作OrI，交I于7,过尸2作F2M11交，于M,利用双曲线的定义和性质、离心率的计算公式求解

即可.

本题考查双曲线的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题.

9.【答案】ABD

【解析】解：对4：由方程χ2+y2-2χ+1=O得：(X—1)2+y2=0,...%=1,y=Q,

表示的图形是一个点(L0),故A错误；

对B：τC?=a?—炉=1,二c=1,二e=(=搭，故B错误；

对C：由y2=/得：2p准线方程是：X=-J,故C正确；

LZZoo

对。：∙.∙α=7,匕=5,渐近线的方程为：y=±(x,故。错误；

故选：ABD.

根据圆的标准方程以及圆锥曲线的性质分别对力BCD进行判断即可.

本题考查了圆的标准方程以及圆锥曲线的性质，对基础知识的熟练掌握是解答本题的关键，属于

中档题.

10.【答案】BD

【解析】解：对于4X〜N("),c越小，该正态分布对应的正态密度曲线越高瘦，故4错误;

对于8,用最小二乘法得到的线性回归直线一定经过样本中心GJ),故B正确；

对于C,相关系数Irl越接近1,y与X相关的程度就越强，故C错误；

对于D，用/2进行独立性检验时，/的值越大，事件/发生的可能性越小，则Hl成立的可能性越

大，说明有更大的把握认为两事件有关，故。正确.

故选：BD.

根据正态分布的性质，线性相关系数的性质以及独立性假设检验的原理，逐项判断.

本题考查了正态分布、独立性假设检验以及线性相关性系数的性质，属于基础题.

11.【答案】BD

【解析】解：将函数y=sin2x的图象向右平移3个单位长度得到函数f(x)=sin(2x—》的图象；

对于A：由于∕^(x)=sin(2x—与)=cos[]—(2x—,=cos(2x—关)=—COS(2x+看)，故A正确；

对于B：当“屋时，∕φ=0,故3正确；

对于C:当X=-"时∙，/(-⅞)=-l,故C错误；

对于。：由于xe[τr,吊，故2x*e[*等],故函数F(X)在区间上单调递增，故。正确.

故选：BD.

首先利用三角函数关系式的平移变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函

数的性质的应用判断4、B、C、。的结论.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的

运算能力和数学思维能力，属于基础题.

12.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题以命题的真假判断为载体考查了立体几何的综合应用，考查了线面垂直的性质定理，四点共

面问题，线面角的求解以及等体积法的应用，考查了逻辑推理能力，空间想象能力与转化化归能

力，属于中档题.

利用反证法证明选项A,连结AC,证明E/7/&G，即可判断选项B,由题意，找到直线与平面所

成的角，在RtADCCi中求解，即可判断选项C,连结CE,利用等体积法求出三棱锥的体积，即

可判断选项D.

【解答】

解：

对于4，假设AIEj.DF,由题意可知，BCJ•平面44ιB∕,因为AlEU平面工力逃道,

所以AlEIBC,又BCCDF=F,BC,DFU平面ABCD,所以AlEI平面ABCD,

由长方体的性质可知，&E与平面4BC0不垂直，故假设不等式，故选项A错误；

对于B,连结EF,AC,A1C1,由于E,F分别为48,BC的中点，所以EF〃4C,

又在长方体ABCD-AIBIClDl中，AC//A1C1,所以EF〃4

则点&,E,F,G四点共面，故选项B正确；

对于C,由题意可知，DCJL平面BBIGC,所以NDGC即为GD与平面BBICIC所成的角,

在RtADCCi中，CG=C,CD=2,

则tanzOGC=4⅜=盍=，无，故选项C正确；

对于0,连结DE,C1E,因为AB=4。=2,

则SADEF=SABCD-SAADE~SZBEF—SACDF

1113

=2χ2--×2×l--xl×l--×l×2=-)

利用等体积法/_QDF=IZCLoEF=ɪ∙SADEF-ɛɛl=×1×<2=ɪ-故选项D正确.

故选：BCD.

