中考数学二轮复习考点提分特训专题05 六大常考全等模型（解析版）

专题05六大常考全等模型一、【知识回顾】①模型一：平移模型②模型二：轴对称（翻折）模型③模型三：一线三等角模型（K字型）直角一线三等角④模型四：不共点旋转模型⑤模型五：共顶点旋转模型（手拉手模型）⑥模型六：半角模型（特殊的旋转模型）二、【考点类型】考点1：平移模型典例1：（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【答案】(1)①，SSS(2)见解析【分析】(1)根据SSS即可证明△ABC≌∆DEF，即可解决问题；(2)根据全等三角形的性质可得可得∠A=∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．【详解】（1）解：在△ABC和△DEF中，SKIPIF1<0，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．（注意：只需选一个条件，多选不得分）故答案为：①，SSS；（2）证明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质，和判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．【变式1】（2023秋·福建福州·八年级统考期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．【答案】见解析【分析】根据SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，然后证明SKIPIF1<0，即可得出结论．【详解】证明：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．考点2：轴对称（翻折）模型典例2：（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为(1)求证：△ABC≌(2)若AB=4，CD=3，求四边形【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）由角平分线的定义和垂直的定义求出∠CAB=∠CAD,∠B=∠D，结合已知条件，利用“AAS”即可求证；（2）由全等三角形的性质得AB=AD=4,BC=CD=3，根据三角形的面积公式求出S△ABC，S△ACD，再根据四边形【详解】（1）∵AC平分∠BAD，∴∠CAB=∠CAD,∠B=∠D，∵AC=AC，∴△ABC≅△ADC(AAS（2）∵△ABC≅△ADC，AB=4,CD=3，∴AB=AD=4,BC=CD=3，∵∠B=∠D=90°，∴S∴四边形ABCD的面积=S【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握它们是解题的关键．【变式1】（2022·广西百色·统考二模）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．(1)AB＝DC；(2)△ABC≌△DCB．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）证明△ABO≌△DCO（ASA），即可得到结论；（2）由△ABO≌△DCO，得到OB＝OC，又OA＝OD，得到BD＝AC，又由∠A＝∠D，即可证得结论．【详解】（1）证明：在△ABO与△DCO中，∠A=∠DOA=OD∴△ABO≌△DCO（ASA）∴AB＝DC；（2）证明：∵△ABO≌△DCO，∴OB＝OC，∵OA＝OD，∴OB＋OD＝OC＋OA，∴BD＝AC，在△ABC与△DCB中，AC=BD∠A=∠D∴△ABC≌△DCB（SAS）．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题的关键考点3：一线三等角模型（K字型）典例3：（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0的中点．将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0旋转，在旋转过程中，射线SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，射线SKIPIF1<0与射线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0．(1)如图1，当点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时，①求证：SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0；②线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间存在怎样的数量关系？请说明理由；(2)当SKIPIF1<0为等腰三角形时，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)①见解析，②BE²=BP·CQ(2)1或3【分析】（1）①推导角度关系可得∠CEQ=∠BPE，结合∠B=∠C即可得出结论；②由①中相似可得SKIPIF1<0，结合BE=CE即可得出结论；（2）Q点可能在线段CA上或者线段CA的延长线上，分两种情况讨论，结合（1）中的相似三角形即可得出结果．（1）解：①∵∠DEF=30°，∠B=30°，∴∠BED+∠CEQ=150°，∠BED+∠BPE=150°∴∠CEQ=∠BPE，∵∠B=∠C，∴△BPE∽△CEQ；②BE²=BP·CQ，理由如下∶∵△BPE∽△CEQ∴SKIPIF1<0∴BE·CE=BP·CQ∵点E为边BC的中点，∴BE=CE，∴BE²=BP·CQ；（2）解：①当点Q在线段AC上时，∵∠A=180°-∠B-∠C=120°，为钝角，∴△APQ为等腰三角形时有AP=AQ，∵∠B=∠C，∴AB=AC，∴BP=CQ，∴SKIPIF1<0②当点Q在线段CA的延长线上时，如图：连接PQ∵∠BAC=120°，∴∠BAQ=60°，当△APQ为等腰三角形时，有△APQ为等边三角形设AB=AC=2a，则BC=SKIPIF1<0a，BE=CE=SKIPIF1<0a，设AQ=AP=x，则CQ=2a+x，BP=2a-x，由（1）得∶BE²=BP·CQ∴(SKIPIF1<0a)²=(2a+x)(2a-x)，解得∶x=a，∴BP=a，CQ=3a，∴SKIPIF1<0综上SKIPIF1<0的值为1或3．【点睛】本题考查三角形相似综合问题，熟练掌握一线三等角的相似三角形模型是解题关键．【变式1】（2022秋·黑龙江绥化·八年级校考期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0经过点C，且SKIPIF1<0于D，SKIPIF1<0于E．(1)当直线SKIPIF1<0绕点C旋转到图1的位置时．①请说明SKIPIF1<0的理由；②请说明SKIPIF1<0的理由；(2)当直线SKIPIF1<0绕点C旋转到图2的位置时，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0具有怎样的等量关系?请写出等量关系，并予以证明．(3)当直线SKIPIF1<0绕点C旋转到图3的位置时，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等量关系：________．【答案】(1)①理由见解析；②理由见解析(2)SKIPIF1<0，证明见解析(3)SKIPIF1<0【分析】本题“一线三垂直”模型即可证明全等，根据全等三角形的性质即可分别在三个图形中证明SKIPIF1<0之间的关系．