中考数学二轮复习考点提分特训专题09 三点共线问题（解析版）

专题09三点共线问题一、【知识回顾】【三点共线模型】①函数模型：构建平面直角坐标系，求出三个点坐标，其中两个点构建一次函数模型，判断第三个点是否在函数图像上，满足则共线②平角模型如图，要证明A、B、C三点共线，可以选择一条过B点的直线PBQ，并连接AB、CB，证明∠ABP与∠CBP互为邻补角，即∠ABP+∠CBP=180°③平行线模型如图，要证明A、B、C三点共线，先证明AB∥DE，在证明BC∥DE④垂线模型如图，要证明A、B、C三点共线，先证明AC⊥MN，在证明A⊥MN【三线共点模型】①证明两条线的交点，在第三条直线上②证明三条线中两条线的交点和另外两条线的交点是同一个二、【考点类型】考点1：三点共线典例1：（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0绕点B按顺时针方向旋转得到SKIPIF1<0，当点E恰好落在线段SKIPIF1<0上时，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平分线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点F，连接SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的长；(2)求证：C、E、F三点共线．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)见解析【分析】（1）将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0按顺时针方向旋转得到SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而可求SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0即可得答案；（2）连接SKIPIF1<0，先证SKIPIF1<0，再用SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，从而证明SKIPIF1<0即可．【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0按顺时针方向旋转得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0；（2）连接SKIPIF1<0，如图：由（1）知：SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线．【点睛】本题考查直角三角形性质及应用，涉及勾股定理、旋转变换、等腰三角形性质等知识，解题的关键是掌握定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【变式1】（2022春·福建泉州·九年级校考阶段练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转一定的角度SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对应点分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．(1)如图SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0恰好在SKIPIF1<0上时，求SKIPIF1<0的大小；(2)如图SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，判断四边形SKIPIF1<0的形状，并证明你的结论．(3)如图SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0求证：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线．SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)四边形SKIPIF1<0是平行四边形，详见解析(3)①详见解析；②4【分析】（1）由旋转的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由等腰三角形的性质可求SKIPIF1<0，即可求解；（2）由旋转的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由“SKIPIF1<0”可证SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即可求解；（3）SKIPIF1<0通过证明点SKIPIF1<0、点SKIPIF1<0、点SKIPIF1<0、点SKIPIF1<0四点共圆，点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0四点共圆，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得结论；SKIPIF1<0由直角三角形的性质可求SKIPIF1<0，由圆中直径最大可求解．【详解】（1）解：SKIPIF1<0将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转一定的角度SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）解：四边形SKIPIF1<0是平行四边形，理由如下：SKIPIF1<0点SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是平行四边形；（3）SKIPIF1<0证明：如图SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转一定的角度SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0、点SKIPIF1<0、点SKIPIF1<0、点SKIPIF1<0四点共圆，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0四点共圆，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0三点共线；SKIPIF1<0解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0、点SKIPIF1<0、点SKIPIF1<0、点SKIPIF1<0四点共圆，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直径，SKIPIF1<0最大值为SKIPIF1<0．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，圆的有关知识，平行四边形的判定，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．【变式2】（2021春·福建厦门·九年级校考阶段练习）抛物线C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3的顶点为A，抛物线C2：y＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1的顶点为B，其中m≠﹣2，抛物线C1与C2相交于点P．(1)当m＝1时，求抛物线C1的顶点坐标；(2)已知点C（﹣2，1），求证：点A，B，C三点共线；(3)设点P的纵坐标为q，求q的取值范围．