13.【答案】46

【解析】解：.・•%l+I-Qn=几，neN+,

∙*∙Ct-2-Ql=1，

a3—a2=2,

aιo—Q9=%

将这9个式子相加，可得：

QlO-Ql=l÷2÷3+∙∙∙+9=45,ʌα10=46.

故答案为：46.

αn+1-αn=f(九)，n∈N+的形式，都可以利用叠加法求数列的通项.

本题考查通过递推式求数列的通项，属于基础题.

14.【答案】⅛

【解析】解：设五花的夹角为仇

Va=(4,3)，2五+方=(3,18),

ʌð=2α+h-2α=(3,18)-(8,6)=(-5,12)，

.∙.α∙h=-20÷36=16»|ɑ|=5,Ibl=I3,

八a∙b1616

∙∙∙c°sθ=方而=Mi=荏.

故答案为：⅛.

oɔ

根据已知条件，先求出3,再结合向量模公式，以及向量的夹角公式，即可求解.

本题主要考查向量模公式，以及向量的夹角公式，属于基础题.

15.【答案】±1

【解析】解：(1+”)6的第r+1项为%(χ-2)6-r(αAor=CZarXT2+3r,

令一12+3r=0,得r=4,所以CM4=15,解得α=±l.

故答案为：±1.

求出二项展开式的通项公式，令X的指数为0,求出r值，从而可得常数项，进而可求得α值.

本题主要考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题.

16.【答案】?兀

【解析】

【分析】

本题考查棱锥的体积，球的体积，球的切、接问题，属于中档题.

先根据棱锥的体积公式求出BC的长度，进而由勾股定理求出球的直径，再利用球的体积公式可得

答案.

【解答】

解：由题意得BCl平面A遇CG,

则四棱锥B-4v4CG的体积为；XlXlXBC=最

所以BC=1,

此时三棱柱ABC-AlBICI的外接球的直径AlB=√I2+I2+I2=√^^,

故三棱柱4BC-AB】G的外接球的体积为g7r×(?)3=^2π.

故答案为：~γ^π∙

17.【答案】解：(1)Vm∕∕n,m=(2b—c,cosC)y,元=(Q,cos4),

ʌ(2b—c)cosA-acosC=0,

由正弦定理得(2siτιB—sinC')cosA—SinAcosC=0,

・•・2sinBcosA-Sin(C+Λ)=O,^sinB(2cosA-1)=O,

•・•在BC中，O<B<π,ʌsinB≠O,ʌcosA=ɪ,

又OVAVTr,・•・A=宗

(2)由(1)可知，4=*

VSΔABC=ɪbcsinA=4√-3,

ʌbe=16,(T)

22

又由余弦定理得M=64-C-2bccosAf

：•h2+C2=32,②

结合①②可得b=c=4,又4=全

所以C为等边三角形.

【解析】(1)利用向量共线定理得(2b-e)eos/-αcosC=0,由正弦定理即可得出(2s出B-

sinC}cosA—SinAcosC=0,化简可得答案；

(2)利用三角形的面积计算公式得be=16,再由余弦定理即可得出.

本题主要考查三角形的形状判断，属于中档题.

18.【答案】解：(1)由STI=2gn-2,得Snγ=2%lτ-2(7i>2),

两式相减得斯=2册—2α-ι,即含=2(n>2),

u^n-l

^.ezɪ—2ɑɪ—2,∙*∙ɑɪ=2,

∙∙∙{2l}是以2为首项，2为公比的等比数列，

n

.∙.αn=2；

,λ

2+ftn=⅛∏+1ðn+1—%=2，

{%}是以1为首项，2为公差的等差数列，

.∙∙bn=1+(n—1)×2=2n—1；

(2)7^=1×2+3×22+5×23+-+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2"①，

27；=1×22+3×23+∙∙∙+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1@,

①-②得：一%=1X2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1

=2+2×”1二;」)-(2n-1)×2n+1

=2+2×2n+1-8-(2n-1)×2n+1

=(3-2n)2n+1-6,

n+1

.∙.Tn=(2n-3)2+6.