【详解】（1）解：①∵SKIPIF1<0于D，SKIPIF1<0于E，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，②∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，（2）结论：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，（3）结论：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查全等三角形的判断和性质，灵活运用“一线三垂直”模型是解题的关键．【变式2】（2022秋·河北邯郸·八年级校考期中）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点D在线段SKIPIF1<0上运动（D不与B、C重合），连接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交线段SKIPIF1<0于E．(1)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0_______SKIPIF1<0，SKIPIF1<0_______SKIPIF1<0，SKIPIF1<0_______SKIPIF1<0；点D从B向C运动时，SKIPIF1<0逐渐变_______（填“大”或“小”）；(2)当DC等于多少时，SKIPIF1<0，请说明理由；(3)在点D的运动过程中，SKIPIF1<0的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出SKIPIF1<0的度数，若不可以，请说明理由．【答案】(1)25，25，65，小(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，理由见解析；(3)当SKIPIF1<0的度数为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的形状是等腰三角形．【分析】（1）先求出SKIPIF1<0的度数，即可求出SKIPIF1<0的度数，再利用三角形的外角性质即可求出SKIPIF1<0的度数，根据点D从B向C运动时，SKIPIF1<0逐渐增大，而SKIPIF1<0不变化，SKIPIF1<0，即可得到答案；（2）根据全等三角形的判定条件求解即可；（3）先证明当SKIPIF1<0时等腰三角形，只存在SKIPIF1<0或SKIPIF1<0两种情况，然后分这两种情况讨论求解即可；【详解】（1）解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∵点D从B向C运动时，SKIPIF1<0逐渐增大，而SKIPIF1<0不变化，SKIPIF1<0，∴点D从B向C运动时，SKIPIF1<0逐渐变小，故答案为：25，25，65，小；（2）解：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，理由：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）解：当SKIPIF1<0的度数为110°或80°时，SKIPIF1<0的形状是等腰三角形，理由：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时等腰三角形，只存在SKIPIF1<0或SKIPIF1<0两种情况，当SKIPIF1<0时，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，综上所述，当SKIPIF1<0的度数为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的形状是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．【变式3】（2022秋·八年级课时练习）如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则点B的坐标为________．【答案】（4，1）【分析】如图，过点B作BD⊥x轴于D，根据点A、点C坐标可得OA、OC的长，根据同角的余角相等可得∠OAC=∠DCB，利用AAS可证明△OAC≌△DCB，根据全等三角形的性质可得BD=OC，CD=OA，即可求出OD的长，进而可得答案．【详解】如图，过点B作BD⊥x轴于D，∵A（0，3），C（1，0），∴OA=3，OC=1，∵∠ACB=90°，∴∠OCA+∠DCB=90°，∵∠OAC+∠OCA=90°，∴∠OAC=∠DCB，在△OAC和△DCB中，SKIPIF1<0，∴△OAC≌△DCB，∴BD=OC=1，CD=OA=3，∴OD=OC+CD=4，∴点B坐标为（4，1）．故答案为：（4，1）【点睛】本题考查坐标与图形及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．考点4：不共顶点旋转模型典例4：（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，点SKIPIF1<0在一条直线上，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长度．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）由平行线的性质可得SKIPIF1<0根据SKIPIF1<0证明全等即可；（2）由全等三角形的性质可得．【详解】（1）解：证明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）解：由(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质等，证明三角形全等是解题的关键．【变式1】（2023春·山东济南·九年级校联考期中）如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的对角线SKIPIF1<0上两点，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【答案】证明见解析【分析】借助平行四边形的性质，利用“SKIPIF1<0”证明SKIPIF1<0，由全等三角形的性质可得SKIPIF1<0，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明SKIPIF1<0．【详解】证明：∵四边形SKIPIF1<0是平行四边形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，证明SKIPIF1<0是解题关键．【变式2】（2022·福建泉州·校考三模）在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0．【答案】见解析【分析】依据平行四边形的性质，即可得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，判定SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0．【详解】在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．考点5：共顶点旋转模型（手拉手模型）典例5：（2022秋·八年级课时练习）在锐角三角形ABC中，AH是边BC的高，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中线；④∠EAM=∠ABC．其中正确的是_________．【答案】①②③④【分析】根据正方形的性质和SAS可证明△ABG≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判断②；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案．