第四章结构的稳定计算

第四章结构的稳定计算第1页，课件共58页，创作于2023年2月

4-1两类稳定问题的概述4-2有限自由度体系的稳定—静力法和能量法4-3弹性压杆的稳定—静力法4-4弹性压杆的稳定—能量法4-5剪力对临界荷载的影响4-6

组合压杆的稳定本章主要内容第2页，课件共58页，创作于2023年2月强度验算刚度验算稳定验算结构设计必不可少——某些时候是必须的薄壁结构高强材料结构（如钢结构）主要受压的结构等而稳定验算是在结构产生大变形后的几何形状和位置上进行计算的，其方法已经属于几何非线性范畴，叠加原理不再适用。强度验算与刚度验算是在结构静力平衡的状态下、采用未变形的结构的计算简图来分析的；§4-1两类稳定问题概述第3页，课件共58页，创作于2023年2月根据结构受任意微小外界干扰后能否恢复到原始平衡状态，将平衡状态分为如下三类：稳定平衡状态——若外界干扰消除后结构能完全恢复到原始平衡位置，则原始平衡状态是稳定的。不稳定平衡状态——若外界干扰消除后结构不能恢复到原始平衡位置，则原始平衡状态是不稳定的随遇平衡状态——经抽象简化，可能出现结构受干扰后在任何位置保持平衡的现象.4-1-1结构平衡状态的分类第4页，课件共58页，创作于2023年2月不稳定平衡稳定平衡微小扰动就使小球远离原来的平衡位置微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销后小球可恢复到原来的平衡位置随遇平衡状态第5页，课件共58页，创作于2023年2月定义：完善体系——受压杆件均为理想受压杆的结构体系；

P

P非完善体系——如结构中受压杆有初曲率，或荷载有初偏心，则这类结构体系称非完善体系。

Pe第6页，课件共58页，创作于2023年2月失稳：结构在荷载作用下其原始平衡状态可能由稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态，称原始平衡状态丧失稳定性、简称“失稳”。结构失稳的分类：根据结构失稳前后变形性质是否改变，可将失稳问题分为：•分支点失稳——失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变。在分支点处，既可在初始位置处平衡，亦可在偏离后新的位置平衡，即平衡具有二重性。•极值点失稳——失稳前后变形性质没有发生变化，力－位移关系曲线存在极值点，达到极值点的荷载使变形迅速增长，导致结构压溃。4-1-2失稳的概念及分类第7页，课件共58页，创作于2023年2月P＜Pcr1）分支点失稳柱单纯受压、无弯曲变形——失稳前后平衡状态的变形性质发生变化P＞PcrP=Pcr

柱可在偏离原始平衡位置附近的任一位置上保持平衡。柱的压弯变形继续增大直至破坏。第8页，课件共58页，创作于2023年2月稳定平衡不稳定平衡

小挠度理论

PΔPcr

大挠度理论分支点分支点失稳的P-Δ曲线

以分支点为界，原始平衡状态可分为稳定平衡状态和不稳定平衡状态。分支点上存在平衡形式的两重性第9页，课件共58页，创作于2023年2月2）极值点失稳

PP<PcrP=Pcr

cr——失稳前后变形性质没有发生变化P>Pcr

crPcr第10页，课件共58页，创作于2023年2月PcrPΔOB(极值点)稳定平衡不稳定平衡

小挠度理论

大挠度理论极值点失稳的P-Δ曲线

以极值点为界，原始平衡状态可分为稳定平衡状态和不稳定平衡状态。极值点上不存在平衡形式的两重性一般而言，非完善体系的失稳形式是极值点失稳。第11页，课件共58页，创作于2023年2月4-1-3稳定自由度P1个自由度2个自由度无限自由度稳定自由度——体系产生弹性变形时，确定其变形状态所需的独立几何参数的数目。PPEIy1y2第12页，课件共58页，创作于2023年2月完善体系分支点失稳分析有静力法和能量法。静力法是从分支点上具有平衡的二重性出发，对新的平衡状态建立静力平衡条件，从而求得临界荷载。能量法是对新的平衡状态建立以能量形式表示的平衡条件，依据临界点系统总势能为驻值，进而求得临界荷载。稳定计算的中心问题是确定临界荷载。§4-2有限自由度体系的稳定

——静力法和能量法第13页，课件共58页，创作于2023年2月4-2-1静力法例1求失稳时的临界荷载。1抗转弹簧(刚度系数k)APlB小挠度、小位移情况下：---稳定方程(特征方程)---临界荷载解：P第14页，课件共58页，创作于2023年2月

大挠度理论C

小挠度理论Pθk/lP-θ曲线

ABO讨论：1.小挠度理论计算结果：2.大挠度理论计算：临界荷载与θ是一一对应的第15页，课件共58页，创作于2023年2月例2求失稳时的临界荷载。CPBAll解：P研究体系整体：研究A’B’

