内蒙古自治区赤峰市巴林右旗大板第三中学2022年高二数学理月考试题含解析

内蒙古自治区赤峰市巴林右旗大板第三中学2022年高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题是全称命题的是（）A．存在x∈R，使x2﹣x+1＜0 B．所有2的倍数都是偶数C．有一个实数x，使|x|≤0 D．有的三角形是等边三角形参考答案：B【考点】全称命题．【分析】含有特称量词“有些”，“至少”，“存在”的命题都是特称命题；含有全称量词“任意”的是全称命题．【解答】解：对于A，C，D中，分别含有特称量词“有一个”，“有的”，“存在”，故A，C，D都是特称命题；对于B，含有全称量词“所有”，故B是全称命题．故选B．2.在△ABC中，点O是BC边的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若,则的最大值为

(

）A．

1

B．

C．

D．2参考答案：A3.设函数，则f(x)零点的个数为（

）A.3 B.1 C.2 D.0参考答案：C【分析】在同一坐标系中作出函数和函数的图象，观察两个函数的交点个数，可得出函数的零点个数.【详解】令，得，即，则函数的零点个数等于函数和函数的交点个数，在同一坐标系中作出函数和函数的图象，如下图所示：由上图可知，函数和函数有两个交点，因此，函数的零点个数为，故选：C.【点睛】本题考查函数的零点个数的求解，一般有以下两种方法：（1）代数法：解方程的根；（2）图象法：求函数的零点个数，可转化为两个函数和函数图象的交点个数.4.已知f（x）为定义在(0,+∞)上的可导函数,且恒成立,则不等式的解集为（

）．A.(0,1) B.(1,2) C.(1,+∞) D.(2,+∞)参考答案：C试题分析：令，则为定义域上的减函数，由不等式得：考点：利用导数研究函数的性质【名师点睛】本题考查了导数的运算，考查了利用导数研究函数单调性，属中档题．解题时要确定函数的导函数符号确定函数的单调性：当导函数大于0时，函数单调递增；导函数小于0时，函数单调递减5.已知等差数列的公差为3，若成等比数列，则等于

A． B． C． D．参考答案：D6.甲、乙两位同学本学期几次数学考试的平均成绩很接近，为了判断甲、乙两名同学成绩哪个稳定，需要知道这两个人的（）A．中位数 B．众数 C．方差 D．频率分布参考答案：C【考点】众数、中位数、平均数．【分析】利用中位数、众数、方差、频率分布的概念直接求解．【解答】解：在A中，中位数像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”．故A不成立；在B中，众数反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”，故B不成立；在C中，方差是样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数，方差是衡量一个样本波动大小的量，故C成立；在D中，频率分布反映数据在整体上的分布情况，故D不成立．故选：C．7.已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（

）A．

B.

C．

D.参考答案：记，则将（1）式平方，得（3）（2）（3）得.选B.8.点位于（）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.已知i为虚数单位，则=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，故选：A．10.椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（）A．8 B．9 C．10 D．12参考答案：B【考点】椭圆的应用．【分析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知m+n=2a，∴m2+n2+2nm=4a2，∴m2+n2=4a2﹣2nm由勾股定理可知m2+n2=4c2，求得mn=18，则△F1PF2的面积为9．故选B．【点评】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在各项均为正数的等比数列{an}中，若2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则2a5+a4的最小值为．参考答案：12【考点】等比数列的通项公式．【分析】2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，公比q＞0，a1＞0．可得：a1=＞0，可得q＞1．则2a5+a4===，设=x∈（0，1），则y=x﹣x3，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：∵2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，公比q＞0，a1＞0．∴a1（2q3+q2﹣2q﹣1）=8，∴a1=＞0，可得q＞1．则2a5+a4===，设=x∈（0，1），则y=x﹣x3，由y′=1﹣3x2=0，解得x=．可得x=时，y取得最大值，ymax=．∴2a5+a4的最大值为=12．故答案为：12．12.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于A，B两点，则｜AB｜=

．参考答案：8【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得x1+x2=的值，进而根据抛物线的定义可知｜AB｜=x1++x2+求得答案．【解答】解：抛物线焦点为（1，0）则直线方程为y=x﹣1，代入抛物线方程得x2﹣6x+1=0∴x1+x2=6根据抛物线的定义可知｜AB｜=x1++x2+=x1+x2+p=6+2=8故答案为：8【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．13.某校要从名男生和名女生中选出人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示).参考答案：14.如图，空间四边形ABCD中，若AD=4，BC=4，E、F分别为