【详解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，即∠CAE＝∠BAG，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG＝CE，故①正确；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE＝∠AGB，∵∠AKG＝∠NKC，∴∠CNG＝∠CAG＝90°，∴BG⊥CE，故②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAE＝90°，∴∠EAP+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠EAP，即∠EAM＝∠ABC，故④正确；∵∠AHB=∠P=90°，AB=AE，∴△ABH≌△EAP（AAS），∴EP＝AH，同理可得GQ＝AH，∴EP＝GQ，∵在△EPM和△GQM中，SKIPIF1<0，∴△EPM≌△GQM（AAS），∴EM＝GM，∴AM是△AEG的中线，故③正确．综上所述，①②③④结论都正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．【变式1】（2022秋·八年级课时练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，则有S1S2（填“＞、＝、＜”）【答案】（1）DE；（2）见解析；（3）=【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H，EQ⊥FG于点Q，进而可得∠BAF=∠ADH，然后可证△ABF≌△DAH，则有AF=DH，进而可得DH=EQ，通过证明△DHG≌△EQG可求解问题；（3）过点D作DO⊥AF交AF于O，过点E作EN⊥OD交OD延长线于N，过点C作CM⊥OD交OD延长线于M，由题意易得∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE，然后可得∠ADO=∠DCM，则有△AOD≌△DMC，△FOD≌△DNE，进而可得OD=NE，通过证明△ENP≌△CMP及等积法可进行求解问题．【详解】解：（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H，EQ⊥FG于点Q，如图所示：∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴△ABF≌△DAH，∴AF=DH，同理可知AF=EQ，∴DH=EQ，∵DH⊥FG，EQ⊥FG，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴△DHG≌△EQG，∴DG=EG，即点G是DE的中点；（3）SKIPIF1<0，理由如下：如图所示，过点D作DO⊥AF交AF于O，过点E作EN⊥OD交OD延长线于N，过点C作CM⊥OD交OD延长线于M∵四边形ABCD与四边形DEGF都是正方形∴∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE∵DO⊥AF，CM⊥OD，∴∠AOD=∠CMD=90°，∠OAD+∠ODA=90°，∠CDM+∠DCM=90°，又∵∠ODA+∠CDM=90°，∴∠ADO=∠DCM，∴△AOD≌△DMC，∴SKIPIF1<0，OD=MC，同理可以证明△FOD≌△DNE，∴SKIPIF1<0，OD=NE，∴MC=NE，∵EN⊥OD，CM⊥OD，∠EPN=∠CMP，∴△ENP≌△CMP，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．【变式2】（2020·江苏徐州·统考中考真题）如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）求SKIPIF1<0的度数．【答案】（1）见解析（2）90°【分析】（1）根据题意证明△ACE≌△BCD即可求解；（2）根据三角形的内角和及全等三角形的性质即可得到SKIPIF1<0的度数．【详解】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴∠ACB=∠ECD=90°∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE即∠ACE=∠BCD又SKIPIF1<0．SKIPIF1<0∴△ACE≌△BCD∴SKIPIF1<0（2）∵△ACE≌△BCD∴∠A=∠B设AE与BC交于O点,∴∠AOC=∠BOF∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°∴∠BFO=∠ACO=90°故SKIPIF1<0=180°-∠BFO=90°．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．【变式3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为邻边作SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0重合时（图1），易得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转到（图2）位置时，请直接写出线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的数量关系________；(2)若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转到（图3）位置时，试判断线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的数量关系，并证明你的结论；(3)若SKIPIF1<0为任意角度，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转一周（图4），当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线时，请直接写出SKIPIF1<0的长度．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，证明见解析(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）根据旋转全等模型可证，SKIPIF1<0（SAS），结合已知平行四边形性质可证：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0是等边三角形即可解题；（2）同理第一问，根据SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0是等腰直角三角形即可解题；（3）根据第一问可证：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线时，当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线，继而解三角形，求出BD长，由相似三角形性质求出EF，由分两种情况，分别画图求解即可．