湖南省湘潭市县锦石乡锦石中学高二数学理下学期摸底试题含解析

湖南省湘潭市县锦石乡锦石中学高二数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若将一个质点随机的投入如图所示的正方形ABCD中,其中AB=2,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(

)

A. B. C. D.参考答案：C2.曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（

）A．

B．和

C．

D．和参考答案：B略3.知点P是抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，且又有点M(3,3)，要使值取最小，则点P的坐标为

（

）

A.

B.

C.

D..参考答案：B略4.空间两条直线a、b与直线l都成异面直线，则a、b的位置关系是（

）．A．平行或相交 B．异面或平行C．异面或相交 D．平行或异面或相交参考答案：D直线、与直线都成异面直线，与之间并没有任何限制，所以与直线的位置关系所有情况都可能．故选．5.如图，棱长都相等的平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，则二面角A′﹣BD﹣A的余弦值为（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：A【考点】二面角的平面角及求法．【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间角．【分析】判断四面体A′BDA为正四面体，取BD的中点E，连接AE，A′E，由等腰三角形“三线合一”的性质，易得∠AEA′即为侧面与底面所成二面角的平面角，解三角形AA′E即可得到正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值．【解答】解：棱长都相等的平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，∠DAB=∠A′AD=∠A′AB=60°，则四面体A′BDA为正四面体．取BD的中点E，连接AE，A′E，设四面体的棱长为2，则AE=A′E=且AE⊥BD，A′E⊥BD，则∠AEA′即为侧面与底面所成二面角的平面角，在△AA′E中，cos∠AEA′==故正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是：．故选：A．【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中确定∠AEA′即为相邻两侧面所成二面角的平面角，是解答本题的关键．6.已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(

)A.-1<a<2

B.-3<a<6

C.a<-3或a>6

D.a<-1或a>2参考答案：C略7.若将有理数集分成两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为有理数集的一个分割．试判断，对于有理数集的任一分割，下列选项中，不可能成立的是（

）A．没有最大元素，有一个最小元素

B．没有最大元素，也没有最小元素C．有一个最大元素，有一个最小元素D．有一个最大元素，没有最小元素参考答案：C8.如果上边程序执行后输出的结果是132，那么在程序UNTIL后面的“条件”应为(

)A.i>11

B.i>=11

C.i<=11

D.i<11参考答案：B略9.在已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,两点,且,抛物线的准线与轴交于点,于点,若四边形的面积为,则准线的方程为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：A10.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（

）A．

B．4

C．

D．2参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式≤的解集为__________________.参考答案：略12.在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则cos2α+cos2β=1．类比到空间中一个正确命题是：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有

．参考答案：cos2α+cos2β+cos2γ=2【考点】F3：类比推理．【分析】本题考查的知识点是类比推理，由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=1，根据长方体性质可以类比推断出空间性质，从而得出答案．【解答】解：我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=1，我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α，β，γ，∴cosα=，cosβ=，cosγ=，∴cos2α+cos2β+cos2γ===2．故答案为：cos2α+cos2β+cos2γ=2．【点评】本题考查的知识点是类比推理，在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质，或是将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．13.已知点A（-4，-5），B（6，-1），则以线段AB为直径的圆的方程