【解析】(1)由Sn=2a-2,得Sm=2α,-2(n≥2),两式相减得α=2a-2α.,即善-=

nn1rιnn1WTI-I

2(n≥2),从而得出｛ɑτι｝是以2为首项，2为公比的等比数列，得出｛a7i｝的通项公式；通过2+垢=

bn+1,可得出｛bn｝是以1为首项，2为公差的等差数列，得出｛bn｝的通项公式；

(2)依题意，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式经过化简可得出结果.

本题考查数列的递推关系，等差数列和等比数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和，属

于中档题.

19.【答案】证明：(I)在APAD中，PA=AD,E为P。的中点，所以AEJ.PO,

因为平面PAD_L平面ABCD.平面P40n平面ABCD=AD,AD1CD,CDU平面ABC0,所以CD1平

面PAD,

因为AEu平面240,所以4E1C。，

因为CDU平面PCD,PCU平面PCC,PD∏CD=D,

所以4E_L平面PCD；

解：(2)取AD的中点M,连接PM,MC,

在APAD中，Pa=PD=2,所以PMI∕W,PM=C，

因为平面PaOinABCD,平面P40Cl平面ABC。=AD,

PMU平面240,所以PMl平面4BCD,

所以ZPCM为直线PC与平面力BCD所成的角，

在RtZiPMC中，tantPCM=粤=孕，

MCL

所以MC=2,

在Rt△MCD中，MD=1,

所以DC=√22—I2=ʌ/-3>

因为AD〃BC,BCU平面PBC,AD仁平面PBC,所以/W〃平面PBC,

Wl^PAD∩5F≡PBC=I,ADU平面RW,l//AD,

所以PM1I,

取BC的中点N,连接MN,PN,

在APBC中，PB=PC,所以PNIBC,所以PN_L，，

所以NMPN为侧面PaD与侧面PBC所成的角，

在RtZiMNP中，MP=vr3,MN=DC=√-3.所以NMPN=今，

所以侧面PaD与侧面PBC所成的角为也

【解析】（1）依题意可得4E_LP。，再由面面垂直的性质得到CD_L平面P4。，即可得到4EJ.C0,

从而得证；

（2）取4。的中点M,连接PM,MC,可证PMI平面4BCD,则NPCM为直线PC与平面ABCD所成的

角，即可求出MC=2,取BC的中点N,连接MN,PN,即可得到NMPN为侧面PAD与侧面PBC所

成的角，从而得解.

本题考查了线面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题.

20.【答案】解：（1）由频率分布直方图可得分数在［60,80）之间的学生人数为0.0125×20X100=

25（名），在［8（UO0］之间的学生人数为0.0075×20×100=15（名）,

所以低于60分的学生人数为100-15-25=60（名）.所以2X2列联表如下:

理科方向文科方向总计

男401555

女202545

总计6040100

IOOX(40x25-15x20)2

所以*2—≈8.249>7.879,

60×40×55×45

所以有99.5%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关.

（2）易知从该校高一学生中随机抽取1人,

则该人为“文科方向”的概率为P=编

X的所有可能取值为0,1,2,3,4,

所以P(X=O)=(∣)4=蒜,

2φ216

心3

汽σ

=ɔ--×---

,5625

P(X=2)=⅛φ2×φ2=⅛

P(X=3)=C∣(∣)3×∣=⅛

P(X=4)=(∣)4=哉,

所以X的分布列为:

X01234

812162169616

P

既既

G厂1、［厂/v、C81216C216ʌ96.168

0τUF(X)=0×-+λ1×-+2×-+3×-+4×-=

5

【解析】(1)根据频率分布直方图求得不低于60分的频率和频数，填写列联表，计算观测值，对照

临界值得出结论;

(2)根据己知分别求出各自的概率即可求出分布列进而求出数学期望.

本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了独立性检验以及二项分布的期望计算问题，是

中档题.

21.【答案】解：(l)∕(x)=x∙ex的定义域为R,

f'M=(1+x)∙ex>∕,(1)=2e,又/⑴=e,

二曲线/(x)在