中考数学二轮复习考点提分特训专题06 五大常考相似模型（解析版）

专题06五大常考相似模型一、【知识回顾】模型一：A字模型模型二：8字模型模型三：子母模型（射影定理）模型四：一线三等角模型模型五：手拉手模型（旋转模型）二、【考点类型】考点1：A字模型典例1：（2021秋·安徽安庆·九年级安庆市石化第一中学校考期中）图，SKIPIF1<0，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据平行线分线段成比例定理，由SKIPIF1<0，可证△CGH∽△CAB，由性质得出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可证△BGH∽△BDC，由性质得出SKIPIF1<0，将两个式子相加，即可求出GH的长．【详解】解：∵SKIPIF1<0，∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，∴△CGH∽△CAB，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，△BGH∽△BDC，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵AB=2，CD=3，∴SKIPIF1<0，解得：GH=SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．【变式1】（2022·广东深圳·深圳市华胜实验学校校考一模）如图，在⊙O中，SKIPIF1<0，CD⊥AB于点F，交⊙O于点D，AO的延长线交CD于点E．(1)求证：AE⊥BC；(2)求证：DF＝EF；(3)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)SKIPIF1<0【分析】（1）根据弦与圆周角的关系和等腰三角形的性质可证得结论；（2）根据圆周角定理和平行线的判定与性质证得SKIPIF1<0，再根据等腰三角形的判定与性质可证得结论；（3）证明SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，再证明SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，进而求解即可．【详解】（1）证明：连接SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交圆O点M，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0经过圆心O，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）证明：连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是圆的直径，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角、弧、弦的关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，正确作出辅助线是解答的关键．【变式2】（2023春·安徽六安·九年级校联考阶段练习）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的垂直平分线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为圆心，以SKIPIF1<0长为半径作⊙SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0是⊙SKIPIF1<0的切线；(2)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求⊙SKIPIF1<0的半径．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）连接SKIPIF1<0，由垂直平分线的性质可知，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而得SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，得证SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；（2）由（1）易证SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解出方程即可得SKIPIF1<0的半径．【详解】（1）证明：连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的垂直平分线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线；（2）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍去），经检验，SKIPIF1<0是原分式方程的解，故SKIPIF1<0的半径为3．【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定及性质，通过作辅助线，与圆心相连是解决问题的关键．【变式3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是SKIPIF1<0上一点，点E在SKIPIF1<0上，连接SKIPIF1<0交于点F，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝__________．【答案】2【分析】过D作SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0于H点，过D作SKIPIF1<0交BC于G点，先利用解直角三角形求出SKIPIF1<0的长，其次利用SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的长，得出SKIPIF1<0的长，最后利用SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0的长，最后得出答案．【详解】解：如图：过D作SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0于H点，过D作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于G点，∵在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，

又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案为：2．【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．考点2：8字模型典例2：（2021秋·重庆·九年级校联考期末）如图SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0．（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】（1）证明见解析；（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）根据相似三角形的判定解答即可；（2）因为SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，根据相似三角形的性质可知SKIPIF1<0，代入数据解答即可．【详解】证明：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．【变式1】39．（2021春·全国·九年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．（1）求证：DF•AB=BC•DG；（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由BC2=BF•BA，∠ABC=∠CBF可判断△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判断SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，然后利用相似三角形的性质即可得到结论；（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，易得AH∥DE，由点E为AC的中点得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定SKIPIF1<0，则根据相似三角形的性质得SKIPIF1<0，然后利用等线段代换即可．【详解】证明：（1）∵BC2=BF•BA，∴BC：BF=BA：BC，而∠ABC=∠CBF，∴SKIPIF1<0，∵DE∥BC，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴DF：BC=DG：BA，∴DF•AB=BC•DG；（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，∵DE∥BC，∴AH∥DE，∵点E为AC的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中位线，∴AH=2EG，∵AH∥DG，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即2DF•EG=AF•DG．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．【变式2】（2023·山西太原·山西实验中学校考一模）如图所示，在SKIPIF1<0中，两条弦SKIPIF1<0相交于点E，连接SKIPIF1<0，则下列说法中错误的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据圆周角定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，即可得到答案；【详解】解：由题意可得，∵弧SKIPIF1<0弧SKIPIF1<0，弧SKIPIF1<0弧SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选C．【点睛】本题考查圆周角定理及三角形相似的性质与判定，解题的关键是熟练掌握圆中同弧或等弧所对的圆周角圆心角相等．考点3：子母模型（射影定理）典例3：（2022·辽宁营口·一模）如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的切线，SKIPIF1<0为切点，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的切线，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0；（2）根据SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，得SKIPIF1<0，根据勾股定理得SKIPIF1<0，根据垂径定理得SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【详解】（1）证明：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的切线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）解：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理及相似三角形的判定和性质等，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．