数值分析第五版4-6章

数值分析第5版李庆扬王能超易大义编清华大学出版社2024/3/221第4章数值微分与数值积分第4章数值积分与数值微分数值积分概念牛顿-柯特斯公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2024/3/222第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分4.1数值积分概论

在实际问题及科学计算中经常需要计算定积分。如计算河道的过流断面面积，用有限单元法求解偏微分方程组等。按牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式1基本思想似乎只要求出的原函数F就可计算出定积分。的确若原函数便于计算又较为简单，上式就提供了计算定积分的一种快捷方法。但有时原函数会过于复杂，如2024/3/223第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分

或是在初等函数范围内不存在，如定积分的几何意义是曲边梯形的面积，计算的难点在于有一条边是曲的。由积分中值定理

都会给Newton-Leibniz公式的使用带来困难；另外有些问题中的函数是以数据表的形式给出的，此时Newton-Leibniz公式也不能直接运用。因此有必要讨论定积分的数值计算问题，利用数值求积方法算出满足一定精度要求的定积分的近似值。

困难在于一般难以确定，从而难以准确地计算出。但可以对平均高度提供一种算法，相应地建立一种数值求积公式。2024/3/224第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2024/3/225第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分

数值求积方法是求定积分的近似方法。为保证求积公式的精度，当然希望它对尽可能多的被积函数是准确成立的。可以验证中点公式与梯形公式对所有次数不超过一次的多项式是准确成立的。但对二次多项式就不准确成立；同样Simpson公式对所有次数不超过三次的多项式是准确成立的，但对四次多项式就不准确成立。对某个求积公式而言能准确成立的多项式次数越高，就意味着该求积公式越精确。这就引出了代数精度的概念。2代数精度2024/3/226第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分定义4.1若求积公式对所有次数不超过m次的多项式都能准确成立，而对m+1次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。

上述定义可等价地叙述为若求积公式对都能准确成立，而对不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。

可以验证，中点公式与梯形公式均具有一次代数度，而Simpson公式具有三次代数精度。2024/3/227第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分

若求积节点及求积系数都待定，取m=2n+1，则*式为具有2n+2个方程，2n+2个未知量的非线性方程组，我们将在第5节中讨论这一问题。

若给定求积节点，如以等分积分区间的等距点作为节点，令m=n，则可求解线性方程组*式，得求积系数，代入求积公式即可。不过这样做需要解n+1元线性方程组，极为不便。为避免解线性方程组，可用f在节点xi上的函数值作插值多项式，以插值多项式近似代替f作定积分，可得相同的结果。相应的求积公式就是插值型求积公式。2024/3/228第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分3插值型求积公式2024/3/229第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2024/3/2210第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分4.2Newton-Cotes公式1Cotes系数2024/3/2211第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2024/3/2212第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2024/3/2213第4章数值微分与数值积分2Newton-Cotes公式的余项概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2024/3/2214第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2024/3/2215第4章数值微分与数值积分3Newton-Cotes公式的收敛性及稳定性概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2024/3/2216第4章数值微分与数值积分当n≥8时，Cotes系数出现负值，求积系数也相应出现负值，可能会引起不稳定，故n≥8的N-C公式是不用的

。概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2024/3/2217第4章数值微分与数值积分4偶数阶求积公式的代数精度由定理1知n阶的Newton-Cotes公式至少具有n次代数精度，那么是否存在超过n次的情形呢？

先来看n=1的情形，此时为梯形公式，它正好具有一次代数精度。再来看n=2的情形，此时为Simpson公式，作为二阶Newton-Cotes公式，它至少具有二次代数精度，那么是否具有三次代数精度呢？概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2024/3/2218第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分定理3当n为偶数时，Newton-Cotes公式至少具有n+1次代数精度。定理3表明选用偶数阶的Newton-Cotes公式是有益的，如n=2的Simpson公式及n=4的Cotes公式为常用的Newton-Cotes公式。2024/3/2219第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2024/3/2220第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分

