湖南省常德市澧斓实验完全中学2022-2023学年高二数学理摸底试卷含解析

湖南省常德市澧斓实验完全中学2022-2023学年高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知对任意恒成立，且，，则b=（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：A【分析】根据，根据它的展开式形式，由题意可得，，即可求出b的值．【详解】由题意知即，且，可得，，解得b=1，n=9，故选：A．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，其中解答中合理构造，熟记二项展开式的通项公式，准确化简、运算是解答的关键，着重考查了构造思想，以及运算与求解能力，属于中档题．2.两个二进制数101（2）与110（2）的和用十进制数表示为（）A．12 B．11 C．10 D．9参考答案：B【考点】进位制．【分析】括号里的数字从左开始，第一位数字是几，再乘以2的0次幂，第二位数字是几，再乘以2的1次幂，以此类推，进行计算即可．【解答】解：∵由题意可得，=1×22+1×21+0×20=6．∴5+6=11．故选：B．3.已知函数的图象如图(其中是函数的导函数),下面四个图象中,的图象可能是B

A．

B．

C．

D．参考答案：B4.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．2 B． C． D．4参考答案：C【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理和柯西不等式即可得到结论．【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|MF1|=r1，|MF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1MF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，即=﹣1，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，即=1﹣，③联立②③得，+=4，由柯西不等式得（1+）（+）≥（1×+×）2，即（+）2≤×4=，即+≤，当且仅当e1=，e2=时取等号．即取得最大值且为．故选C．【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．5.已知两条曲线与在点处的切线平行，则的值为（

）A

0

B

C

0或

D

0或1参考答案：C略6.过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为（）A、4B、8C、12D、16参考答案：D7.已知过点恰能作曲线的两条切线，则的值是

A．

B．

C．

D．或参考答案：D8.已知命题p：?x∈R，cosx=；命题q：?x∈R，x2﹣x+1＞0．则下列结论正确的是(

)A．命题p∧q是真命题 B．命题p∧￢q是真命题C．命题￢p∧q是真命题 D．命题￢p∨￢q是假命题参考答案：C【考点】复合命题的真假．【专题】计算题；综合题．【分析】根据余弦函数的值域，可知命题p是假命题，根据二次函数的图象与性质，得命题q是真命题．由此对照各个选项，可得正确答案．【解答】解：因为对任意x∈R，都有cosx≤1成立，而＞1，所以命题p：?x∈R，cosx=是假命题；∵对任意的∈R，x2﹣x+1=（x﹣）2+＞0∴命题q：?x∈R，x2﹣x+1＞0，是一个真命题由此对照各个选项，可知命题￢p∧q是真命题故答案为：C【点评】本题以复合命题真假的判断为载体，考查了余弦函数的值域和一元二次不等式恒成立等知识，属于基础题．9.下列四个命题：①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；②“”是“”的充分不必要条件；③若为假，为真，则有且仅有一个是真命题；④对于命题，使得，则，使得.其中，正确的命题个数为（

）A．1个

B．2个

C.3个

D．4个参考答案：D10.若点M在直线b上，b在平面内，则M、b、之间的关系可记作（

）（A）

(B)

(C)

(D)

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若对于任意实数x，|x+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，则实数a的最小值为．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】利用绝对值的几何意义求解．【解答】解：由题意：|x+a|﹣|x+1|表示数轴上的x对应点到﹣a对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离，故它的最大值为|a﹣1|．由于对于任意实数x，有|x+a|﹣|x+1|＜2a恒成立，可得|a﹣1|＜2a，解得：a．∴实数a的最小值为：．故答案为：．【点评】本题考查了绝对值的几何意义．属于基础题．12.给出平面区域为图中四边形ABOC内部及其边界，目标函数为z=ax﹣y，若当且仅当x=1，y=1时，目标函数z取最小值，则实数a的取值范围是． 参考答案：【考点】简单线性规划． 【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式的解法及应用． 【分析】根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，z=ax﹣y表示直线在y轴上的截距的相反数，a表示直线的斜率，只需求出a取值在什么范围时，直线z=ax﹣y在y轴上的截距最优解在点A处即可． 【解答】解：由可行域可知，直线AC的斜率==﹣1， 直线AB的斜率==﹣， 当直线z=ax﹣y的斜率介于AC与AB之间时， A（1，1）是该目标函数z=ax﹣y的唯一最优解， 所以﹣1＜a＜﹣ 故答案为：． 【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法反求参数的范围，属于中档题．解答的关键是根据所给区域得到关于直线斜率的不等关系，这是数学中的数形结合的思想方法． 13.连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为_____．参考答案：14.若关于x的不等式x2+mx+m﹣1≥0恒成立，则实数m=

