辽宁省铁岭市开原第二中学高二数学理摸底试卷含解析

辽宁省铁岭市开原第二中学高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，则恒过定点（

）A.（3,4） B.（4,3） C.（4,4） D.（2,4）参考答案：B【分析】利用函数的定义，得出，利用对数函数的定点可求出答案【详解】已知函数，则，明显地，对于，代入，得，则恒过定点【点睛】本题考查函数的定义和对数函数，属于基础题2.若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,、分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若,则

（

）A.4

B.3

C.2

D.1参考答案：C3.甲、乙、丙三人中只有一人去游览过黄鹤楼，当他们被问到谁去过时，甲说：“丙没有去”；乙说：“我去过”；丙说：“甲说的是真话”．事实证明：三人中，只有一人说的是假话，那么游览过黄鹤楼的人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定参考答案：A【考点】合情推理的含义与作用．【分析】利用反证法，即可得出结论．【解答】解：假设甲说的是假话，即丙去过，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙去过，又丙没有去过，故甲去过；故选：A．4.直线的倾斜角等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.命题“对”的否定是(

)（A）不

（B）

（C）对

（D）参考答案：D6.数列1，1+2，，…，，…的前n项和为（）A． B． C． D．参考答案：B略7.复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限，故选D．8.设，，若，则实数的取值范围是

（） A．

B．

C．

D．参考答案：A9.在10支铅笔中，又8支正品和2支次品，从中任取2支，则恰好取到1支正品1支次品的概率是（）．A． B． C． D．参考答案：B从支铅笔中取支铅笔，共有种可能，其中支正品支次品包含种可能，所以事件“恰好取到件正品支次品”的概率是，故选．10.已知数列{an}满足3an+1+an=0，a1=4，则{an}的前10项和等于(

)A．﹣6（1﹣3﹣10） B． C．3（1﹣3﹣10） D．3（1+3﹣10）参考答案：C【考点】数列的求和．【专题】转化思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项公式是即可得出．【解答】解：∵3an+1+an=0，a1=4，∴，∴数列{an}是等比数列，首项为4，公比为﹣．则{an}的前10项和==3（1﹣3﹣10）．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知F双曲线的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过F垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若E在以AB为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是．参考答案：（1，2）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由右顶点在以AB为直径的圆的外部，得|EF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．解答：解：由题意，直线AB方程为：x=﹣c，其中c=，因此，设A（﹣c，y0）（y0＞0），B（﹣c，﹣y0），∴﹣=1，解得y0=，得|AF|=，∵双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外部，∴|EF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0，两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2，由于e＞1，则有1＜e＜2．故答案为：（1，2）．点评：本题给出以双曲线通径为直径的圆，当右顶点在此圆外时求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题12.已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．下列四个命题：x﹣1045f（x）﹣1﹣2﹣2﹣1①函数f（x）的极大值点为2；②函数f（x）在[2，4]上是减函数；③如果当x∈[m，5]时，f（x）的最小值是﹣2，那么m的最大值为4；④函数y=f（x）﹣a（a∈R）的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的是

．参考答案：①②③④考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对4个命题，一一进行验证可得到答案．解答： 解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象可由以下两种代表形式，如图：由图得：①由图象可知f′（2）=0，f（x）在x=2处取得极大值，故①正确；②因为在[2，4]上导函数为负，故原函数递减，故②正确；③如果当x∈[m，5]时，f（x）的最小值是﹣2，则m∈[﹣1，4]，即m的最大值为4，故③正确；④由图可知：若f（2）=M＞﹣1时，函数的最大值为M，则：当a＞M或a＜﹣2时，函数y=f（x）﹣a有0个零点；当a=M时，函数y=f（x）﹣a有1个零点；当a=﹣2或﹣1＜a＜M时，函数y=f（x）﹣a有2个零点；当﹣2＜a≤﹣1时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；若f（2）=M=﹣1时，函数的最大值为﹣1，则：当a＞﹣1或a＜﹣2时，函数y=f（x）﹣a有0个零点；当a=﹣2时，函数y=f（x）﹣a有2个零点；当a=﹣1时，函数y=f（x）﹣a有3个零点；当﹣2＜a≤﹣1时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；若f（2）=M＜﹣1时，函数的最大值为﹣1，则：当a＞﹣1或a＜﹣2时，函数y=f（x）﹣a有0个零点；当a=﹣2或M＜a＜﹣1时，函数y=f（x）﹣a有2个零点；当a=M时，函数y=f（x）﹣a有3个零点；当﹣2＜a＜M时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；故函数y=f（x）﹣a（a∈R）的零点个数可能为0、1、2、3、4个，故④正确；综上得：真命题有①②③④．故答案为：①②③④点评：本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减13.曲线y=﹣5ex+3在点（0，﹣2）处的切线方程为

