中考数学二轮复习考点提分特训专题08 圆与几何综合问题（原卷版）

专题08圆与几何综合问题一、【知识回顾】【思维导图】二、【考点类型】考点1：切线的判定典例1：（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径的SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0边于点D、F．过点D作SKIPIF1<0于点E(1)求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；(2)若SKIPIF1<0半径为5，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【变式1】（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）如图，SKIPIF1<0是⊙O的直径，四边形SKIPIF1<0内接于⊙O，D是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点E．(1)求证：SKIPIF1<0是⊙O的切线；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【变式2】（2021·辽宁锦州·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．【变式3】（2023·四川泸州·统考一模）如图，已知SKIPIF1<0内接于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0的平分线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；(3)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的半径和SKIPIF1<0的长．考点2：与线段有关的问题典例2：（辽宁省大连市金普新区2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷）如图，以SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0为直径作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长度．【变式1】（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为切点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．求证：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【变式2】（2022·江西萍乡·校考模拟预测）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圆，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P是SKIPIF1<0上的一动点．(1)当SKIPIF1<0的度数为多少时，SKIPIF1<0；(2)若以动点P为切点的切线为SKIPIF1<0，那么当SKIPIF1<0的度数为多少时，切线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0一边平行？【变式3】（2023春·安徽合肥·九年级合肥寿春中学校考阶段练习）如图，在SKIPIF1<0中，直径为SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0的四个顶点分别在半径SKIPIF1<0、SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0上，并且SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长度；(2)若半径是5，求正方形SKIPIF1<0的边长．考点3：与角度有关的问题典例3：（2022·北京·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一条弦，SKIPIF1<0连接SKIPIF1<0(1)求证：SKIPIF1<0(2)连接SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，求证：直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的切线．【变式1】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为直径作⊙SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0边于点SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，作射线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0边于点SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的长．【变式2】（2021·北京·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圆，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）连接SKIPIF1<0并延长，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的半径为5，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的长．【变式3】（2020·上海·统考中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．（1）求证：∠BAC=2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．考点3：与三角函数有关的计算典例3：（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，SKIPIF1<0．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求AB的长．【变式1】（2020·广西柳州·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G．（1）求证：△ACD∽△CFD；（2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；（3）若sin∠CAD＝SKIPIF1<0，求tan∠CDA的值．【变式2】（2020·北京·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．（1）求证：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC=SKIPIF1<0，BD=8，求EF的长．【变式3】（2022·四川成都·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．(1)求证：HF是⊙O的切线；(2)若SKIPIF1<0，BM=1，求AF的长．巩固训练一、单选题1．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，SKIPIF1<0的直径SKIPIF1<0与弦SKIPIF1<0的延长线交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023春·九年级课时练习）已知SKIPIF1<0过正方形SKIPIF1<0顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0相切，若正方形边长为SKIPIF1<0，则圆的半径为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2017·山东青岛·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为()A．100° B．110° C．115° D．120°4．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．且DC＋DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于(

