陕西省西安市师范大学附属中学2022年高二数学理测试题含解析

陕西省西安市师范大学附属中学2022年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线的焦点为F，过F作直线交抛物线于A、B两点，设则

（

）A.4

B.8

C.

D.1参考答案：C略2.过曲线（）上横坐标为1的点的切线方程为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B略3.直线l过点且与双曲线仅有一个公共点，这样的直线有(

)条.A.1 B.2 C.3 D.不确定参考答案：C【分析】由题可得直线过双曲线的右顶点，要得到过双曲线顶点且与双曲线有且只有一个公共点的直线，讨论直线的斜率即可。【详解】为双曲线的右顶点，过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有三条：（1）过点斜率不存在时，即垂直于轴的直线满足条件；（2）斜率存在时，过点平行于渐进线或的直线也满足条件，故答案选C【点睛】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，双曲线渐进线的性质，注意斜率不存在的情况，这是解题的易错点。4.斜率为1的直线与抛物线y=ax2（a＞0）交于A、B两点，且线段AB的中点C到y轴的距离为1，则该抛物线焦点到准线的距离为（）A． B． C．1 D．2参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2）．由于直线斜率为1，可设方程y=x+b，与抛物线的方程联立，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式可得a的值，再求出抛物线焦点到准线的距离即可．【解答】解：设直线为y=x+b，与y=ax2联立方程组，即为，消y可得ax2﹣x﹣b=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=，∵线段AB的中点C到y轴的距离为1，∴=1，解得a=，∴y=x2，∴该抛物线焦点到准线的距离a即为，故选：A5.若函数，则与的大小关系是（

）A. B.C. D.不确定参考答案：B【分析】先对函数求导，求出，进而可判断出函数单调性，得出结果.【详解】因为，所以，故，解得，所以，因此，函数单调递增；故.故选B【点睛】本题主要考查导数的计算以及导数的应用，熟记导数计算公式、以及导数方法判断函数单调性即可，属于常考题型.6.复数Z=1﹣i的虚部是（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．1参考答案：C【考点】A2：复数的基本概念．【分析】利用虚部的意义即可得出．【解答】解：复数Z=1﹣i的虚部是﹣1，故选：C．7.过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程为（）A．2x+y﹣4=0 B．x+2y﹣5=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=0参考答案：B【考点】点到直线的距离公式；直线的一般式方程与直线的性质．【分析】过点A（1，2）且与原点距离最大的直线与OA垂直，再用点斜式方程求解．【解答】解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为﹣，所以由点斜式方程得：y﹣2=﹣（x﹣1），化简得：x+2y﹣5=0，故选：B8.若幂函数的图像经过点，则它在点处的切线方程是（

）A.

B.

C．

D.参考答案：B9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．10 B．17 C．24 D．26参考答案：D【考点】程序框图．【分析】根据程序框图进行模拟计算即可得到结论．【解答】解：第一次，S=2，i=3，?S=5，i=5，?S=10，i=7，?S=17，i=9，?S=26，i=11＞10，程序终止，输出S=26，故选：D【点评】本题主要考查程序框图的计算，根据查询进行模拟计算是解决本题的关键．10.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】由△ABF2是正三角形可知，即，由此推导出这个椭圆的离心率．【解答】解：由题，∴即∴，∴，解之得：（负值舍去）．故答案选A．【点评】本题考查椭圆的基本性质及其应用，解题要注意公式的合理选取．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线是的切线，则的值为

参考答案：略12.抛物线x2=-4y的焦点坐标为

.参考答案：(0,-1)13.已知，且是第二象限角，则____________参考答案：14.设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若，则