【详解】（1）解：如图2，连接EC，∵SKIPIF1<0，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∴∠BAD=∠CAE，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（SAS），∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵四边形BDFC是平行四边形，∴BC∥DF，BD=CF∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等边三角形，∴EF=CF；（2）解：同理（1）可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0；（3）解：分两种情况进行讨论：如图3-1：AF=AE+EF，同理1可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）得：SKIPIF1<0（SAS），∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线，如图4-1，过A点作AH⊥DE，∵AD=AE，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，如图4-2，AF=EF-AE，同理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，综上所述：AF长为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题属于几何压轴题，综合性比较强，体会其中蕴含的从特殊到一般的思想是解题的关键．解题关键是关键旋转全等模型证明SKIPIF1<0是等腰三角形，SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，再结合解三角形求线段长．考点6：半角模型典例6：（2019·全国·九年级专题练习）如图所示，SKIPIF1<0是边长为1的等边三角形，SKIPIF1<0是顶角SKIPIF1<0的等腰三角形，以SKIPIF1<0为顶点作一个SKIPIF1<0的角，角的两边交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0周长.【答案】△AMN的周长为2．【分析】根据已知条件得△CDE≌△BDM，再利用DE=DM，SKIPIF1<0证明△DMN≌△DEN，得到对应边相等即可解题.【详解】如图，延长NC到E，使CE=BM，连接DE，

∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∵在△DMN和△DEN中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE=CE+CN=BM+CN，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN的周长为2．【点睛】本题考查等边三角形的性质与应用,截长补短的数学方法,中等难度,作辅助线证明全等是解题关键.【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）如图①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0；

（2）如图②，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0周长最小时，求SKIPIF1<0的度数；（3）如图③，若四边形SKIPIF1<0为正方形，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别在边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，请求出线段SKIPIF1<0的长度．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0．【分析】（1）延长SKIPIF1<0到点G,使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，首先证明SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后利用角度之间的关系得出SKIPIF1<0，进而可证明SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则结论可证；（2）分别作点A关于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，根据轴对称的性质有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在同一条直线上时，SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0周长的最小值，然后利用SKIPIF1<0求解即可；（3）旋转SKIPIF1<0至SKIPIF1<0的位置，首先证明SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，最后利用SKIPIF1<0求解即可．【详解】（1）证明：如解图①，延长SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）解：如解图，分别作点A关于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．由对称的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0此时SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0当点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在同一条直线上时，SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0周长的最小值．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）解：如解图，旋转SKIPIF1<0至SKIPIF1<0的位置，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．【变式2】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____．【答案】2SKIPIF1<0+2【分析】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，由旋转得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根据SAS推出△AEM≌△ANM，根据全等得出MN＝ME，求出MN＝CN＋BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周长＝BD＋DC，代入求出答案即可．【详解】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：

由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，∵∠BAC＝∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABD+∠ABE＝180°，∴E，B，M三点共线，∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，在△AEM和△ANM中，SKIPIF1<0，