【答案】(1)抛物线C1的顶点坐标为（1，4）(2)见解析(3)SKIPIF1<0【分析】（1）将m＝1代入抛物线C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3，先按照x＝﹣SKIPIF1<0求得抛物线C1的顶点横坐标，再将横坐标代入解析式求得纵坐标即可；（2）先得出A（m，m+3），B（﹣m﹣4，﹣m﹣1），再用待定系数法求得直线AB的解析式，然后将点C的横坐标代入直线AB的解析式，计算得出y值等于点C的纵坐标即可证得结论；（3）联立SKIPIF1<0，求得方程组的解，从而可用含m的式子表示出点P的坐标，将点P的纵坐标配方，由二次函数的性质可得答案．（1）解：当m＝1时，抛物线C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3可化为：y＝﹣x2+2x+3，∴其顶点横坐标为：x＝﹣SKIPIF1<0＝1，将x＝1代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝﹣1+2+3＝4，∴当m＝1时，抛物线C1的顶点坐标为（1，4）；（2）证明：∵抛物线C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3＝﹣（x﹣m）2+m+3，∴A（m，m+3）；∵抛物线C2：y＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1的顶点为B，∴B（﹣m﹣4，﹣m﹣1），设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（m，m+3），B（﹣m﹣4，﹣m﹣1）代入，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直线AB的解析式为y＝x+3，当x＝﹣2时，y＝x+3＝﹣2+3＝1，∴点C（﹣2，1）在直线AB上，∴点A，B，C三点共线；（3）解：联立SKIPIF1<0，把①代入②，得：﹣x2+2mx﹣m2+m+3＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1，解得x＝﹣SKIPIF1<0，把x＝﹣SKIPIF1<0代入①，得：y＝﹣SKIPIF1<0+2m×（﹣SKIPIF1<0）﹣m2+m+3＝﹣m2﹣4m﹣SKIPIF1<0，∴方程组的解为：SKIPIF1<0，∴点P的坐标为（﹣SKIPIF1<0，﹣m2﹣4m﹣SKIPIF1<0），∴点P的纵坐标q＝﹣m2﹣4m﹣SKIPIF1<0＝﹣（m+2）2+SKIPIF1<0，∵m≠﹣2，-1＜0，∴q的取值范围是q＜SKIPIF1<0．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了抛物线的顶点坐标的求法、待定系数法求函数的解析式、三点共线的证明及二次函数的性质等知识点，熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．【变式3】（2022秋·福建福州·九年级统考期末）如图，已知矩形ABCD中，SKIPIF1<0于点E，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求CE的长；(2)设点C关于AD的对称点为F，求证：B，E，F三点共线．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)见解析【分析】（1）根据矩形的性质以及等角的余角相等可得SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，列出比例式代入数值，即可求得SKIPIF1<0；（2）根据题意点C关于AD的对称点为F，由（1）可得SKIPIF1<0，根据对称可得C，D，F三点共线，进而根据矩形的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即可证明SKIPIF1<0，即B，E，F三点共线.(1)∵四边形ABCD是矩形，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.(2)由（1）得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.∵点C与点F关于AD对称，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，∴C，D，F三点共线．SKIPIF1<0．∵四边形ABCD是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴B，E，F三点共线.【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．考点2：三线共点典例2：（2021·福建·统考中考真题）如图，已知线段SKIPIF1<0，垂足为a．（1）求作四边形SKIPIF1<0，使得点B，D分别在射线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设P，Q分别为（1）中四边形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0的中点，求证：直线SKIPIF1<0相交于同一点．【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据SKIPIF1<0，点B在射线SKIPIF1<0上，过点A作SKIPIF1<0；根据等边三角形性质，得SKIPIF1<0，分别过点A、B，SKIPIF1<0为半径画圆弧，交点即为点C；再根据等边三角形的性质作CD，即可得到答案；（2）设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点S、直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，根据平行线和相似三角形的性质，得SKIPIF1<0，从而得SKIPIF1<0，即可完成证明．【详解】（1）作图如下：四边形SKIPIF1<0是所求作的四边形；（2）设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点S，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0．∵P，Q分别为SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴点S与SKIPIF1<0重合，即三条直线SKIPIF1<0相交于同一点．【点睛】本题考查了尺规作图、等边三角形、直角三角形、平行线、相似三角形等基础知识，解题的关键是熟练掌握推理能力、空间观念、化归与转化思想，从而完成求解．【变式1】（2020·福建·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0外一点．（1）求作四边形SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点分别为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0三点在同一条直线上．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【分析】（1）按要求进行尺规作图即可；(2)通过证明角度之间的大小关系，得到SKIPIF1<0，即可说明SKIPIF1<0三点在同一条直线上．【详解】解：（1）则四边形SKIPIF1<0就是所求作的四边形．（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0三点在同一条直线上．