.参考答案：615.已知一个数列前几项是，按照这个规律，是这个数列的第__________项.参考答案：2116.已知矩阵，，则=___________.参考答案：17.某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，以每个人被抽到的概率是0.2，向该中学抽取一个容量为ｎ的样本，则ｎ＝,若采用分层抽样，则高一年级，二年级和三年级分别抽取的人数为.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos2x+1，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【分析】（I）利用两角和的正弦公式将sin（2x+）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f（x）=2sin2x﹣2cos2x，再利用辅助角公式化简得f（x）=2sin（2x﹣），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；（II）根据x∈，得﹣≤2x﹣≤．再由正弦函数在区间[﹣，]上的图象与性质，可得f（x）在区间上的最大值为与最小值．【解答】解：（I）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）∴f（x）=﹣sin（2x+）+6sinxcosx﹣2cos2x+1=﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1=2sin2x﹣2cos2x=2sin（2x﹣）因此，f（x）的最小正周期T==π；（II）∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤∴当x=0时，sin（2x﹣）取得最小值﹣；当x=时，sin（2x﹣）取得最大值1,由此可得，f（x）在区间上的最大值为f（）=2；最小值为f（0）=﹣2．19.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，BC=6，tan∠ABC=﹣2．（I）若∠ACD=，求AC的长；（Ⅱ）若BD=9，求△BCD的面积．参考答案：【考点】解三角形．【分析】（Ⅰ）由同角的三角函数的关系求出sin∠ABC=，由正弦定理即可求出AC，（Ⅱ）分别利用正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式即可求出．【解答】解：（Ⅰ）：∵AB∥CD，∠ACD=，∴∠BAC=∠ACD=，∵tan∠ABC=﹣2，∴sin∠ABC=﹣2cos∠ABC，∵sin2∠ABC+cos2∠ABC=1，∴sin∠ABC=，由正弦定理可得=，∴=，∴AC=8，（Ⅱ）∵AB∥CD，∴∠BCD=π﹣∠ABC，∴sin∠BCD=sin（π﹣∠ABC）=sin∠ABC=，∴cos∠BCD=，由余弦定理可得BD2=BC2+CD2﹣2BC?CD?cos∠BCD，即81=36+CD2﹣2×6×CD×，解得CD=2+∴S△BCD=CD?BCsin∠BCD=×6×（2+）=6+3．20.某机构为研究某种图书每册的成本费y（单位：元）与印刷数量x（单位：千册）的关系，收集了一些数据并进行了处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值。15.253.630.2692085.5－230.30.7877.049表中（1）根据散点图判断：与哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费（单位：元）与印刷数量x（单位：千册）的回归方程（只要求给出判断，不必说明理由）。(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程。（回归系数的结果精确到0.01）(3)若该图书每册的定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78840元？（假设能够全部售出，结果精确到1）附：对于一组数据（…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为。参考答案：（1）见解析；（2）．（3）10千册．（1）由散点图判断，适宜作为每册成本费与印刷册数的回归方程．（2）令，先建立关于的线性回归方程，∵，∴，∴关于的线性回归方程为，从而关于的回归方程为．（3）假设印刷千册，依题意，，即，∴，∴至少印刷10千册．21.工厂有一段旧墙长m，现准备利用这段旧墙为一面，建造平面图形为矩形，面积为m2的厂房，工程条件是：(1)建1m新墙费用为a元；(2)修1m旧墙费用是元；(3)拆去1m旧墙，用所得材料建1m新墙费用为元，经过讨论有两种方案：①利用旧墙的一段(x<14)为矩形厂房一面的边长；②矩形厂房利用旧墙的一面，矩形边长x≥14。问：如何利用旧墙，即x为多少m时，建墙费用最省？①②两种方案哪种更好？参考答案：略22.四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2，E，F，G，H分别为棱PA，PB，AD，CD的中点．（1）求CD与平面CFG所成角的正弦值；（2）探究棱PD上是否存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2，∴PA2+AB2=PB2，PA2+AD2=PD2，∴PA⊥AB，PA⊥AD，

2分∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，∵E，F，G，H分别为棱PA，PB，AD，CD的中点．∴C（2，2，0），D（0，2，0），B（2，0，0），P（0，0，2），F（1，0，1），G（0，1，0），=（﹣2，0，0），=（﹣1，﹣2，1），=（﹣2，﹣1，0），设平面CFG的法向量=（x，y，z），

4分则，取x=1，得=（1，﹣2，﹣3），设CD与平面CFG所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|===．

∴CD与平面CFG所成角的正弦值为．

6分（2）假设棱PD上是否存在点M（a，b，c），且，（0≤λ≤1），使得平