历年高考数学（理）知识清单-专题21 不等式选讲（考点解读）（原卷+解析版）

1专题21不等式选讲考情解读预测高考对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是解答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查。重点知识梳理知识点一、含有绝对值不等式的解法1.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)若c>0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤-c，然后根据a，b的值解出即可.(2)若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅,|ax＋b|≥c的解集为R.2.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.(1)零点分区间法的一般步骤①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|<c(c>0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.3.f|(x)|>g(x)，f|(x)|<g(x)(g(x)>0)型不等式的解法(1)f|(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).(2)f|(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x).知识点二、不等式的证明1.证明不等式的常用结论(1)绝对值的三角不等式定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0，等号成立。2定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立。推论1：||a|－|b||≤|a＋b|.推论2：||a|－|b||≤|a－b|.(2)三个正数的算术—几何平均不等式：如果a，b，c∈R那么≥3，当且仅当a＝b＝c时等号成立。(3)基本不等式(基本不等式的推广)：对于n个正数a1，a2，ⅆ,an，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即≥n，并且仅当a1＝a2=ⅆ=an时等号成立。(4)一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，ⅆ,an，b1，b2，b3，ⅆ,bn是实数，则(a＋a2+ⅆ+a)·(b＋b2+ⅆ+b)≥(a1b1＋a2b2+ⅆ+anbn)2，并且仅当bi＝0(i＝1，2，ⅆ,n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，ⅆ,n)时，等号成立。2.证明不等式的常用方法(1)比较法一般步骤：作差—变形—判断—结论.为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负。(2)综合法利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法.即“由因导果”的方法。(3)分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法。(4)反证法和放缩法①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法。②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法。高频者点突破高频考点一解绝对值不等式（1）当a=1时，求不等式f(x)<0的解集；（2）若xe(伪,1)时，f(x)<0，求a的取值范围.【变式探究】已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.（I）在答题卡第（24）题图中画出y=f(x)的图像；（II）求不等式f(x)>1的解集.【变式探究】不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为.高频考点二不等式的证明例2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：222；33【变式探究】已知函数f(x)=|x一|+|x+|f(x)<2的解集.(Ⅰ)求M；4【变式探究】设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则＋＞＋；(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件.【变式探究】已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，ⅆ,q－1}，集合A＝{x|x=x1＋x2q+ⅆ+xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，ⅆ,n}.(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q+ⅆ+anqn－1，t＝b1＋b2q+ⅆ+bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，ⅆ,n.证明：若an<bn，则s<t.真题感悟1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：222；332．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知f(x)=|x_a|x+|x_2|(x_a).（1）当a=1时，求不等式f(x)<0的解集；（2）若xe(_伪,1)时，f(x)<0，求a的取值范围.3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设x,y,zeR，且x+y+z=1.2的最小值；4．【2019年高考江苏卷数学】设xeR，解不等式|x|+|2x_1|>2.1.（2018年全国I卷理数）已知f(x)=|x+1|-ax-1|.（1）当a=l时，求不等式f(x)>1的解集；（2）若xe(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.2.（2018年全国Ⅱ卷理数）设函数f(x)=5-x+a|-x-2.（1）当a=l时，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≤1，求a的取值范围.3.（2018年全国Ⅲ卷理数）设函数f(x)=|2x+1+x-1|.（1）画出y=fx的图像；（2）当xe[0，+)求a+b的最小值.4.（2018年江苏卷）[选修4—5：不等式选讲]若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求2+y2+2的最小值.5)2.【2017课标1，理】已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.1.【2016高考新课标1卷】已知函数f(x)=x+1-2x-3.（I）在答题卡第（24）题图中画出y=f(x)的图像；（II）求不等式f(x)>1的解集.2.【2016高考新课标2理数】已知函数f(x)=|x一|+|x+|，M为不等式f(x)<2的解集.(Ⅰ)求M；3.【2016高考新课标3理数】已知函数f(x)=|2x一a|+a.（I）当a=2时，求不等式f(x)<6的解集；（II）设函数g(x)=|2x一1|．当xeR时，f(x)+g(x)之3，求a的取值范围.7专题21不等式选讲考情解读预测高考对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是解答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查。重点知识梳理知识点一、含有绝对值不等式的解法1.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)若c>0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤-c，然后根据a，b的值解出即可.(2)若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅,|ax＋b|≥c的解集为R.2.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.(1)零点分区间法的一般步骤①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|<c(c>0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.3.f|(x)|>g(x)，f|(x)|<g(x)(g(x)>0)型不等式的解法(1)f|(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).(2)f|(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x).知识点二、不等式的证明1.证明不等式的常用结论(1)绝对值的三角不等式定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0，等号成立。8定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立。推论1：||a|－|b||≤|a＋b|.推论2：||a|－|b||≤|a－b|.