∴△AEM≌△ANM（SAS），∴MN＝ME，∴MN＝CN+BM，∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BC＝4，∴CD＝SKIPIF1<0BC＝2，BD＝SKIPIF1<0＝2SKIPIF1<0，∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝2SKIPIF1<0+2，故答案为：2SKIPIF1<0+2．【点睛】本题考查直角三角形、全等三角形的性质和判定、旋转的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．【变式3】．（2020·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，四边形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长为_______．【答案】SKIPIF1<0【分析】如下图，先构造并证明SKIPIF1<0，从而得出SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0可推导出SKIPIF1<0，最后在Rt△ACM中求解．【详解】解析：连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了构造并证明全等三角形、勾股定理的运用，解题关键是利用SKIPIF1<0进行角度转化，得到边SKIPIF1<0．巩固训练一、单选题1．（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）如图SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列条件中不能判定SKIPIF1<0的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据全等三角形的判定定理即可一判定．【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，根据ASA可判定SKIPIF1<0，故该选项不符合题意；当SKIPIF1<0时，根据SAS可判定SKIPIF1<0，故该选项不符合题意；当SKIPIF1<0时，不能判定SKIPIF1<0，故该选项符合题意；当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，根据AAS可判定SKIPIF1<0，故该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是解决本题的关键．2．（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．若SKIPIF1<0cm，SKIPIF1<0cm，SKIPIF1<0cm，则图中阴影部分面积为（

）A．47cm2 B．48cm2 C．49cm2 D．50cm2【答案】B【分析】先根据平移的性质得到SKIPIF1<0cm，SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0cm，求出SKIPIF1<0，然后根据梯形的面积公式计算即可．【详解】解：SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0方向平移得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0cm，SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（cm），∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（cm2），故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行SKIPIF1<0或共线SKIPIF1<0且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．3．（2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）如图，已知SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0，再添加一个条件（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用全等三角形的判定方法，即可得出答案．【详解】解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴若添加条件SKIPIF1<0，无法判定SKIPIF1<0；若添加SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若添加SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若添加SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；故选：A．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法；判定三角形全等的一般方法有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．4．（2023春·广东深圳·七年级校考阶段练习）如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列条件中不能证明SKIPIF1<0的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，根据平行线的性质得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【详解】解：延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，符合全等三角形的判定定理SKIPIF1<0，能推出SKIPIF1<0，故本选项不符合题意；B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不符合全等三角形的判定定理，不能推出SKIPIF1<0，故本选项符合题意；C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，符合全等三角形的判定定理SKIPIF1<0，能推出SKIPIF1<0，故本选项不符合题意；D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0符合全等三角形的判定定理SKIPIF1<0，能推出SKIPIF1<0，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两直角三角形全等还有SKIPIF1<0等．5．（2023春·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考开学考试）如图，四边形SKIPIF1<0是菱形，M，N分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两边上的点，不能保证SKIPIF1<0和SKIPIF1<0一定全等的条件是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先根据菱形的性质可得SKIPIF1<0，再根据三角形全等的判定定理即可得．【详解】解：SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0．A、SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0定理可以判定SKIPIF1<0，则此项不符合题意；B、SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0定理可以判定SKIPIF1<0，则此项不符合题意；C、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0定理可以判定SKIPIF1<0，则此项不符合题意；D、SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0定理不能判定SKIPIF1<0，则此项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定，熟练掌握菱形的性质是解题关键．6．（2023秋·湖北