：PA’B’HB’VB’整理得

：为使y1、y2

不同时为零，令：----稳定方程第16页，课件共58页，创作于2023年2月---临界荷载---失稳形式11.618CPBA失稳形式第17页，课件共58页，创作于2023年2月例3求失稳时的临界荷载。已知：k1=k,k2=3k。PP取B’C’为隔离体，解：由整体平衡

MA=0，得：y1、y2不能全为零，故：稳定方程失稳形态第18页，课件共58页，创作于2023年2月静力法求临界荷载分析步骤：1、设定一种满足约束条件的可能的失稳变形状态（新的平衡状态）；2、由分支点上平衡的两重性出发，对新的平衡状态建立静力平衡方程，由位移为非零解得“特征方程”，也称“稳定方程”；3、解特征方程，从而求得临界荷载。第19页，课件共58页，创作于2023年2月4-2-2能量法刚性小球的稳定能量准则能量取极大值不稳定平衡状态随遇平衡状态能量取驻值稳定平衡状态能量取极小值第20页，课件共58页，创作于2023年2月与材料力学压杆稳定问题一样，结构分支点失稳问题临界状态的能量特征为：体系总势能EP取驻值。定义：体系应变能U加外力势能UP称为“体系总势能”，记作EP

。弹性结构的稳定能量准则定义：从变形位置退回无变形位置过程中，外荷载所做的功，称为“外力势能”，记作UP。第21页，课件共58页，创作于2023年2月解：体系应变能：例4能量法求结构失稳时的临界荷载。lkP外力势能：yPθ体系总势能：由势能驻值原理：故临界荷载：能量形式的平衡方程第22页，课件共58页，创作于2023年2月CPBAll例5能量法求例14.2的临界荷载。解：体系应变能：Pθ1θ2外力势能：体系总势能：第23页，课件共58页，创作于2023年2月由势能驻值原理：能量形式的平衡方程为使y1、y2

不同时为零，令：----稳定方程---临界荷载第24页，课件共58页，创作于2023年2月1.设定一种满足约束条件的可能的失稳变形状态（新的平衡状态）；2.计算体系本身的应变能U、荷载势能UP，从而获得体系的总势能EP=U+UP；3.由总势能的驻值条件建立以能量形式表示的平衡方程；4.由位移为非零解得“特征方程”，也称“稳定方程”；5.解特征方程，从而求得临界荷载。能量法求临界荷载分析步骤：第25页，课件共58页，创作于2023年2月解题思路：先对变形状态建立平衡方程，然后根据平衡形式的二重性建立特征方程，再由特征方程求出临界荷载。不同的是，平衡方程是代数方程（有限自由度体系）微分方程（无限自由度体系）§4-3弹性压杆的稳定—静力法第26页，课件共58页，创作于2023年2月4-3-1等截面压杆HA例1求体系的临界荷载Pcr。xy

Plyx解：y

PHA规定：M正向与杆件纤维凸起方向一致。挠曲线近似微分方程：曲率的正号规定：若曲率中心位于所设定的y轴正向的一侧，则为正；反之为负。挠曲线近似微分方程中的“

”规定：若所设定的弯矩正向引起正值的曲率，则公式中取“+”；反之取“－”。第27页，课件共58页，创作于2023年2月HAxy

Plyxy

PHA通解为：由边界条件：得：稳定方程为使B、HA不全为零(即y(x)不恒为零)：第28页，课件共58页，创作于2023年2月稳定方程经试算：第29页，课件共58页，创作于2023年2月例2求体系的临界荷载Pcr。解：转化为有弹性支座的单根压杆。l

PlH

PAθθ抗转弹簧刚度系数：在新的平衡状态，抗转弹簧的约束反力矩：第30页，课件共58页，创作于2023年2月挠曲线近似微分方程：

Pyxyyx

PAθθ通解为：边界条件：得：稳定方程第31页，课件共58页，创作于2023年2月稳定方程将代回方程，由试算法可得，再由，可得临界荷载。

PA讨论

P

P第32页，课件共58页，创作于2023年2月例3求图示刚架的临界荷载（对称体系的失稳问题）。

P

P

P

P

P

P解：正对称失稳反对称失稳正对称失稳时：

P

P第33页，课件共58页，创作于2023年2月正对称失稳时反对称失稳时：

P

P故原结构的临界荷载为：第34页，课件共58页，创作于2023年2月4-3-2变截面压杆xyl1l2lI1I2

P

Pcry1y2两段的弹性曲线微分方程：解方程第35页，课件共58页，创作于2023年2月由系数行列式等于零得稳定方程：第36页，课件共58页，创作于2023年2月xyl1l2lI1I2

