2024年湖北省武汉市江夏区光谷实验中学中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年湖北省武汉市江夏区光谷实验中学中考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）的相反数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）下列是几个著名汽车品牌标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（）A．点数的和为1 B．点数的和为6 C．点数的和大于12 D．点数的和小于134．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣3a2）3＝﹣9a6 B．（﹣a）2•a3＝a5 C．（2x﹣y）2＝4x2﹣y2 D．a2+4a2＝5a45．（3分）从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（）A． B． C． D．6．（3分）如图，两个反比例函数y＝和y＝1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于B，则△POB的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）如果x2+2x﹣2＝0，那么代数式•﹣的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点D作⊙O的切线，交AB于点E；若半径为3，且sin∠CFD＝（）A． B．5 C． D．9．（3分）3月23日早晨，“母亲河畔的奔跑﹣2013重庆国际马拉松赛”在南滨公园门口鸣枪开跑，甲、乙两选手的行程y（千米）（时）变化的图象（全程）如图所示．有下列说法：其中，错误的说法是（）A．起跑后1小时内，甲在乙的前面 B．第1小时两人都跑了21千米 C．甲比乙先到达终点 D．两人都跑了42.195千米10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE＝30°；②射线FE是∠AFC的角平分线；③（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②④二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算的结果是．12．（3分）世界文化遗产长城总长约21000千米，数21000用科学记数法表示为．13．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为．（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）14．（3分）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG＝30°，CE＝8米，仪器高度CD＝1.5米米．15．（3分）如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列四个结论：①abc＞0；②2a+b＝02+bx+c的最大值为﹣4a；④若关于x的方程ax2+bx+c＝a+1无实数根，则﹣＜a＜0．其中正确的是（填写序号）．16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，且DE＝4，CE的垂直平分线交CB的延长线于点F，连接EF交AB于点G．若G是AB的中点，则BC的长是．三、解答题（共6小题，共52分）17．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得；（2）解不等式②，得；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）原不等式组的解集为．18．（8分）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，AB上的点，DF∥CA；（1）求证：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．19．（8分）某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“合格”，“不合格”．（1）本次抽查总人数为，“合格”人数的百分比为；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为；（4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为．20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D是弦AC延长线上一点，过点C作⊙O的切线，交DE于点F．（1）求证：FC＝FD；（2）若E是OB的中点，sinD＝，OA＝221．（10分）【问题发现】（1）如图1，在等腰直角△ABC中，点D是斜边BC上任意一点，使∠DAE＝90°，AD＝AE，则∠ABC和∠ACE的数量关系为；【拓展延伸】（2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC（不与点B，C重合），在AD的右侧作等腰△ADE，使AD＝DE，连接CE，则（1）中的结论是否仍然成立；【归纳应用】（3）在（2）的条件下，若AB＝BC＝6，点D是射线BC上任意一点，请直接写出当CD＝3时CE的长．22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣且经过A，C两点（1）求抛物线解析式．（2）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）的相反数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：的相反数是，故选：C．2．（3分）下列是几个著名汽车品牌标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；D、该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．3．（3分）掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（）A．点数的和为1 B．点数的和为6 C．点数的和大于12 D．点数的和小于13【解答】解：A、两枚骰子的点数的和为1，故不符合题意；B、两枚骰子的点数之和为6，故符合题意；C、点数的和大于12，故不符合题意；D、点数的和小于13，故不符合题意；故选：B．