中考数学二轮复习考点提分特训专题10 二次函数综合问题（原卷版）

专题10二次函数综合问题一、【知识回顾】【思维导图】【类型清单】二、【考点类型】考点1：线段周长问题典例1：（2022·漳州）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1】（2018·大庆）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．【变式2】（2022九上·东阳月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D做DQ⊥x轴于点M，DQ与BC相交于点M．DE⊥BC于E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求线段DE长度的最大值；（3）连接AC，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．【变式3】（2022九上·鄞州月考）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为(-3，0)，与y轴交于点C，点D(-2，-3)在抛物线上.（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求△PAD周长的最小值；（3）抛物线的对称轴上有一动点M，当△MAD是等腰三角形时，直接写出点M的坐标.考点2：面积问题典例2：（2021九上·鄂城期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx经过点(−2，5)，且与直线y=−12x在第二象限交于点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B(−4，0).若P是直线OA上方该抛物线上的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交（1）求抛物线的解析式；（2）求△AOP的面积S的最大值；（3）连接PB交OA于点E，如图2，线段PB与AD能否互相平分？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由.【变式1】（2022九上·岳麓开学考）如图，抛物线y=ax2+bx+6经过A(−2，0)、B(4，0)两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m(1<m<4)，连结AC、BC、DB（1）求抛物线的函数表达式．（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的34时，求m（3）当m=2时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，请说明理由．【变式2】（2022九上·舟山月考）如图，抛物线y=ax（1）求抛物线的表达式；（2）点M在直线AB上方的抛物线上运动，当ΔABM的面积最大时，求点M的坐标；（3）若点F为平面内的一点，且以点B，【变式3】（2021九上·槐荫期末）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（－4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，过点P作PD⊥x轴于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）连接PA，PC，求SΔPAC（3）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式．考点3：角度问题典例3：（2022九下·磐安期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1，0)，B(9，0)，与y轴交于点C（1） 求抛物线的函数表达式；（2） 若点P在y轴上，在该抛物线的对称轴上，是否存在唯一的点Q，满足∠AQP=90°？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3） 若点P在y轴上，满足sin∠APB=23的点P是否存在？如果存在，请求出点【变式1】（2021九上·潮安期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3过点A(−3，0)，B(1，0)（1）求抛物线的解析式；（2）求线段AN的长；（3）若点M在第三象限抛物线上，连接MN，∠ANM=45°，则这时点M的坐标为（直接写出结果）．【变式2】（2022·通辽）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线BC（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上一点，若S△PBC=1（3）点Q是抛物线上一点，若∠ACQ=45°，求点Q的坐标．【变式3】（2021九上·海珠期末）如图，已知直线y＝﹣2x+m与抛物线相交于A，B两点，且点A(1，4)为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是y轴上一点，当∠APB＝90°时，求点P的坐标．考点4：特殊三角形问题典例4：（2022·湘西）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1】（2021九上·南充期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线x=1，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，−3)，OB=OC.（1）求抛物线的解析式.（2）在抛物线上是否存在点Q，使得△BCQ是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.（3）设抛物线上的一点P的横坐标为m，且在直线BC的下方，求使△BCP的面积为最大整数时点P的坐标.【变式2】（2021九上·遂宁期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，且点D（1）求抛物线及直线l的函数关系式；（2）点F为抛物线顶点，在抛物线的对称轴上是否存点G，使ΔAFG为等腰三角形，若存在，求出点G的坐标；（3）若点Q是y轴上一点，且∠ADQ=45∘，请直接写出点【变式3】（2022九上·温州月考）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为抛物线第一象限上的动点，点F为y轴上的动点，连结PA，PF，AF．（1）求该抛物线所对应的函数表达式；（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最大值；（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．考点5：特殊四边形问题典例5：（2022九下·重庆开学考）如图，已知抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（-2，0），直线BC的解析式为y=12（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR.求△PQR面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移25个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由.【变式1】（2022九上·浦江期中）如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式2】21．（2022九上·海曙期中）如图，拋物线y=−x2+bx+c交y轴于点A(0，2)，交x轴于点B(4，0)（1）求抛物线的解析式；（2）连接AN和BN，当△ABN的面积最大时，求出点D的坐标及△ABN的最大面积；（3）在平面内是否存在一点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以AM为边的四边形是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【变式3】（2022九上·义乌月考）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1），且抛物线的对称轴与x轴的交点为Q．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，QA，QB，求四边形PAQB面积的最大值及此时P的坐标；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．考点6：相似三角形问题典例6：（2022九上·镇海区开学考）如图，抛物线经过点A(4，0)、B(1，（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．【变式1】（2022九下·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(ac≠0)与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.若线段OA、OB、OC的长满足OC（1）求抛物线的解析式；（2）若P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D.①求PD的最大值；②连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标.【变式2】（2022九上·金东期末）已知抛物线y=1（1）当△ABC为直角三角形时，求△ABC的面积.（2）如图，当AP∥BC时，过点P作PQ⊥x轴于点Q，求BQ的长；（3）当以点A，B，P为顶点的三角形和△ABC相似时（不包括两个三角形全等），求m的值.【变式3】（2022九下·宁波月考）如图，已知抛物线y=-x2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C，图象的对称轴为直线x=-1．连结AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点D的横坐标为m．（1）求AB的长度；（2）连结AE、CE，当△ACE的面积最大时，求点D的坐标：（3）直接写出m为何值时，△ADF与△CDE相似．考点7：解析几何问题（韦达定理）典例7：（2022九上·杭州开学考）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0.（1）若二次函数的图象经过（1，4），求二次函数表达式；（2）若该二次函数图象开口向上，当﹣1≤x≤2时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标；（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围.【变式1】（2022九上·福建竞赛）已知开口向上的抛物线y=ax（1）求ca（2）当ca取最大值时，设直线y=314【变式2】（2022九上·桐庐月考）已知二次函数y＝ax2+bx+b﹣a（a≠0）．（1）若a＝b时，求二次