河南省开封市古庄中学2022年高二数学理联考试题含解析

河南省开封市古庄中学2022年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（

）

参考答案：B2.已知函数在区间(1,2)上是减函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】对函数求导，将问题转化成在恒成立，从而求出的取值范围．【详解】∵，∴．∵在区间上是减函数，∴在上恒成立，即上恒成立．∵，∵，∴．∴实数的取值范围为．故选A．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及一元二次不等式的解法，是高考中的热点问题，解题的关键是将函数在给定区间上是减函数转化为导函数小于等于零恒成立，属于基础题．3.如图,这是一个正六边形的序列,则第个图形的边数为（

）.

A.

5n-1

B.6n

C.5n+1

D.4n参考答案：C略4.数列{an}满足an=4an﹣1+3且a1=0，则此数列第4项是（）A．15 B．16 C．63 D．255参考答案：C【考点】梅涅劳斯定理；数列递推式．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】根据an=4an﹣1+3，把a1=0代入求出a2，进而求出a3，a4，即可确定出第4项．【解答】解：把a1=0代入得：a2=4a1+3=3，把a2=3代入得：a3=4a2+3=12+3=15，把a3=15代入得：a4=4a3+3=60+3=63，则此数列第4项是63，故选：C．【点评】此题考查了梅涅劳斯定理，数列的递推式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】根据初等函数图象可排除；利用导数来判断选项，可得结果.【详解】由函数图象可知：选项：；选项：在上单调递减，可排除；选项：，因为，所以，可知函数在上单调递增，则正确；选项：，当时，，此时函数单调递减，可排除.本题正确选项：【点睛】本题考查函数在区间内单调性的判断，涉及到初等函数的知识、利用导数来求解单调性的问题.6.若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2参考答案：C【考点】简单线性规划．

【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A（4，5）时，z最大，将m等价为斜率的倒数，数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得m=1，故选C．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．7.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且此人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.则等于（

）A.1.48 B.0.76 C.0.24 D.1参考答案：A【分析】先分析随机变量取值有1，3两种情况，再分别求得概率，列出分布列求期望.【详解】随机变量的取值有1，3两种情况，表示三个景点都游览了或都没有游览，所以，，所以随机变量的分布列为130.760.24

故选：A.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.已知4，4，4成等比数列，则点(x，y)在平面直角坐标系中的轨迹为（

）（A）圆的一部分（B）椭圆的一部分（C）双曲线的一部分（D）抛物线的一部分

参考答案：C9.将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：①⊥；

②△是等边三角形；③与平面所成的角为60°；

④与所成的角为60°．其中错误的结论是（

）A．①

B．②

C．③

D．④参考答案：C略10.已知等差数列的前项和,满足,则=（）A．-2015 B．-2014 C．-2013 D．-2012参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数（）的点的轨迹。给出下列三个结论：（1）曲线C过坐标原点（2）曲线C关于坐标原点对称；（3）若点P在曲线C上，则的面积不大于。其中，所有正确结论的序号是

。参考答案：（2）（3）略12.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．参考答案：【分析】本题首先可以确定双曲线的焦点、顶点坐标，然后通过题意可以确定椭圆的顶点、焦点坐标，最后通过椭圆的相关性质即可求椭圆的方程．【详解】由双曲线的相关性质可知，双曲线的焦点为，顶点为，所以椭圆的顶点为，焦点为，因为，所以椭圆的方程为，故答案为．【点睛】本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查椭圆、双曲线的几何性质，考查椭圆的标准方程，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键．13.阅读如图所示的伪代码：若输入x的值为12，则p=

．参考答案：4.9【考点】E6：选择结构．【分析】由已知中伪代码，可知该程序的功能是计算并输出分段函数p=的函数值，将x=12代入可得答案．【解答】解：由已知中伪代码，可知：该程序的功能是计算并输出分段函数p=的函数值，当x=12时，p=3.5+0.7（12﹣10）=4.9，故答案为：4.914.已知函数在区间（-1,1）上恰有一个极值点，则实数的取值范围是

