第五章 特征值问题

第五章特征值问题第1页，课件共125页，创作于2023年2月说明:一、特征值与特征向量的概念第2页，课件共125页，创作于2023年2月第3页，课件共125页，创作于2023年2月第4页，课件共125页，创作于2023年2月第5页，课件共125页，创作于2023年2月二、特征值与特征向量的求法例1

第6页，课件共125页，创作于2023年2月第7页，课件共125页，创作于2023年2月例２

解第8页，课件共125页，创作于2023年2月第9页，课件共125页，创作于2023年2月第10页，课件共125页，创作于2023年2月例３

设求A的特征值与特征向量．解第11页，课件共125页，创作于2023年2月第12页，课件共125页，创作于2023年2月得基础解系为：第13页，课件共125页，创作于2023年2月例４

证明：若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则证明再继续施行上述步骤次，就得第14页，课件共125页，创作于2023年2月第15页，课件共125页，创作于2023年2月三、特征值和特征向量的性质第16页，课件共125页，创作于2023年2月第17页，课件共125页，创作于2023年2月第18页，课件共125页，创作于2023年2月3/42/3第19页，课件共125页，创作于2023年2月-2or1第20页，课件共125页，创作于2023年2月证:则即类推之，有第21页，课件共125页，创作于2023年2月把上列各式合写成矩阵形式，得第22页，课件共125页，创作于2023年2月注意：１.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．２.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．３.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值对应的特征向量不唯一；但一个特征向量却只能属于一个确定的特征值．第23页，课件共125页，创作于2023年2月第24页，课件共125页，创作于2023年2月求矩阵特征值与特征向量的步骤：四、小结第25页，课件共125页，创作于2023年2月思考题1第26页，课件共125页，创作于2023年2月思考题1解答第27页，课件共125页，创作于2023年2月特征值问题与二次型第二节相似矩阵第28页，课件共125页，创作于2023年2月一、相似矩阵第29页，课件共125页，创作于2023年2月1.等价关系二、相似矩阵与相似变换的性质第30页，课件共125页，创作于2023年2月证明第31页，课件共125页，创作于2023年2月第32页，课件共125页，创作于2023年2月推论2