【点睛】本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、相似三角形的性质与判定等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观，考查化归与转化思想．巩固训练、单选题1．（2023春·八年级课时练习）如图，正方形ABCD中，AB＝4，延长DC到点F（0＜CF＜4），在线段CB上截取点P，使得CP＝CF，连接BF、DP，再将△DCP沿直线DP折叠得到△DEP．下列结论：①若延长DP，则DP⊥FB；②若连接CE，则SKIPIF1<0；③连接PF，当E、P、F三点共线时，CF＝4SKIPIF1<0﹣4；④连接AE、AF、EF，若△AEF是等腰三角形，则CF＝4SKIPIF1<0﹣4；其中正确有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】证明△DCP≌△BCF，利用全等三角形的性质与三角形的内角和定理可判断①，证明DP⊥EC，结合BF⊥DP，可判断②，当E，P，F共线时，求解∠DPC＝∠DPE＝SKIPIF1<0．在CD上取一点J，使得CJ＝CP，则∠CJP＝∠CPJ＝SKIPIF1<0，DJ＝JP，设CJ＝CP＝x，则DJ＝JP＝SKIPIF1<0x，可得SKIPIF1<0x+x＝4，解方程可判断③，连接CE，BD．由③可知，当CF＝4SKIPIF1<0﹣4时，∠CDP＝∠EDP＝SKIPIF1<0，证明点E在DB上，EA＝EC，可得∠ECF＞∠EFC，EF＞EC，可判断④，从而可得答案．【详解】解：①如图1中，延长DP交BF于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCP＝∠BCF＝90°，在△DCP和△BCF中，SKIPIF1<0，∴△DCP≌△BCF（SAS），∴∠CDP＝∠CBF，∵∠CPD＝∠BPH，∴∠DCP＝∠BHP＝90°，∴DP⊥BF，故①正确．②∵C，E关于DP对称，∴DP⊥EC，∵BF⊥DP，∴SKIPIF1<0，故②正确．③如图2中，当E，P，F共线时，∠DPC＝∠DPE＝SKIPIF1<0．在CD上取一点J，使得CJ＝CP，则∠CJP＝∠CPJ＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴∠JDP＝∠JPD＝SKIPIF1<0，∴DJ＝JP，设CJ＝CP＝x，则DJ＝JP＝SKIPIF1<0x，∴SKIPIF1<0x+x＝4，∴x＝4SKIPIF1<0﹣4，∴CF＝4SKIPIF1<0﹣4，故③错误，④如图3中，连接CE，BD．由③可知，当CF＝4SKIPIF1<0﹣4时，∠CDP＝∠EDP＝SKIPIF1<0，∴∠CDE＝SKIPIF1<0，∴点E在DB上，∵A，C关于BD对称，∴EA＝EC，∵∠ECF＞∠EFC，∴EF＞EC，∴EF＞EA，∴此时△AEF不是等腰三角形，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理的应用，二次根式的除法运算，轴对称的性质，熟练的应用以上知识解题是关键．2．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在长方形ABCD中，ADSKIPIF1<0BC，ABSKIPIF1<0CD，E在AD上．AD＝m，AE＝n（m＞n＞0）．将长方形沿着BE折叠，A落在A′处，A'E交BC于点G，再将∠A′ED对折，点D落在直线A′E上的D′处，C落在C′处，折痕EF，F在BC上，若D、F、D′三点共线，则BF＝（）A．m+SKIPIF1<0n B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．m﹣n【答案】D【分析】连接DD′，证明∠EFD是直角，然后证明△BEF和△EFE全等即可得出结论．【详解】解：如图，连接DD′，∵D、F、D′三点共线，四边形EFC′D′是由四边形EFCD翻折得到，∴△EFD≌△EFD′，∠DEF＝∠D′EF，∴∠EFD＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∵∠AEB＝∠NEB，∴∠BEF＝90°，在△BEF和△DFE中，SKIPIF1<0，∴△BEF≌△DFE（ASA），∴EF＝ED，∵AD＝m，AE＝n，∴EF＝ED＝m﹣n．故选：D．【点睛】本题结合矩形考查了折叠变换，熟知折叠的性质并灵活运用是解题的关键，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期末）如图，⊙O的半径为2SKIPIF1<0，PA，PB，CD分别切⊙O于点A，B，E，CD分别交PA，PB于点C，D，且P，E，O三点共线．若∠P＝60°，则CD的长为（）A．4 B．2SKIPIF1<0 C．3SKIPIF1<0 D．6【答案】A【分析】SKIPIF1<0，先证明SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，利用勾股定理求出SKIPIF1<0，即可求解．【详解】解：连接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0PA，PB，分别切⊙O于点A，B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，如下图根据等腰三角形的性质，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：A．【点睛】本题考查了圆的切线，三角形全等、等腰三角形、勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，掌握切线的性质来求解．4．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转到Rt△A’B’C．当A’、B’、A三点共线时，AA’=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据直角三角形的性质，可得BC的长，根据旋转的性质，可得A′B′的长，B′C的长，∠A′、∠A′B′C，根据邻补角的定义，可得∠AB′C的度数，根据等腰三角形的判定，可得AB′，根据线段的和差，可得答案．【详解】解：由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6，得∠BAC=30°，BC=3．由旋转的性质，得A′B′=AB=6，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，AC=A′C．由等腰三角形的性质，得∠CAB′=∠A′=30°．由邻补角的定义，得∠AB′C=180°-∠A′B′C=120°．由三角形的内角和定理，得∠ACB′=180°-∠AB′C-∠B′AC=30°．∴∠B′AC=∠B′CA=30°，AB′=B′C=BC=3．A′A=A′B′+AB′=6+3=9，故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，利用了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，利用等腰三角形的判定得出AB′=B′C是解题关键．5．（2022秋·山东日照·八年级统考期中）如图，已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等边三角形，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0．以下五个结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0是等边三角形；⑤SKIPIF1<0．其中正确结论的有（