(2)三个正数的算术—几何平均不等式：如果a，b，c∈R那么≥3，当且仅当a＝b＝c时等号成立。(3)基本不等式(基本不等式的推广)：对于n个正数a1，a2，ⅆ,an，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即≥n，并且仅当a1＝a2=ⅆ=an时等号成立。(4)一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，ⅆ,an，b1，b2，b3，ⅆ,bn是实数，则(a＋a2+ⅆ+a)·(b＋b2+ⅆ+b)≥(a1b1＋a2b2+ⅆ+anbn)2，并且仅当bi＝0(i＝1，2，ⅆ,n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，ⅆ,n)时，等号成立。2.证明不等式的常用方法(1)比较法一般步骤：作差—变形—判断—结论.为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负。(2)综合法利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法.即“由因导果”的方法。(3)分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法。(4)反证法和放缩法①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法。②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法。高频考点突攻高频考点一解绝对值不等式（1）当a=1时，求不等式f(x)<0的解集；（2）若xe(伪,1)时，f(x)<0，求a的取值范围.（2）因为f(a)=0，所以a之1.f(x)=(ax)x+(2x)(xa)=2(ax)(x1)<0.【变式探究】已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.【解析】当x<1时，①式化为x23x4<0，无解；时f(x)之2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一，所以f(-1)>2且f(1)>2，得-1<a<1.【变式探究】已知函数f(x)=x+1-2x-3.（I）在答题卡第（24）题图中画出y=f(x)的图像；（II）求不等式f(x)>1的解集.【解析】⑴如图所示：(-1|x-4，x-1<x<32<x<3232f(x)>1,当x≤-1,x-4>1,解得x>5或x<3,∴x≤-1【变式探究】不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为.x≥1， （x （x－1）＋（x＋2）≥5-2<x<1， -（x－1）＋（x＋x≤-2， -（x－1）－（x＋2）≥5，解得x≥2或x≤-3.故原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.答案{x|x≤-3或x≥2}高频考点二不等式的证明例2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：222；33【答案】（1）见解析2）见解析.【解析】（1）因为a2+b2>a2222222ab,b2222 =++. =++.abcabc.33=3(a+b)(b+c)(a+c)=24.33【变式探究】已知函数f(x)=|x一|+|x+|f(x)<2的解集.(Ⅰ)求M；1<21<2时，f(x)<2；22a2b2122)【变式探究】设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则＋＞＋；(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件.【证明】(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(＋)2＞(＋)2.＋＞＋(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.＋＞＋②若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，即a＋b＋2＞c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件.【变式探究】已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，ⅆ,q－1}，集合A＝{x|x=x1＋x2q+ⅆ+xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，ⅆ,n}.(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q+ⅆ+anqn－1，t＝b1＋b2q+ⅆ+bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，ⅆ,n.证明：若an<bn，则s<t.(1)【解析】当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M，i＝1，2，3}．可得，A(2)【证明】由s，t∈A，s＝a1＋a2q+ⅆ+anqn－1，t＝b1＋b2q+ⅆ+bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1，2，ⅆ,n及an<bn，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q+ⅆ+(an－1－bn－1)qn－2＋(an－bn)qn－1≤(q－1)＋(q－1)q+ⅆ+(q-1)·qn－2－qn－1qn－11<0.所以，s<t.真题感怪1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：222；3324.【答案】（1）见解析2）见解析.a222ab22222所以33=3(a+b)(b+c)(a+c)=24.332．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).（1）当a=1时，求不等式f(x)<0的解集；（2）若xe(-伪,1)时，f(x)<0，求a的取值范围.【解析】（1）当a=1时，f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x<1时，f(x)=-2(x-1)2<0；当x之1时，f(x)之0.所以，不等式f(x)<0的解集为(-伪,1).（2）因为f(a)=0，所以a之1.f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0.3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设x,y,zeR，且x+y+z=1.2的最小值；【答案】（12）见详解.22，43当且仅当x=，y=–，z=-时等号成立.2的最小值为42+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)]故由已知(x-2)2+(y-1)2+(z-a)24-a31-a3,z=3时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为.4．【2019年高考江苏卷数学】设xeR，解不等式|x|+|2x-1|>2.【解析】当x<0时，原不等式可化为-x+1-2x>2，解得x<-；当0≤x≤时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；当x>时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1.综上，原不等式的解集为{x|x<-或x>1}.1.（2018年全国I卷理数）已知f(x)=|x+1|-ax-1|.（1）当a=l时，求不等式f(x)>1的解集；（2）若xe(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.【解析】（1）当a=l时，f(x)=|x+l|-x-1|，即故不等式f(x)>1的解集为.（2）当xe(0,1)时x+l|-ax-1|>x成立等价于当xe(0,1)时ax-1|<1成立.若a≤0，则当xe(0,1)时|ax-1|≥1；若a>0，ax-1|<1的解集为，所以，故。<a≤2.综上，a的取值范围为(0,2].2.（2018年全国Ⅱ卷理数）设函数f(x)=5-x+a|-x-2.（1）当a=l时，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≤1，求a的取值范围.【答案】（1）{x-2≤x≤3},(2)(-@-6]u[2,+)可得(≥0的解集为{x-2≤x≤3}.（2）f(x)≤1等价于x+a|+|x-2|≥4.而x+a+x-2|≥la2|，且当x=2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2，所以a的取值范围是(-@,-6]u[2,+.3.（2018年全国Ⅲ卷理数）设函数f(x)=|2x+1+x-1|.（1）画出y=fx的图像；（2）当xe[0，+)求a+b的最小值.（2）5y=fx的图像如图所示.（2）由（1）知，y=fx的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当≥3且b≥2时，在[0,+)成立，因此a+b的最小值为5。4.（2018年江苏卷）[选修4—5：不等式选讲]若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求2+y2+2的最小值.【答案】4【解析】证明：由柯西不