．参考答案：2【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次函数的性质得到△=0，解出m的值即可．【解答】解：若关于x的不等式x2+mx+m﹣1≥0恒成立，则△=m2﹣4（m﹣1）=0，解得：m=2，故答案为：2．【点评】本题考察了二次函数的性质，是一道基础题．15.△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知，a=2b，则b的值为

．参考答案：考点：解三角形．专题：计算题．分析：由c，cosC的值及a=2b，利用余弦定理即可列出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．解答： 解：由c=3，cosC=，a=2b，根据余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：5b2﹣2b2=9，即b2=3，所以b=．故答案为：点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．16.已知抛物线的焦点为F，其准线l与y轴交于点A，点M在抛物线C上，当时，的面积为__________．参考答案：2【分析】过点作，由抛物线定义得，从而根据线段长度关系可得，得到；在中利用正弦定理可求得，进而可知四边形为正方形，得到三角形边长，从而求得面积.【详解】过点作，垂足为，如图所示：由抛物线的定义可知：

为等腰直角三角形，即：在中，由正弦定理得：

，又四边形为正方形，则的面积：本题正确结果：【点睛】本题考查与抛物线有关的三角形面积的求解问题，涉及到抛物线定义、正弦定理等知识的应用，属于常规题型.17.参考答案：(0，1)∪(1，+￥)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）列三角形数表

1

……………第一行

2

2

……………第二行

3

4

3

……………第三行

4

7

7

4

……………第四行

5

11

14

11

5

……………第五行…

…

…

…

假设第行的第二个数为（1）依次写出第六行的所有数字；（2）归纳出的关系式并求出的通项公式；（3）设求证：…；参考答案：解：（1）第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6；

..........2分（2）依题意，

…………4分

…

…………6分略19.复数z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i（a∈R），（1）若z=，求|z|；（2）若在复平面内复数z对应的点在第一象限，求a的范围．参考答案：【考点】复数求模；复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】（1）根据z=，确定方程即可求|z|；（2）利用复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解

z=（1﹣i）a2﹣3a+2+i=a2﹣3a+2+（1﹣a2）i，（1）由知，1﹣a2=0，故a=±1．当a=1时，z=0；当a=﹣1时，z=6．（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即，即，所以﹣1＜a＜1．【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数的有关概念，比较基础．20.为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．（1）根据以上数据列出2×2列联表；（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗？为什么？附：K2=，n=a+b+c+dP（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考答案：【考点】BL：独立性检验．【分析】（1）由已知作出2×2列联表即可；（2）由列联表，结合计算公式，求得K2=≈9.638，由此判断出两个量之间的关系．【解答】解：（1）由已知可列2×2列联表得：

患胃病未患胃病合计生活规律20200220生活不规律60260320合计80460540（2）由计算公式得K2的观测值为：K2=≈9.638，∵9.638＞6.635∴在犯错识的概率不超过0.010的前提下，我们认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．【点评】本题考查独立性检验的应用，解题的关键是给出列联表，再熟练运用公式求出卡方的值，根据所给的表格判断出有关的可能性．21.如图，在三棱锥P-ABC中，，，M是AB的中点，点N在棱PC上，D是BN的中点，求证（1）MD∥面PAC（2）平面ABN⊥平面PMC参考答案：解：（1）在△ABN中，是的中点，是的中点，所以MD∥AN,因为所以MD∥面PAC（2）在△ABC中，，是的中点所以.因