尽管例1表明对于低阶Newton-Cotes公式，随着阶数的增加，准确性越来越好。但由于高阶Newton-Cotes公式是不稳定的，所以无法通过不断提高阶数的方法来提高求积精度。为了进一步提高精度，通常是采用复合求积的方法。它的思想与第2章中分段插值是类似的。先将积分区间分为若干个子区间，再在每个子区间上用低阶求积公式，利用积分关于区间的可加性，即可得相应的复合求积公式。

4.3复合求积公式2024/3/2221第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分1复合梯形公式2024/3/2222第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2024/3/2223第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2复合Simpson公式2024/3/2224第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分3复合Cotes公式2024/3/2225第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分

三种方法都需要调用九个节点上的函数值，它们的计算量基本相同，但结果的精度差别较大。与精确值比较，复合梯形公式结果只有两位有效数字，而复合Simpson公式与复合Cotes公式的结果分别有七位和六位有效数字。

2024/3/2226第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分4.4Romberg求积公式1梯形公式的步长逐次分半法

实际计算时，不断二分求积区间，由上式计算出一系列复合梯形公式的结果，直到满足精度要求为止。2024/3/2227第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分例3用梯形公式的步长逐次分半法计算积分，要求有八位有效数字。

用复合梯形公式计算积分要达到八位有效数字的精度要求，需要二分区间11次，即2048等分区间，共有2049个节点，计算过程中尽管利用了递推公式，但计算量仍然很大。

2024/3/2228第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2Romberg求积公式

由例3可见复合梯形公式序列的收敛速度较慢，下面讨论如何由收敛缓慢的序列加工成收敛迅速的序列。

2024/3/2229第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分表明将二分前后两个复合梯形公式的结果作适当的线性组合可得复合Simpson公式的结果。复合梯形公式与复合Simpson公式的误差分别是h2及h4阶的，这就将收敛速度慢的复合梯形公式序列加工成了收敛速度快的复合Simpson公式序列。2024/3/2230第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分

运用上述公式可将收敛速度缓慢的梯形值序列加速成收敛速度越来越快的Simpson值序列、Cotes值序列和Romberg值序列，这种方法称为Romberg算法，其加速过程如下表所示，其中i表示二分次数。

2024/3/2231第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分例4用Romberg算法加工表中的梯形值。解：仅取i等于0到4的梯形值，按Romberg公式计算结果见表。上表说明用二分4次(17个求积节点)精度只有1到3位有效数字的数据，经过三次加速得到了具有8位有效数字的结果，而在例3中要求达到这一精度需要二分11次，有2049个求积节点。可见Romberg算法的加速效果是极为显著的。2024/3/2232第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分3Richardson外推法

Romberg算法的加速过程还可以继续下去，其理论依据是复合梯形公式余项的展开定理。

2024/3/2233第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2024/3/2234第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分4.5Gauss求积公式1Gauss求积公式基本理论

Newton-Cotes公式用积分区间的等分点作为求积节点，待定的只有求积系数，方法简单，但同时也限制了精度。在求积节点数目不变的情况下，希望通过同时适当选择求积节点位置和求积系数，使求积公式具有更高的代数精度。

例5构造如下形式的求积公式2024/3/2235第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2024/3/2236第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分若事先固定xi为区间的等距节点，并使其代数精度尽可能地高，来确定求积系数Ai，这就是Newton-Cotes公式，其代数精度至少为n次。但若视它含有2n+2个待定系数xi，

Ai，适当选取这些系数可望达到2n+1次代数精度，这类求积公式称为高斯(Gauss)求积公式。更一般地，可以考虑带权函数的求积公式

一般地，考虑求积公式2024/3/2237第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2024/3/2238第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2024/3/2239第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2024/3/2240第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2Gauss-Legendre求积公式

Legendre多项式是区间[-1,1]上带权函数ρ=1的正交多项式，从而n+1次Legendre多项式的零点就是求积公式的Gauss点。一旦确定了Gauss点，则求积系数就归结为n+1元线性方程组的解。该求积公式称为高斯-勒让德(Gauss-Legendre)求积公式。2024/3/2241第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2024/3/2242第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2024/3/2243第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分2024/3/2244第4章数值微分与数值积分概论N-C公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公式数值微分