【变式1】（2022·陕西西安·西北大学附中校考模拟预测）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内接三角形，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切线交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）连接SKIPIF1<0，根据切线的性质可得SKIPIF1<0，再根据垂径定理可得结论；（2）由勾股定理求出SKIPIF1<0的长，证明SKIPIF1<0，由相似三角形的性质得出SKIPIF1<0，则可得出答案．【详解】（1）证明：连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形．证明SKIPIF1<0是解此题的关键．【变式2】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出SKIPIF1<0（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，由相似三角形的性质得SKIPIF1<0，即可求出CD的长．【详解】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．【变式3】（2021·江苏无锡·九年级专题练习）如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为矩形SKIPIF1<0对角线的交点，以SKIPIF1<0为圆心，1为半径作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的一个动点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】当SKIPIF1<0点移动到过点SKIPIF1<0的直线平行于SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0相切时，SKIPIF1<0面积的最大，由于SKIPIF1<0为切点，得出SKIPIF1<0垂直于切线，进而得出SKIPIF1<0，根据勾股定理先求得SKIPIF1<0的长，进而求得SKIPIF1<0的长，根据SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的长，从而求得SKIPIF1<0的长，最后根据三角形的面积公式即可求得．【详解】解：当SKIPIF1<0点移动到过点SKIPIF1<0的直线平行于SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0相切时，SKIPIF1<0面积的最大，如图，SKIPIF1<0过SKIPIF1<0的直线是SKIPIF1<0的切线，SKIPIF1<0垂直于切线，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大面积SKIPIF1<0，故选：C．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出SKIPIF1<0处于什么位置时面积最大．考点4：一线三等角模型（重点）典例4：（2020秋·宁夏银川·九年级校考阶段练习）将一副三角尺如图①摆放，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的度数；（2）如图②，将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针方向旋转角SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），此时的等腰直角三角尺记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，试判断SKIPIF1<0的值是否随着SKIPIF1<0的变化而变化？如果不变，请求出SKIPIF1<0的值；反之，请说明理由．【答案】（1）30°；（2）不变，SKIPIF1<0．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得SKIPIF1<0，根据等边对等角求出SKIPIF1<0，再求出SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0计算即可得解；（2）先证明SKIPIF1<0，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，再根据相似三角形对应边成比例可得SKIPIF1<0为定值，再根据特殊角三角函数值求解即可．【详解】解：（1）如图①，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）如图②，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的值不随着SKIPIF1<0的变化而变化，是定值SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并判断出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．【变式1】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求证△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的边长．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【分析】（1）由△ABC是等边三角形，证明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定义与三角形的内角和定理证明：∠BPA＝∠PDC，从而可得结论；（2）由SKIPIF1<0，先求解SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，再利用相似三角形的性质可得：SKIPIF1<0，列方程，解方程即可得到答案．【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，∴∠BPA＋∠DPC＝120°∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，∴∠DPC＋∠PDC＝120°，∴∠BPA＝∠PDC，∴△ABP∽△PCD；（2）∵2BP＝3CD，且BP＝1，∴SKIPIF1<0，∵△ABP∽△PCDSKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0经检验：SKIPIF1<0是原方程的解，所以三角形SKIPIF1<0的边长为：3．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键．【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，四边形SKIPIF1<0是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接SKIPIF1<0，过点P作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点E，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0的长为x．(1)SKIPIF1<0___________；当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的值；(2)试探究：SKIPIF1<0是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当SKIPIF1<0是等腰三角形时，请求出SKIPIF1<0的值．【答案】(1)4，SKIPIF1<0(2)是，SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0或4【分析】（1）作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，只要求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0即可解决问题；（2）结论：SKIPIF1<0的值为定值．证明方法类似（1）；（3）连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，代入数据求得SKIPIF1<0，进而即可求解．【详解】（1）解：作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案为4，SKIPIF1<0．（2）结论：SKIPIF1<0的值为定值．理由：由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，所以只能SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直平分线段SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．综上所述，SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0．【点睛】本题属于四边形综合题、考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．【变式3】（2020春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，点SKIPIF1<0是正SKIPIF1<0两边上的点，将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0翻折，点SKIPIF1<0的对应点恰好落在边SKIPIF1<0上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先证明SKIPIF1<0，再根据相似三角形的周长比等于相似比和折叠的性质进行转化即可求解．【详解】解：设AF=x，∵SKIPIF1<0为等边三角形，∴AC=AB=BC=4x,∠A=∠B=∠C=60°,CF=3x∵SKIPIF1<0翻折得到SKIPIF1<0，∴BD=FD,BE=FE,∠B=∠DFE=60°，∴∠AFD+∠DFE=∠C+∠FEC，∴∠AFD=∠CEF，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：D【点睛】本题难度较大，根据题意找到“一线三等角”相似模型，理解相似三角形的周长比等于相似比是解题关键．