若阶方阵与对角阵第33页，课件共125页，创作于2023年2月证明三、利用相似变换将方阵对角化第34页，课件共125页，创作于2023年2月第35页，课件共125页，创作于2023年2月命题得证.第36页，课件共125页，创作于2023年2月如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．推论1第37页，课件共125页，创作于2023年2月说明如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，还是能对角化．第38页，课件共125页，创作于2023年2月例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？解第39页，课件共125页，创作于2023年2月解之得基础解系第40页，课件共125页，创作于2023年2月求得基础解系第41页，课件共125页，创作于2023年2月解之得基础解系故不能化为对角矩阵.第42页，课件共125页，创作于2023年2月A能否对角化？若能对角例2解第43页，课件共125页，创作于2023年2月解之得基础解系第44页，课件共125页，创作于2023年2月所以可对角化.第45页，课件共125页，创作于2023年2月注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．第46页，课件共125页，创作于2023年2月推论2‘第47页，课件共125页，创作于2023年2月第48页，课件共125页，创作于2023年2月第49页，课件共125页，创作于2023年2月第50页，课件共125页，创作于2023年2月第51页，课件共125页，创作于2023年2月第52页，课件共125页，创作于2023年2月思考题第53页，课件共125页，创作于2023年2月思考题解答第54页，课件共125页，创作于2023年2月第55页，课件共125页，创作于2023年2月特征值问题与二次型第三节实对称矩阵的对角化第56页，课件共125页，创作于2023年2月性质1实对称矩阵的特征值为实数.一、实对称矩阵的性质说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．性质2第57页，课件共125页，创作于2023年2月第58页，课件共125页，创作于2023年2月根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量正交化(如果有重根的话);3.将特征向量单位化.4.2.1.第59页，课件共125页，创作于2023年2月解例1对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.(1)第一步求的特征值第60页，课件共125页，创作于2023年2月解之得基础解系解之得基础解系第61页，课件共125页，创作于2023年2月解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化第62页，课件共125页，创作于2023年2月第63页，课件共125页，创作于2023年2月第64页，课件共125页，创作于2023年2月第65页，课件共125页，创作于2023年2月于是得正交阵第66页，课件共125页，创作于2023年2月第67页，课件共125页，创作于2023年2月第68页，课件共125页，创作于2023年2月第69页，课件共125页，创作于2023年2月1.对称矩阵的性质：三、小结(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量单位化；(4)最后正交化．第70页，课件共125页，创作于2023年2月思考题第71页，课件共125页，创作于2023年2月思考题解答第72页，课件共125页，创作于2023年2月第73页，课件共125页，创作于2023年2月特征值问题与二次型第四节二次型及其标准形第74页，课件共125页，创作于2023年2月一、二次型及其标准形的概念称为二次型.第75页，课件共125页，创作于2023年2月只含有平方项的二次型称为二次型的标准形．例如都为二次型；而为二次型的标准形.第76页，课件共125页，创作于2023年2月第77页，课件共125页，创作于2023年2月2．用矩阵表示二、二次型的表示方法第78页，课件共125页，创作于2023年2月三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．第79页，课件共125页，创作于2023年2月解例１第80页，课件共125页，创作于2023年2月第81页，课件共125页，创作于2023年2月第82页，课件共125页，创作于2023年2月设有可逆线性变换四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．第83页，课件共125页，创作于2023年2月第84页，课件共125页，创作于2023年2月第85页，课件共125页，创作于2023年2月第86页，课件共125页，创作于2023年2月说明第87页，课件共125页，创作于2023年2月用正交变换化二次型为标准形的具体步骤第88页，课件共125页，创作于2023年2月1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例4第89页，课件共125页，创作于2023年2月从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组第90页，课件共125页，创作于2023年2月4．将正交向量组单位化，得正交矩阵第91页，课件共125页，创作于2023年2月于是所求正交变换为第92页，课件共125页，创作于2023年2月解例5第93页，课件共125页，创作于2023年2月第94页，课件共125页，创作于2023年2月第95页，课件共125页，创作于2023年2月第96页，课件共125页，创作于2023年2月第97页，课件共125页，创作于2023年2月第98页，课件共125页，创作于2023年2月第99页，课件共125页，创作于2023年2月六、小结1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法．第100页，课件共125页，创作于2023年2月化为标准型，并指出表示何种二次曲面.求一正交变换，将二次型思考题1第101页，课件共125页，创作于2023年2月思考题1解答第102页，课件共125页，创作于2023年2月第103页，课件共125页，创作于2023年2月第104页，课件共125页，创作于2023年2月特征值问题与二次型第五节正定二次型与正定矩阵第105页，课件共125页，创作于2023年2月一、惯性定理第106页，课件共125页，创作于2023年2月第107页，课件共125页，创作于2023年2月二、正(负)定二次型的概念第108页，课件共125页，创作于2023年2月为正定二次型为负定二次型例如为不定型二次型为负半定二次型第109页，课件共125页，创作于2023年2月三、正(负)定二次型的判别推论对称矩阵为正定的充分必要条件是：的特征值全为正．第110页，课件共125页，创作于2023年2月第111页，课件共125页，创作于2023年2月第112页，课件共125页，创作于2023年2月第113页，课件共125页，创作于2023年2月定理3充分性必要性第114页，课件共125页，创作于2023年2月第115页，课件共125页，创作于2023年2月第116页，课件共125页，创作于2023年2月定义2第117页，课件共125页，创作于2023年2月这个定理称为霍尔维茨定理．定理4对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶顺序主子式为正，即第118页，课件共125页，创作于2023年2月正定矩阵具有以下一些简单性质：推论对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，而偶数阶主子式为正，即第119页，课件共125页，创作于2023年2月例3判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.第120页，课件共125页，创作于2023年2月例4判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知是正定矩阵，第121页，课件共125页，创作于2023年2月解例5若二次型正定，求参数