)A．8 B．12 C．16 D．185．（2018秋·湖北武汉·九年级统考期中）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于E，∠E＝30°，交AB于点D，连接AE，则S△ADC∶S△ADE的比值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．16．（2022春·九年级课时练习）如图，圆SKIPIF1<0的两条弦SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的延长线交于点SKIPIF1<0，下列结论中成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2020秋·广东汕尾·九年级校考阶段练习）如图，SKIPIF1<0内接于SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的半径为6，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022秋·北京西城·九年级北京四中校考期中）如图，SKIPIF1<0的半径是1，点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上一动点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切线，切点为A，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）．A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2020·江苏徐州·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的弦，点SKIPIF1<0在过点SKIPIF1<0的切线上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的度数等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．（2022秋·重庆江北·九年级重庆十八中校考期末）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，点D在SKIPIF1<0的延长线上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切于点E，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切于点B交SKIPIF1<0的延长线于点C，若SKIPIF1<0的半径为1，SKIPIF1<0的长是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，以AB为直径作半圆⊙O，C是半圆的中点，P是SKIPIF1<0上一点，AB＝SKIPIF1<0，PB＝1，则PC的长是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．（2022春·九年级课时练习）如图，经过A、C两点的⊙O与△ABC的边BC相切，与边AB交于点D，若∠ADC＝105°，BC＝CD＝3，则AD的值为（）A．3SKIPIF1<0 B．2SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．（2022秋·山东临沂·九年级校考期中）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（）A．55° B．45° C．35° D．2514．（2022春·九年级课时练习）如图，在⊙O中，点C在优弧SKIPIF1<0上，将弧SKIPIF1<0沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为SKIPIF1<0，AB＝4，则BC的长是（）A．2SKIPIF1<0 B．3SKIPIF1<0 C．4SKIPIF1<0 D．3SKIPIF1<015．（2018·四川宜宾·统考中考真题）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．34 D．1016．（2021秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是SKIPIF1<0上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（）A．1 B．SKIPIF1<0﹣2 C．2SKIPIF1<0﹣1 D．317．（2018·山东泰安·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0的半径为2，圆心SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的任意一点，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴分别交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，若点SKIPIF1<0、点SKIPIF1<0关于原点SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．3 B．4 C．6 D．818．（2022春·九年级课时练习）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上．下列结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③四边形SKIPIF1<0是正方形；④SKIPIF1<0．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个19．（2021秋·浙江杭州·九年级期末）如图，点D在半圆O上，半径OB＝SKIPIF1<0，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．820．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为SKIPIF1<0﹣2．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题21．（2022春·九年级课时练习）如图，SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0内接于SKIPIF1<0于点D，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0长度为_________．22．（2022春·九年级课时练习）如图，SKIPIF1<0的边BC与SKIPIF1<0相切于点B，AD为SKIPIF1<0的直径，若SKIPIF1<0，则CD的长为________.23．（2021秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E．F．且AB＝5，AC＝12，BC＝13，则⊙O的半径是_____．24．（2014·湖南岳阳·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D．下列结论正确的是__（写出所有正确结论的序号）①SKIPIF1<0；②若∠A=30°，则PC=SKIPIF1<0BC；③若∠CPA=30°，则PB=OB；④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．25．（2015秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，点P在双曲线y=SKIPIF1<0上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，E为y轴负半轴上的一点，PF⊥PE交x轴于点F，则OF－OE的值是___________．26．（2022春·全国·九年级专题练习）△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______．27．（2018·山东济南·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点，SKIPIF1<0的圆心分别在边AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为．28．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，P是矩形ABCD内一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则当线段DP最短时，SKIPIF1<0________．29．（2020秋·浙江金华·九年级校考期中）图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，已知AB⊥PQ，AP＝AQ＝20cm，AB＝120cm，点A在中轴线l上运动，点B在以O为圆心，OB长为半径的圆上运动，且OB＝35cm，（1）如图3，当点B按逆时针方向运动到B´时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝_____cm．（2）在点B的运动过程中，点P与点O之间的最短距离为_____cm．

30．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半径为5的⊙O经过点C，CE是圆O的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点（不含端点），则ODSKIPIF1<0CD的最小值为_____．三、解答题31．（2022春·九年级课时练习）如图，线段AB经过SKIPIF1<0的圆心O，交圆O于点A，C，SKIPIF1<0，AD为SKIPIF1<0的弦，连接BD，SKIPIF1<0，连接DO并延长交SKIPIF1<0于点E，连接BE交SKIPIF1<0于点M．(1)求证：直线BD是SKIPIF1<0的切线；(2)求线段BM的长．32．（2022·江苏无锡·统考一模）如图，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，DC=4，AD=2，AB=BC，以AB为直径的圆O交BC于点E．(1)求圆⊙的半径；(2)用无刻度的直尺在DC边上作点M，使射线BM平分∠ABC，并求SKIPIF1<0的值．33．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）如图，已知直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于A、B两点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，点C为SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，过C作SKIPIF1<0，垂足为D．(1)求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直径为20，求SKIPIF1<0的长度．34．（2023·全国·九年级专题练习）如图，圆内接四边形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E是边SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0(1)求证：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；(2)若SKIPIF1<0的半径为5，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．35．（2022·全国·九年级专题练习）如图，SKIPIF1<0是半圆SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0是半圆SKIPIF1<0的切线（即圆SKIPIF1<0的切线）．连接SKIPIF1<0，交半圆于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求证：直线SKIPIF1<0是半圆SKIPIF1<0的切线；(2)求证：点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点；(3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长．36．（2022·广西北海·统考一模）如图，在RtSKIPIF1<0ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CFSKIPIF1<0AB，交⊙O于点F，连接CE、EF．(1)当∠CFE＝45°时，求CD的长；(2)求证：∠BAC＝∠CEF；(3)是否存在点D，使得SKIPIF1<0CFE是以CF为底的等腰三角形，若存在，求出此时CD的长；若不存在，试说明理由．37．（2023秋·广东广州·九年级期末）如图，在RtSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0