4．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣3a2）3＝﹣9a6 B．（﹣a）2•a3＝a5 C．（2x﹣y）2＝4x2﹣y2 D．a2+4a2＝5a4【解答】解：选项A：（﹣3a2）6＝﹣27a6，所以不符合题意；选项B：（﹣a）2•a7＝a2•a3＝a3，所以符合题意；选项C：（2x﹣y）2＝2x2﹣4xy+y4，所以不符合题意；选项D：a2+4a3＝5a2，所以不符合题意；故选：B．5．（3分）从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意画图如下：共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，则甲被选中的概率为．故选：C．6．（3分）如图，两个反比例函数y＝和y＝1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于B，则△POB的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，∴S△POA＝×4＝2，S△BOA＝×2＝6，∴S△POB＝2﹣1＝5．故选：A．7．（3分）如果x2+2x﹣2＝0，那么代数式•﹣的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝﹣＝﹣，∵x2+2x﹣3＝0，∴x2+6x＝2，则原式＝﹣＝﹣2，故选：A．8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点D作⊙O的切线，交AB于点E；若半径为3，且sin∠CFD＝（）A． B．5 C． D．【解答】解：连接OD，如图，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DF为切线，∴OD⊥DF，∴AE⊥EF，在Rt△ODF中，∵sin∠CFD＝＝，∴OF＝7，在Rt△AEF中，∵sin∠F＝＝，∴AE＝（3+2）＝．故选：A．9．（3分）3月23日早晨，“母亲河畔的奔跑﹣2013重庆国际马拉松赛”在南滨公园门口鸣枪开跑，甲、乙两选手的行程y（千米）（时）变化的图象（全程）如图所示．有下列说法：其中，错误的说法是（）A．起跑后1小时内，甲在乙的前面 B．第1小时两人都跑了21千米 C．甲比乙先到达终点 D．两人都跑了42.195千米【解答】解：根据图象得：起跑后1小时内，甲在乙的前面，不符合题意；在跑了1小时时，甲追上乙，故选项B正确；乙比甲先到达终点，故选项C错误；两人都跑了42.195千米，故选项D正确．故选：C．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE＝30°；②射线FE是∠AFC的角平分线；③（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②④【解答】解：∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，∴AB＝BC，BE＝，∴tanA＝＝，∵tan30°＝，∴∠BAE≠30°，故①错误；∵∠B＝∠C＝90°，AE⊥EF，∴∠BAE+∠BEA＝90°，∠BEA+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF，∵AB＝2BE＝2CE，∴EC＝7CF，设CF＝a，则EC＝BE＝2a，∴AE＝a，EF＝a，∴tan∠AFE＝＝2，∴∠AFE＝∠CFE，即射线FE是∠AFC的角平分线，故②正确；∵BC＝CD，BC＝6CE＝4CF，∴CF＝CD；作EG⊥AF于点G，∵FE平分∠AFC，∠C＝90°，∴EG＝EC，∴EG＝EB，∵∠B＝∠AGE＝90°，在Rt△ABE和Rt△AGE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴AB＝AG，又∵CF＝GF，AF＝AG+GF，∴AF＝AB+CF，故④正确，由上可得，②④正确，故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算的结果是6．【解答】解：＝2．故答案为：6．12．（3分）世界文化遗产长城总长约21000千米，数21000用科学记数法表示为2.1×104．【解答】解：数21000用科学记数法表示为2.1×105．故答案为：2.1×108．13．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为10米．（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【解答】解：根据题意得：∠BAC＝37°，∠ACB＝90°，∵，∴，解得：AB≈10米，即自动扶梯AB的长约为10米．故答案为：10米．14．（3分）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG＝30°，CE＝8米，仪器高度CD＝1.5米（1.5+4）米．【解答】解：由题意，四边形CDFE、四边形CDBG均为矩形，△ADG、△AFG均为直角三角形，所以CD＝BG＝1.5米，CE＝DF＝5米．在Rt△ADG中，∵tan∠ADG＝，即DG＝＝AG，在Rt△AFG中，∵tan∠AFG＝，即FG＝＝AG，又∵DG﹣FG＝DF＝8，∴AG﹣即AG＝8∴AG＝2∴AB＝AG+GB＝1.4+4（米）故答案为：6.5+415．（3分）如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列四个结论：①abc＞0；②2a+b＝02+bx+c的最大值为﹣4a；④若关于x的方程ax2+bx+c＝a+1无实数根，则﹣＜a＜0．其中正确的是②③④（填写序号）．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线交y轴于正半轴，∴c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜6，故①错误．∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝3，∴2a+b＝0，故②正确．∵抛物线y＝ax8+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），∴抛物线交x轴于另一点（7，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣7），当x＝1时，y的值最大，故③正确．