P1

P2例4阶形杆的稳定（变截面处还作用有压力P2）。解：弹性曲线微分方程：解方程：2Dy1y2

P1

P2第37页，课件共58页，创作于2023年2月展开后，得到特征方程：这个方程只有当I2/I1、l2/l1、P2/P1的比值都给定时才能求解。l1=2l/3l2=l/3I11.5I1

P1

5P1第38页，课件共58页，创作于2023年2月§4-4弹性压杆的稳定—能量法解题思路：1）对于满足位移边界条件的任意可能位移求出总势能Π；2）由时能的驻值条件δΠ=0，得到包含待定参数的齐次方程组；3）令系数行列式等于零，得到特征方程。第39页，课件共58页，创作于2023年2月λ

Pl设变形曲线为：dxdx先求弯曲应变能U:微段两端点竖向位移的差值dλ:第40页，课件共58页，创作于2023年2月势能驻值条件，即令：展开是关于P的n次方程,其最小根即临界荷载。上述方法叫里兹法，所得临界荷载的近似值是精确解的上限。第41页，课件共58页，创作于2023年2月例1能量法求临界荷载.解：位移边界条件为：当x=0和x=l时，y=0l

PEIxy1）设失稳曲线为抛物线.123166423lEIllEI==01Pacr®¹0)31664(13alPlEI=-38)(212102lPadxyPUlP-=ò¢-=,32)(2132102lEIadxyEIUl=ò¢¢=:,01a=¶¶得由P误差为22%第42页，课件共58页，创作于2023年2月2）设失稳曲线如右图变形形式.102lEIPcr=960)(21225202IElPQdxyPUlP-=ò¢-=,96)(213202EIlQdxyEIUl=ò¢¢=:0=求得由PQ误差为1.3%如采用均布荷载下挠曲线计算，精度还可以更高第43页，课件共58页，创作于2023年2月3）设失稳曲线为正弦线)(4)(212202llPadxyPUlPp-=ò¢-=,)(4)(214202lEIladxyEIUlp=ò¢¢=.:,022lEIPcrpdp==得由正弦曲线是真实的失稳变形曲线，所得结果是精确解。第44页，课件共58页，创作于2023年2月例2求均匀竖向荷载作用下的临界荷载.解:当x=0时，y=0：x=l时，1）设失稳曲线为正弦线,)(64)(214202lEIladxyEIUlp=ò¢¢=lyxqEIxdx微段dx倾斜使该段以上荷载向下移动，这部分荷载作功为：第45页，课件共58页，创作于2023年2月2）设失稳曲线为(b)中Q引起的挠曲线.微段dx倾斜使该段以上荷载向下移动，这部分荷载作功为：xdxlyxqEI（a）yxQ（b）第46页，课件共58页，创作于2023年2月例：图示变截面杆的求Pcr解:当x=0时，

y=0：x=l时，y=0设变形曲线为三角级数：⑴先取第一项作为近似的变形曲线xyl

P2I2I2I2第47页，课件共58页，创作于2023年2月⑵再取前两项作为近似的变形曲线系数行列式等于零得到特征方程：两次计算结果相对差值不到1%，由此可知所得近似结果的精确程度。第48页，课件共58页，创作于2023年2月§4-5剪力对临界荷载的影响考虑剪力时压杆的挠度为：y=yM+yQ

M引起挠度Q引起挠度⑴考虑弯矩和剪力影响的挠曲线微分方程：dxhl

PEIABQQdyQg考虑弯矩和剪力影响的挠曲线微分方程：弯矩引起的曲率：剪力引起的曲率计算：第49页，课件共58页，创作于2023年2月β⑵两端铰支的等截面压杆的临界荷载：l

PEIABxyy22lEIPep=即欧拉临界荷载。①修正系数β<1，故考虑剪力影响时，临界荷载降低。三号钢：②在实体杆中，剪力对临界荷载影响很小，通常忽略不计。第50页，课件共58页，创作于2023年2月§4-6组合压杆的稳定

P

Pdb大型结构的压杆常采用组合压杆的形式。在不增大截面尺寸的前提下，使两个型钢离开一定的距离，获得较大的I，增强稳定性。

为了保证他们能正常工作，在型钢的翼缘上用一些扣件将它们连起来。扣件缀条式：斜杆、横杆与柱肢铰接。缀板式：横杆与柱肢刚接。第51页，课件共58页，创作于2023年2月

组合压杆的临界荷载不仅与肢杆的横截面面积有关，还与扣件的横截面面积、排列形式和位置有关。组合压杆的临界荷载比截面和柔度相同的实体压杆的临界荷载要小，因为组合压杆中的剪力