）个A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】根据等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质对各结论逐项分析即可判定．【详解】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形。∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°∴∠ACD=∠BCE在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，则①正确；②∵∠ACB=∠DCE=60°∴∠BCD=60°∴△DCE是等边三角形∴∠EDC=60°=∠BCD∴BC//DE∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，②正确；③∵∠DCP=60°=∠ECQ在△CDP和△CEQ中，∠ADC=∠BEC，CD=CE，∠DCP=∠ECQ∴△CDP≌△CEQ（ASA）∴CР=CQ∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴△PC2是等边三角形，③正确；④∠CPQ=∠CQP=60°∴∠QPC=∠BCA∴PQ//AE，④正确；⑤同④得△ACP≌△BCQ（ASA）∴AP=BQ，⑤正确．故答案为A．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．二、填空题6．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在正方形SKIPIF1<0中，点E在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点F，过F作SKIPIF1<0且使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0并延长，将SKIPIF1<0绕点C旋转到SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【分析】解：如图，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，求解SKIPIF1<0，求解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，求解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，再解直角三角形可得答案．【详解】解：如图，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0中点为F，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，∵正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由辅助线可得：四边形SKIPIF1<0为矩形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由旋转可得：SKIPIF1<0，∴设SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，矩形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，锐角三角函数的应用，本题难度很大，计算量大，对学生要求高，细心的计算是解本题的关键．7．（2023·全国·九年级专题练习）如图SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的平分线相交于H，过点H作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于E，交SKIPIF1<0于F，SKIPIF1<0于D，以下四个结论①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③点H到SKIPIF1<0各边的距离相等；④若B，H，D三点共线时，SKIPIF1<0一定为等腰三角形．其中正确结论的序号为_____．【答案】②③④【分析】①利用三角形的内角和定理和角平分线平分角，进行求解；②证明SKIPIF1<0为等腰三角形，即可得证；③利用角平分线的性质，即可得证；④证明SKIPIF1<0，即可得证．【详解】解，①∵SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的平分线相交于H，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故①错误；②∵SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的平分线相交于H，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故②正确；③过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的平分线相交于H，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴点H到△ABC各边的距离相等，故③正确；④若B，H，D三点共线时，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0一定为等腰三角形，故④正确．故答案为：②③④；【点睛】本题考查角平分线的性质，等腰三角形的判断和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线平分角，角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．8．（2022春·福建龙岩·八年级校联考期中）已知矩形ABCD中，AB=8，BC=10，将△ABE沿BE对折，点A的对应点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0C，当E、SKIPIF1<0、C恰好三点共线时，AE的值为____________【答案】4【分析】根据翻折的性质可得BA=BA′=CD=8，∠AEB=∠A′EB，然后根据四边形ABCD是矩形，利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：根据翻折的性质可知：BA=BA′=CD=8，∠AEB=∠A′EB，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠CEB=∠CBE，∴CE=CB=10，在Rt△DEC中，根据勾股定理得：SKIPIF1<0，∴AE=AD-DE=10-6=4，故答案为：4．【点睛】本题考查折叠的性质和矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解决问题的关键．9．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图，在SKIPIF1<0中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③A、C、E三点共线；④若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．其中正确的结论有____．