考点5：手拉手模型（重点）典例5：（2023春·湖北襄阳·九年级统考阶段练习）（1）问题探究：如图1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为等边三角形，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．（2）类比延伸：如图2，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．（3）拓展迁移：如图3，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若将线段SKIPIF1<0绕点D按逆时针方向旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）SKIPIF1<0【分析】（1）根据“边角边”证明SKIPIF1<0，问题得证；（2）根据含SKIPIF1<0角的直角三角形的性质等知识得到SKIPIF1<0，进而证明SKIPIF1<0，即可证明SKIPIF1<0；（3）连接SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0为等腰直角三角形得到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0绕点D按逆时针方向旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，进而证明SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0．【详解】解：（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为等边三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）如图③，连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等腰直角三角形．∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0绕点D按逆时针方向旋转SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为等腰直角三角形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，含SKIPIF1<0角的直角三角形的性质，旋转的性质等知识，理解特殊三角形的性质，根据题意证明三角形全等或相似是解题关键．【变式1】（2021秋·重庆渝北·九年级统考期末）如图，在等边三角形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点．将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，点SKIPIF1<0正好落在线段SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0处，使得SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长度为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝60°，由沿DE折叠C落在AB边上的点F上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设AD＝x，CD=DF＝SKIPIF1<0，由BE=2，BC＝SKIPIF1<0，可得CE＝SKIPIF1<0，可证SKIPIF1<0，利用性质SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解方程即可【详解】解：∵SKIPIF1<0是等边三角形，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝60°，∵沿DE折叠C落在AB边上的点F上，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝60°，CD=DF，CE＝EF，∵AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设SKIPIF1<0＝x，SKIPIF1<0＝DF＝SKIPIF1<0，∵BE=2，BC＝SKIPIF1<0，∴CE＝SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝60°，∴SKIPIF1<0＝120°，SKIPIF1<0＝120°，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，使等式有意义，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，故选择：A．【点睛】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．【变式2】（2020·江苏常州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，顶点A在反比例函y＝SKIPIF1<0（x＞0）上运动，此时顶点B也在反比例函数y＝SKIPIF1<0上运动，则m的值为(

)A．-9 B．-12 C．-15 D．-18【答案】A【分析】根据∠AOB=90°，∠ABO=30°，可求出OA与OB的比，设出点B的坐标，再根据相似三角形的性质，求出点A的坐标，可得ab的值，进而求出m的值．【详解】解：过A、B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，∴tan30°=SKIPIF1<0，∵∠BON+∠AOM=90°，∠BON+∠OBN=90°，∴∠OBN=∠AOM，∵∠BNO=∠AMO=90°，∴△BNO∽△OMA，∴SKIPIF1<0，∴设ON=a，BN=b，则AM=SKIPIF1<0，OM=SKIPIF1<0，∴B（-a，b），A（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），∵点A在反比例函数y＝SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0×SKIPIF1<0=3，∴ab=9，∵点B在反比例函数y＝SKIPIF1<0上，∴-a×b=m=-9，故选A.【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出反比例函数图象上点的坐标是解答前提的关键．巩固训练一、单选题1．（2021·山东临沂·三模）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：∵AE=2，EC=3，∴AC=AE+EC=5，∵DESKIPIF1<0BC，∴△ADE∽△ABC，∴SKIPIF1<0，故选：A．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0于点G，H，则下列结论中错误的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可．【详解】解：∵AB∥CD，∴SKIPIF1<0，∴A选项正确，不符合题目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵AB∥CD，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴B选项正确，不符合题目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∴C选项正确，不符合题目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴SKIPIF1<0，∵AB＞FA，∴SKIPIF1<0∴D选项不正确，符合题目要求．故选D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．3．（2013·海南·中考真题）直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．【答案】C【分析】分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先证明△BCE≌△ACF，再证明△CDG∽△CAF，进而即可求解．【详解】解：如图，分别过点A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC．∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF．在△BCE与△ACF中，∵∠EBC=∠ACF，BC=AC，∠BCE=∠CAF，∴△BCE≌△CAF（ASA）．∴CF=BE=3，CE=AF=4．在Rt△ACF中，∵AF=4，CF=3，∴SKIPIF1<0，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF．∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．在Rt△BCD中，∵SKIPIF1<0，BC=5，∴SKIPIF1<0．故选C．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质，列出比例式是关键．4.（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点D为线段SKIPIF1<0上一动点（不与点B，C重合），连接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交线段SKIPIF1<0于点E．下面是某学习小组根据题意得到的结论：甲同学：SKIPIF1<0；乙同学：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；丙同学：当SKIPIF1<0时，D为SKIPIF1<0的中点．则下列说法正确的是（

）A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确【答案】D【分析】在SKIPIF1<0中，依据三角形外角及已知可得SKIPIF1<0，结合等腰三角形易证SKIPIF1<0；结合SKIPIF1<0，易证SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，结合已知求得SKIPIF1<0，易证SKIPIF1<0，依据等腰三角形“三线合一”得SKIPIF1<0【详解】解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，甲同学正确；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，乙同学正确；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D为