____

．参考答案：略15.若函数f（x）=x3﹣x在（a，10﹣a2）上有最小值，则a的取值范围为

．参考答案：[﹣2，1）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由题意求导f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；从而得到函数的单调性，从而可得﹣2≤a＜1＜10﹣a2；从而解得．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x，∴f′（x）=x2﹣1=（x﹣1）（x+1）；故f（x）=x3﹣x在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；f（x）=x3﹣x=f（1）=﹣；故x=1或x=﹣2；故﹣2≤a＜1＜10﹣a2；解得，﹣2≤a＜1故答案为：[﹣2，1）．16.如图所示，将数以斜线作如下分群：（1），（2，3），（4，6，5），（8，12，10，7），（16，24，20，14，9），…并顺次称其为第1群，第2群，第3群，第4群，…。13579…26101418…412202836…824405672…164880112114…

⑴第7群中的第2项是：

；⑵第n群中n个数的和是：

参考答案：17.圆x2+y2﹣2x+2y=0的周长是．参考答案：考点：圆的一般方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由配方法化为标准式，求出圆的半径，再求周长即可．解答：解：x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2所以圆的半径为，故周长为2π．故答案为：2π．点评：本题考查圆的一般方程和标准方程，属基础知识的考查．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，，AB⊥AD，AB∥CD，点M是PC的中点．（I）求证：MB∥平面PAD；（II）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PD中点H，连结MH，AH．推导出四边形ABMH为平行四边形，从而BM∥AH，由此能证明BM∥平面PAD．（Ⅱ）取AD中点O，连结PO．以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BC﹣D的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取PD中点H，连结MH，AH．因为M为中点，所以．因为．所以AB∥HM且AB=HM．所以四边形ABMH为平行四边形，所以BM∥AH．因为BM?平面PAD，AH?平面PAD，所以BM∥平面PAD．…..解：（Ⅱ）取AD中点O，连结PO．因为PA=PD，所以PO⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．取BC中点K，连结OK，则OK∥AB．以O为原点，如图建立空间直角坐标系，设AB=2，则，．平面BCD的法向量，设平面PBC的法向量，由，得令x=1，则．．由图可知，二面角P﹣BC﹣D是锐二面角，所以二面角P﹣BC﹣D的余弦值为．…..19.已知函数f（x）=cos（﹣x）+sin（+x）（x∈R）．（1）求函数y=f（x）的最大值，并指出此时x的值；（2）若α∈（﹣，）且f（α）=1，求f（2α）的值．参考答案：（1）利用诱导公式、两角和差的正弦公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值，求得函数y=f（x）的最大值，并指出此时x的值．（2）由条件求得α的值，结合函数的解析式从而求得f（2α）的值．解：（1）函数f（x）=cos（﹣x）+sin（+x）=sinx+cosx=2sin（x+），故当x+=2kπ+时，函数f（x）取得最大值为2，此时，x=2kπ+，k∈Z．（2）若α∈（﹣，）且f（α）=2sin（α+）=1，即sin（α+）=，∴α=﹣，∴f（2α）=2sin（﹣+）=0．20.设函数为实数。（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。参考答案：．解:(1)

，由于函数在时取得极值，所以

即(2)方法一

由题设知：对任意都成立

即对任意都成立

设,则对任意，为单调递增函数

所以对任意，恒成立的充分必要条件是

即，

于是的取值范围是方法二

由题设知：对任意都成立

即对任意都成立

于是对任意都成立，即于是的取值范围是略21.椭圆()过点，为原点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在圆心在原点，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点、，且？若存在，写出该圆的方程，并求出的最大值；若不存在，说明理由.

参考答案：解析：

22.已知函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），可得g′（x）==，分别解出g′（x）＜0，g′（x）＞0，即可得出单调性．（II）由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，可得a=x﹣1﹣lnx，代入f（x）可得：u（x）=（1+lnx）2﹣2xlnx，利用函数零点存在定理可得：存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），再利用导数研究其单调性即可得出．【解答】（I）解：函数f（x）=﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2，其中a＞0．可得：x＞0．g（x）=f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a），∴g′（x）==，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当1＜x时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．（II）证明：由f′（x）=2（x﹣1﹣lnx﹣a）=0，解得a=x﹣1﹣lnx，令u（x）=﹣2xlnx+x2﹣2（x﹣1﹣lnx）x+（x﹣1﹣lnx）2=（1+lnx）2﹣2xlnx，则u（1）=1＞0，u（e）=2（2﹣e）＜0，∴存在x0∈（1，e），使得u（x0）=0，令a0=x0﹣1﹣lnx0=v（x0），其中v（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由v′（x）=1﹣≥0，可得：函数v（x）在区间（1，+∞）上单调递增．∴0=v（1）＜a0=v（x0）＜v（e）=e﹣2＜1，即a0∈（0，1），当a=a0时，有f