．参考答案：5x+y+2=0

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可．【解答】解：y′=﹣5ex，∴y′|x=0=﹣5．因此所求的切线方程为：y+2=﹣5x，即5x+y+2=0．故答案为：5x+y+2=0．14.如图,这是一个正六边形的序列,则第(n)个图形的边数为

参考答案：因而每个图形的边数构成一个首项为6,公差为5的等差数列，因而第(n)个图形的边数为.

15.已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是

．参考答案：（2，+∞）【考点】函数恒成立问题；奇偶函数图象的对称性．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，即可得到结论．【解答】解：根据“对称函数”的定义可知，，即h（x）=6x+2b﹣，若h（x）＞g（x）恒成立，则等价为6x+2b﹣＞，即3x+b＞恒成立，设y1=3x+b，y2=，作出两个函数对应的图象如图，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=，即|b|=2，∴b=2或﹣2，（舍去），即要使h（x）＞g（x）恒成立，则b＞2，即实数b的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）【点评】本题主要考查对称函数的定义的理解，以及不等式恒成立的证明，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．16.下列结论正确的是（

）（写出所有正确结论的序号）⑴常数列既是等差数列，又是等比数列；⑵若直角三角形的三边、、成等差数列，则、、之比为；⑶若三角形的三内角、、成等差数列，则；⑷若数列的前项和为，则的通项公式；⑸若数列的前项和为，则为等比数列。参考答案：略17.已知椭圆的两个焦点为,以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，且，则等于________.参考答案：(不扣分)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）当时，若在(1,+∞)上恒成立，求m的取值范围；（2）当时，证明：.参考答案：（1）解：由，得在上恒成立.令，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.故的最小值为.所以，即的取值范围是.（2）证明：因为，所以.，令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，即当时，，所以在上单调递减，又因为，所以当时，；当时，.于是对恒成立.

19.已知函数．（1）当时,解不等式；（2）求证:．参考答案：（1）当时,不等式等价于不等式.当时,不等式可化为,解得，所以． 1分当时,不等式可化为,即，这种情况无解． 2分当时,不等式可化为,解得，所以． 3分综上,当时,不等式的解集为 5分（2）证明: 7分所以不等式得证． 10分20.如图所示，异面直线AB，CD互相垂直，AB=，BC=，CD=1，BD=2，AC=3，截面EFGH分别与BD，AD，AC，BC相交于点E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH．（1）求证：BC⊥平面EFGH；（2）求二面角B﹣AD﹣C的正弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AB∥EF，CD∥HE，AB⊥BC，BC⊥DC，BC⊥EF，BC⊥EH，由此能证明BC⊥平面EFGH．（2）作，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，Cz为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AD﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）∵AB∥平面EFGH，又∵AB?平面ABD，平面ABD∩平面EFGH=EF，∴AB∥EF，同理CD∥HE，∵，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，同理BC⊥DC，∴BC⊥EF，同理BC⊥EH，又∵EF，EH是平面EFGH内的两相交直线，∴BC⊥平面EFGH．（2）由（1）及异面直线AB，CD互相垂直知，直线AB，BC，CD两两垂直，作，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，Cz为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，如图所示，则，∵x轴?平面ACD，∴平面ACD的一个法向量可设为，∵，∴，得：，即，又∵z轴∥平面ABD，∴平面ABD的一个法向量可设为，∴，得，即，设二面角B﹣AD﹣C的大小为θ，那么，∴，∴二面角B﹣AD﹣C的正弦值为．21.（本小题满分1