新教材同步备课2024春高中数学第8章成对数据的统计分析章末综合提升学生用书新人教A版选择性必修第三册

第8章成对数据的统计分析章末综合提升类型1线性回归分析1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．其基本步骤为通过散点图和经验选择经验回归方程的类型，然后通过一定的规则确定出相应的经验回归方程，通过一定的方法进行检验，最后应用于实际或对预报变量进行预测．2．主要培养数学建模和数据分析的素养．【例1】下面给出了根据我国2016～2022年水果人均占有量y(单位：kg)和年份代码x绘制的散点图和经验回归方程的残差图(2016～2022年的年份代码x分别为1～7)．(1)根据散点图分析y与x之间的相关关系；(2)经验回归方程；(3)根据经验回归方程的残差图，分析经验回归方程的拟合效果．(精确到0.01)[尝试解答]类型2独立性检验1．独立性检验研究的问题是有多大把握认为两个分类变量之间有关系．为此需先列出2×2列联表，从表格中可以直观地得到两个分类变量是否有关系．另外等高堆积条形图能更直观地反映两个分类变量之间的情况．独立性检验的思想是可以先假设二者无关系，求随机变量χ2的值，若χ2大于临界值，则拒绝假设，否则，接受假设．2．通过计算χ2的值，进而分析相关性结论的可信程度，提升数学运算、数据分析的素养．【例2】某校鼓励即将毕业的大学生到西部偏远地区去支教，该校学生就业部针对即将毕业的男、女生是否愿意到西部支教进行问卷调查，得到的情况如表所示：性别支教合计愿意去支教不愿意去支教女生20男生40合计70100(1)完成上述2×2列联表；(2)根据表中的数据，试根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析愿意去西部支教是否与性别有关．[尝试解答]类型3概率与统计的综合应用1．概率与统计作为考查学生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点，它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．2．主要培养数据分析和数学运算学科素养．【例3】某公司对40名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节．笔试环节所有40名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定．公司对40名试用员工的笔试得分(笔试得分都在[75，100]内)进行了统计分析，得到如下频率分布直方图和2×2列联表．业务水平性别合计男女优(得分不低于90分)8良(得分低于90分)12合计40(1)请完成上面的2×2列联表，并依据α＝0.10的独立性检验，分析“试用员工的业务水平优良与否”与性别是否有关；(2)公司决定：在笔试环节中得分低于85分的试用员工直接淘汰，得分不低于85分的试用员工都正式录用．笔试得分在[95，100]内的岗位等级直接定为一级(不必参加面试环节)；笔试得分在[90，95)内的岗位等级初定为二级，但有25的概率在面试环节将二级晋升为一级；笔试得分在[85，90)内的岗位等级初定为三级，但有3①若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；②若乙在笔试环节的岗位等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率．参考公式：χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，nα0.150.100.050.010xα2.0722.7063.8416.635[尝试解答]类型4化归与转化思想在非线性回归分析中的应用1．转化与化归思想主要体现在非线性回归分析中．在实际问题中，并非所有的变量关系均满足线性关系，故要选择适当的函数模型去拟合样本数据，再通过代数变换，把非线性问题线性化．2．主要培养数学建模和数学运算的素养．【例4】(2023·江西上饶期末)某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到如下数据：x1234y56.53122.7517.8x5678y15.9514.51312.5对以上数据进行分析后，考虑用反比例函数模型y＝a＋bx和指数型函数模型y＝cedx也分别对两个变量的关系进行拟合．已求得用指数型函数模型拟合的经验回归方程为y＝48.376×e-0.195x，lny与x的样本相关系数r1＝－0.929(1)求用反比例函数模型拟合的y关于x的经验回归方程(系数保留整数)；(2)用样本相关系数判断这两个模型中哪一个的拟合效果更好(精确到0.001)，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；(3)根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布N(μ，σ2)，用样本平均数y作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，若非原料成本y在[μ－σ，μ＋σ]之外，说明该成本异常，并称落在[μ－σ，μ＋σ]之外的成本为异样成本，此时需要寻找出现异样成本的原因．试判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因．参考数据其中uuui=1i=1i=10.340.1151.531845777.555i=10.61193.19493.0630.70513.9参考公式：在经验回归方程y＝bx＋a中，b样本相关系数r=.[尝试解答]章末综合提升例1解：(1)根据散点图可知，散点均匀分布在一条直线附近，且随着x的增大，y增大，故y与x成线性相关，且为正相关．(2)依题意，x＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)yb＝＝4517-7×a＝y－bx≈153.43－7.89×4所以y关于x的经验回归方程为y＝7.89x＋121.87．(3)由残差图可以看出，残差对应点分布在水平带状区域内，且宽度较窄，说明拟合效果较好，经验回归方程的预测精度较高．例2解：(1)2×2列联表如下：性别支教合计愿意去支教不愿意去支教女生302050男生401050合计7030100(2)零假设H0：支教与性别相互独立，即是否愿意去西部支教与性别无关．根据2×2列联表中的数据，可得χ2＝100×(300-800)250×根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为是否愿意去西部支教与性别有关联，因此推断犯错误的概率不大于0.05．根据2×2列联表中的数据计算，女生愿意去支教与不愿意去支教的频率分别为3050＝0.6，2050＝男生愿意去支教与不愿意去支教的频率分别为4050＝0.8，1050＝由0.40.2＝2可见，女生不愿意去支教的频率是男生不愿意去支教的频率的2倍于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为女生不愿意去支教的概率明显大于男生不愿意去支教的概率，即是否愿意去西部支教明显与性别有关．例3解：(1)由题图可知，得分不低于90分的人数为40×(0.04＋0.02)×5＝12，所以补充完整的2×2列联表如下：业务水平性别合计男女优(得分不低于90分)8412良(得分低于90分)161228合计241640零假设为H0：“试用员工的业务水平优良与否”与性别无关．计算得χ2＝40×(8×12-4根据小概率值α＝0.10的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别无关．(2)由题图可知，不低于85分的试用员工的人数为40×(0.06＋0.04＋0.02)×5＝24，岗位等级直接定为一级的概率为0.02×岗位等级初定为二级的概率为0.04×岗位等级初定为三级的概率为0.06×①甲的最终岗位等级为一级的概率为16＋1②若乙的最终岗位等级为二级，则甲的最终岗位等级为一级或二级，其概率为1－12若乙的最终岗位等级为一级，则甲的最终岗位等级为一级，其概率为310故甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率为12例4解：(1)令u＝1x，则y＝a＋bx可转化为y＝a＋易得y＝1848所以b＝＝93.06-8×所以a＝y－bu＝23所以y＝6＋50u，所以y关于x的经验回归方程为y＝6＋50x(2)设y与1x的样本相关系数为r2＝93.06-8×0.34×231.53因为|r1|<|r2|，所以这两个模型中反比例函数模型的拟合效果更