∵ax2+bx+c＝a+8无实数根，∴a（x+1）（x﹣3）＝a+5无实数根，∴ax2﹣2ax﹣7a﹣1＝0，Δ＜7，∴4a2﹣5a（﹣4a﹣1）＜7，∴a（5a+1）＜5，∴﹣＜a＜8，故答案为：②③④．16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，且DE＝4，CE的垂直平分线交CB的延长线于点F，连接EF交AB于点G．若G是AB的中点，则BC的长是7．【解答】解：∵矩形ABCD中，G是AB的中点，∴AG＝BG＝×8＝4，在△AEG和△BFG中，，∴△AEG≌△BFG（ASA），∴AE＝BF，EG＝FG，设AE＝x，则CF＝BC+BF＝AD+BF＝2+x+x＝4+2x，在Rt△AEG中，EG＝＝，∴EF＝3，∵FH垂直平分CE，∴CF＝EF，∴4+6x＝2，解得：x＝8，∴AD＝AE+DE＝4+3＝3，∴BC＝AD＝7．故答案为：7．三、解答题（共6小题，共52分）17．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得x≥﹣1；（2）解不等式②，得x≤2；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（4）原不等式组的解集为﹣1≤x≤2．【解答】解：（1）解不等式①，得x≥﹣1；（2）解不等式②，得x≤2；（3）把把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）所以原不等式组的解集为﹣2≤x≤2．故答案为：（1）x≥﹣1；（2）x≤2；（4）﹣1≤x≤2．18．（8分）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，AB上的点，DF∥CA；（1）求证：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．【解答】解：（1）证明：∵DF∥CA，∴∠DFB＝∠A，又∵∠FDE＝∠A，∴∠DFB＝∠FDE，∴DE∥AB；（2）设∠EDC＝x°，∵∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，∴∠BFD＝∠BDF＝2x°，由（1）可知DE∥BA，∴∠DFB＝∠FDE＝5x°，∴∠BDF+∠EDF+∠EDC＝2x°+2x°+x°＝180°，∴x＝36，又∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝36°．19．（8分）某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“合格”，“不合格”．（1）本次抽查总人数为50人，“合格”人数的百分比为40%；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为115.2°；（4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为．【解答】解：（1）本次抽查的总人数为8÷16%＝50（人），“合格”人数的百分比为1﹣（32%+16%+12%）＝40%，故答案为：50人，40%；（2）补全图形如下：（3）扇形统计图中“不合格”人数的度数为360°×32%＝115.5°，故答案为：115.2°；（4）列表如下：甲乙丙甲（乙，甲）（丙，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）由表知，共有6种等可能结果，所以刚好抽中甲乙两人的概率为＝．故答案为：．20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D是弦AC延长线上一点，过点C作⊙O的切线，交DE于点F．（1）求证：FC＝FD；（2）若E是OB的中点，sinD＝，OA＝2【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵CF为⊙O的切线，∴OC⊥CF，∴∠OCF＝90°，∴∠FCD+∠ACO＝90°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A，∴∠FCD+∠A＝90°，∵DE⊥AB，∴∠D+∠A＝90°，∴∠D＝∠FCD，∴FC＝FD；（2）解：连接BC，过F点作FH⊥CD于H，∵E是OB的中点，OA＝2，∴OE＝1，∴AE＝5，在Rt△ADE中，∵sinD＝＝，∴AD＝×3＝6，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∵∠D+∠A＝90°，∴∠ABC＝∠D，在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝sinD＝＝，∴AC＝×4＝，∴CD＝AD﹣AC＝5﹣＝，∵FC＝FD，FH⊥CD，∴DH＝CH＝CD＝，在Rt△DFH中，∵sinD＝＝，∴设FH＝3x，DF＝6x，∴DH＝4x，即4x＝，解得x＝，∴DF＝4×＝．21．（10分）【问题发现】（1）如图1，在等腰直角△ABC中，点D是斜边BC上任意一点，使∠DAE＝90°，AD＝AE，则∠ABC和∠ACE的数量关系为相等；【拓展延伸】（2）如图2，在等腰△ABC中，AB＝BC（不与点B，C重合），在AD的右侧作等腰△ADE，使AD＝DE，连接CE，则（1）中的结论是否仍然成立；【归纳应用】（3）在（2）的条件下，若AB＝BC＝6，点D是射线BC上任意一点，请直接写出当CD＝3时CE的长．【解答】解：（1）相等，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC＝∠ACE，故答案为：相等；（2）成立，理由：∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣∠ABC），∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE），∵∠ABC＝∠ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE，∴，∴△ABD∽△ACE，∴∠ABC＝∠ACE；（3）如图2，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣∠ABC），∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE），∵∠ABC＝∠ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE，∴，∴△