（写出所有正确结论的序号）【答案】①③④【分析】根据平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质可判断①；结合图形可判断②；利用平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质，对顶角的性质可判断③；利用平行四边形的性质及三角形的面积公式可判断④．【详解】解：∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点，∴BE=DE，AD∥BC，AD=BC，∴∠MDE=∠NBE，∠DME=∠BNE，∴∆DME≅∆BNE，∴DM=BN，∴AM=CN，故①正确；由图可得：BM>AB≠AD=BC，故②错误；连接AE、CE，四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点，∴BE=DE，∴∆ADE≅∆CBE，∴AE=CE，∠AED=∠CEB，点A、E、C三点共线，故③正确；如图所示：过点D、E两点向BC作垂线分别为Q和P点，∵E是BD的中点，且点E为平行四边形对角线的交点，∴DQ=2EP，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意综合运用这些知识点是解题关键．10．（2022·福建·模拟预测）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0都在反比例函数SKIPIF1<0的图象上，且SKIPIF1<0．现给出以下说法：①若A，O，B三点共线，则SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，则A，O，B三点共线；③线段OA长度的最小值是SKIPIF1<0；④以A，O，B为顶点的三角形不可能是直角三角形．其中正确的是__________．（写出所有正确说法的序号）【答案】③【分析】根据反比例函数的图像性质及两点间的距离公式逐个分析求解即可．【详解】解：对于①：直线AO的解析式为SKIPIF1<0，当A，O，B三点共线时，点SKIPIF1<0在直线AO上，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，此时A、B两点重合，而已知前提是A，O，B三点共线，即A点与B点不重合，故①错误；对于②：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而A，O，B三点共线时，由①中可知SKIPIF1<0，∴由SKIPIF1<0推不出A，O，B三点共线，故②错误；对于③：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故③正确；对于④：当以SKIPIF1<0为直角三角形的直角顶点时：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴只需要满足：SKIPIF1<0，此时△ABO必定是以A为直角的直角三角形，故④错误；故答案为：③．【点睛】本题考查了反比例函数的图像及性质、两点之间距离公式及完全平方式的变形，熟练掌握图形的性质，计算过程中细心即可．三、解答题11．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)试说明SKIPIF1<0与SKIPIF1<0满足什么等量关系时，点D、点C、点E三点共线．(2)连接SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于F点，若点F恰好是线段SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)见解析【分析】（1）由题意易证SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由同角的余角可知SKIPIF1<0，由三角形的内角和可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，即可证明结论；（2）如图，作辅助线，构建全等三角形，证明SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再证明SKIPIF1<0，可得结论．【详解】（1）当SKIPIF1<0时，点D、点C、点E三点共线．理由如下：在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0故当SKIPIF1<0时，点D、点C、点E三点共线；（2）证明：如图，过A作SKIPIF1<0于M，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，．∵F是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题，属于中考常考题型．12．（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，沿SKIPIF1<0以每秒5个单位长度的速度向终点SKIPIF1<0运动，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，将线段SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转90°得到线段SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．设点SKIPIF1<0的运动时间为SKIPIF1<0秒SKIPIF1<0．(1)线段SKIPIF1<0的长为__________，线段SKIPIF1<0的长为__________（用含SKIPIF1<0的代数式表示）；(2)当点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合时，求SKIPIF1<0的值；(3)当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线时，求SKIPIF1<0的值；(4)当SKIPIF1<0为钝角三角形时，直接写出SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)5t；3t(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）根据路程SKIPIF1<0速度SKIPIF1<0时间即可求出SKIPIF1<0；再由勾股定理求得SKIPIF1<0，然后证SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0，（2）当点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合时，则SKIPIF1<0即可；（3）当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线时，可得SKIPIF1<0，根据相似三角形对应边成比例，即可得出关于SKIPIF1<0的方程；（4）过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0左边时，SKIPIF1<0都为钝角，求出点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0的值，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上时，SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0外，则SKIPIF1<0为钝角，再利用相似求出点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时的SKIPIF1<0，从而解决问题．【详解】（1）解：SKIPIF1<0