参考答案：14.若直线与直线互相平行，则实数

▲

,若这两条直线互相垂直，则a=

▲

..参考答案：

，解得或1；，解得。

15.命题“存在”的否定是__________;参考答案：对任意.16.运行如图的算法，则输出的结果是

__

．参考答案：2517.小明、小红等4位同学各自申请甲、乙两所大学的自主招生考试资格,则每所大学恰有两位同学申请,且小明、小红没有申请同一所大学的可能性有_______种．参考答案：4本题主要考查简单的排列组合,意在考查学生的整体思想.设小明、小红等4位同学分别为小明、小红没有申请同一所大学,则组合为,,,,故共有4种方法.故答案为4.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题16分)已知函数是偶函数.(1)求的值；(2)设函数其中.若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围.参考答案：(1)由题意对任意恒成立，即恒成立，即恒成立，即对任意恒成立，………..7分(2)，得定义域为.因为函数与的图象有且只有一个交点，方程在上只有一解.即方程在上只有一解.令，则方程(*)在上只有一解……………..9分记，对称轴①当时，，不合题意；②当时，对称轴，在上递减，且，(*)在上无解；③当时，对称轴，只需，此恒成立,.综上………………16分（其它解法酌情给分）19.已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A、B两点，弦AB的中点为M（0，1）．（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；（2）若圆C上存在动点N使CN=2MN成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用两直线垂直，求出kAB=﹣1，从而求出直线方程；（2）首先求出圆的标准式方程，依题意两圆有公共点，所以圆心间距小于两圆半径之和．【解答】解：（1）圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，C（﹣1，2），r=（a＜5）据题意：CM=＜?a＞3因为CM⊥AB，?kcmkAB=﹣1，kcm﹣1?kAB=﹣1所以直线l的方程为x﹣y+1=0；（2）由CN=2MN，得，依题意，圆C与圆有公共点，故解得：﹣3a≤；又因为由（1）知a＜3，所以﹣3≤a＜3．20.已知圆C的圆心为C（m，0），m＜3，半径为，圆C与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．（1）求圆C的标准方程（2）若点P的坐标为（4，4），试探究斜率为k的直线PF1与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF1的方程；若不能，请说明理由．参考答案：解：（1）由已知可设圆C的方程为（x﹣m）2+y2=5（m＜3）将点A的坐标代入圆C的方程，得（3﹣m）2+1=5即（3﹣m）2=4，解得m=1，或m=5∵m＜3∴m=1∴圆C的方程为（x﹣1）2+y2=5．（6分）（2）直线PF1能与圆C相切依题意设直线PF1的方程为y=k（x﹣4）+4，即kx﹣y﹣4k+4=0若直线PF1与圆C相切，则∴4k2﹣24k+11=0，解得当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为﹣4，∴c=4，F1（﹣4，0），F2（4，0）∴由椭圆的定义得：∴，即a2=18，∴b2=a2﹣c2=2直线PF1能与圆C相切，直线PF1的方程为x﹣2y+4=0，椭圆E的方程为．（14分）考点：圆与圆锥曲线的综合；圆的标准方程．专题：综合题．分析：（1）由已知可设圆C的方程为（x﹣m）2+y2=5（m＜3），将点A的坐标代入圆C的方程，得（3﹣m）2+1=5．由此能求出圆C的方程．（2）直线PF1能与圆C相切，设直线PF1的方程为y=k（x﹣4）+4，若直线PF1与圆C相切，则．当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为﹣4，由此能求出椭圆E的方程．解答：解：（1）由已知可设圆C的方程为（x﹣m）2+y2=5（m＜3）将点A的坐标代入圆C的方程，得（3﹣m）2+1=5即（3﹣m）2=4，解得m=1，或m=5∵m＜3∴m=1∴圆C的方程为（x﹣1）2+y2=5．（6分）（2）直线PF1能与圆C相切依题意设直线PF1的方程为y=k（x﹣4）+4，即kx﹣y﹣4k+4=0若直线PF1与圆C相切，则∴4k2﹣24k+11=0，解得当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去当时，直线PF1与x轴的交点横坐标为﹣4，∴c=4，F1（﹣4，0），F2（4，0）∴由椭圆的定义得：∴，即a2=18，∴b2=a2﹣c2=2直线PF1能与圆C相切，直线PF1的方程为x﹣2y+4=0，椭圆E的方程为．（14分）点评：本题考查圆的方程和椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化21.已知函数，，且函数在处的切线方程为，⑴求，的值；⑵若对于任意，总存在使得成立，求的取值范围．参考答案：解：⑴由函数在处的切线方程为，

知

又

解得

所以

⑵对于任意，总存在使得成立，

即是

又在恒有，

即在递增所以

，令，得（舍）或，

故在递减，在递增，又，所以

于是所以略22.（12分）从高三年级学生中随机抽取名学生，测得身高情况如下表所示：（I）请在频率分布表中的①、②位置填上相应的数据，并在所给的坐标系中补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计众数的值；（II）按身高分层抽样，现已抽取人参加一项活动，其中