2025版高考数学一轮复习真题精练第十章概率与统计第42练概率与统计与其他知识的综合课件

第42练

概率与统计与其他知识的综合1[2018全国Ⅰ卷·20,12分,难度★★★★☆]某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?

2[2021新高考Ⅱ卷·21,12分,难度★★★★☆]一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1,当E(X)>1时,p<1;(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.【解析】

2.【参考答案】

(1)由题意,P(X=0)=0.4,P(X=1)=0.3,P(X=2)=0.2,P(X=3)=0.1,∴X的分布列为E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.X0123P0.40.30.20.1(2)解法一(先提取公因式、再构造函数法)

记f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0,由题知,p为f(x)=0的实根,由p0=1-p1-p2-p3,得f(x)=p3(x3-1)+p2(x2-1)+p1(x-1)-(x-1)=(x-1)[p3x2+(p3+p2)x+p3+p2+p1-1].记g(x)=p3x2+(p3+p2)x+p3+p2+p1-1,则g(1)=3p3+2p2+p1-1=E(X)-1,g(0)=p3+p2+p1-1=-p0<0.当E(X)≤1时,g(1)≤0,易知g(x)在(0,1)上单调递增,∴当x∈(0,1)时,g(x)=0无实根.∴f(x)=0在(0,1]上有且仅有一个实根,即p=1,∴当E(X)≤1时,p=1.当E(X)>1时,g(1)>0,又g(0)<0,g(x)的图象开口向上,∴g(x)=0在(0,1)上有唯一实根p'∈(0,1),∴f(x)=0的最小正实根p=p'∈(0,1),∴当E(X)>1时,p<1.解法二(直接求导法)

设f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0,∵p3+p2+p1+p0=1,∴f(x)=p3x3+p2x2-(p2+p0+p3)x+p0.若E(x)≤1,则p1+2p2+3p3≤1,故p2+2p3≤p0.f'(x)=3p3x2+2p2x-(p2+p0+p3),∴f'(0)=-(p2+p0+p3)<0,f'(1)=p2+2p3-p0≤0,故f'(x)有两个不同零点x1,x2,且x1<0<1≤x2.当x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,故f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.若x2=1,∵f(x)在(x2,+∞)上单调递增且f(1)=0,f(x)在(0,x2)上单调递减,故当x∈(0,x2)时,f(x)>f(x2)=f(1)=0,故1为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根.若x2>1,∵f(1)=0且f(x)在(0,x2)上单调递减,故1为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根.综上,若E(X)≤1,则p=1若E(x)>1,则p1+2p2+3p3>1,故p2+2p3>p0.此时f'(0)=-(p2+p0+p3)<0,f'(1)=p2+2p3-p0>0,故f'(x)有两个不同零点x3,x4,且x3<0<x4<1.当x∈(-∞,x3)∪(x4,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(x3,x4)时,f'(x)<0,故f(x)在(-∞,x3),(x4,+∞)上单调递增,在(x3,x4)上单调递减.而f(1)=0,故f(x4)<0,又f(0)=p0>0,故f(x)在(0,x4)上存在一个零点x0,且x0<1.∴x0为p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根p,此时p<1,故当E(x)>1时,p<