AB、CD中点，且EF=4，则AD与BC所成的角是_________.参考答案：略15.将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共

种

参考答案：42016.如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为

参考答案：略17.观察下列三个三角恒等式：；；.一般地，若都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为____________

参考答案：,其中略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

设函数．

(I)若=0且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求实数a，b的值；

(Ⅱ)在(I)的条件下，当[-2，2]时，是单调函数，求实数k的取值范围．参考答案：19.如图，已知四棱锥P-ABCD的体积为4，PA⊥底面ABCD，，底面ABCD为直角梯形，，，.（1）求证：；（2）若点E在棱PB上，且，点K在直线DB上，且PK∥平面ACE，求BK的长.参考答案：（1）详见解析；（2）.【分析】(1)由已知条件结合四棱锥的体积为4，可得的长、CD的长，可得，可得、，可得证明;(2)设，连结,可得，且相似比为，计算可得BD、BO的值，可得的长.【详解】（1）证明：设，则，解得.在梯形中，，，.∴.∵底面，平面，∴.又平面，且，∴平面.∵平面，∴.（2）设，连结.∵PK∥平面，平面，且平面平面，∴PK∥EO.∴，且相似比为.在中，，，，∴.【点睛】本题主要考查线线垂直、线面垂直的证明及线面平行的性质及三角形相似的性质，考查空间想象能力，需注意各定理的灵活运用.20.（本题满分15分）已知点，圆的圆心在直线上且与轴切于点，（1）求圆C的方程；（2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（3）设直线与圆交于，两点，过点的直线垂直平分弦，这样的实数是否存在，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）由题意圆心，半径故圆的方程为即……4分（2）设直线的斜率为（存在）则方程为.又圆C的圆心为，半径，由弦长为，故弦心距………………5分由

，

解得.所以直线方程为，

即.……7分当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件.的方程为或……………………9分（3）把直线即．代入圆的方程，消去，整理得．由于直线交圆于两点，故，即，解得．………………11分设符合条件的实数存在，由于垂直平分弦，故圆心必在上．所以的斜率，而，所以．由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．……………15分（注：*其他解法（如：几何解法）相应给分）21.某财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：

混凝土耐久性达标混凝土耐久性不达标总计使用淡化海砂25t30使用未经淡化海砂s1530总计402060

（Ⅰ）根据表中数据，求出s，t的值，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？（Ⅱ）若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？参考数据：P（K2≥k0）0.100.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828

参考公式：．参考答案：（Ⅰ）,能；（Ⅱ）.试题分析：（Ⅰ）由图易知，然后由已知数据，利用公式得通过查表可知能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关；（Ⅱ）由图可知使用淡化海砂的样本中混凝土耐久性达标与不达标的比例为25:5，即5:1.从而知这6个样本中“混凝土耐久性达标”的为5，混凝土耐久性不达标”的为1.再计算从这6个样本中任取2个的基本事件总数，以及取出的2个样本混凝土耐久性都达标的对立事件数，再利用古典概率的公式即可得到所求概率.试题解析：（Ⅰ）(2分)假设：是否使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标无关，由已知数据可求得：因此，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关．(6分)（Ⅱ）用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，其中应抽取“混凝土耐久性达标”的为“混凝土耐久性不达标”的为1．“混凝土耐久性达标”的记为“混凝土耐久性不达标”的记为．从这6个样本中任取2个，共有可能，设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为事件，它的对立事件为“取出的2个样本至少有一个混凝土耐久性不达标”，包含（），（），（），（），（）共5种可能，所以.则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是.(12分)考点：1.独立性检验；2.古典概率.22.已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））点处的切线方程；（2）当a=1时，求函数f（x）的极值点和极值；（3）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出导函数，求解切线的斜率f′（1）=1﹣a，然后求解切线方程．（2）求出函数的极值点，判断函数的单调性，求解函数的极值即可．（3）令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），求出导函数g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，求出，通过若a≤0，若，若，分别判断函数的符号函数的单调性，求解函数的最值，然后求解a的取值范围．【解答】解：（1）由题，所以f′（1）=1﹣a，所以切线方程为：（1﹣a）（x﹣1）﹣y=0（2）由题a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，所以所以f′（x）＞0?0＜x＜1；f′（x）＜0?x＞1，所以f（x）在（0，1）单增，在（1，+∞）单减，所以f（x）在x=1取得极大值f（1）=0．所以函数f（x）的极大值f（1）=0，函数无极小值（3），令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），g′（x