新教材同步备课2024春高中数学第8章成对数据的统计分析章末综合提升教师用书新人教A版选择性必修第三册

第8章成对数据的统计分析章末综合提升类型1线性回归分析1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．其基本步骤为通过散点图和经验选择经验回归方程的类型，然后通过一定的规则确定出相应的经验回归方程，通过一定的方法进行检验，最后应用于实际或对预报变量进行预测．2．主要培养数学建模和数据分析的素养．【例1】下面给出了根据我国2016～2022年水果人均占有量y(单位：kg)和年份代码x绘制的散点图和经验回归方程的残差图(2016～2022年的年份代码x分别为1～7)．(1)根据散点图分析y与x之间的相关关系；(2)经验回归方程；(3)根据经验回归方程的残差图，分析经验回归方程的拟合效果．(精确到0.01)[解](1)根据散点图可知，散点均匀分布在一条直线附近，且随着x的增大，y增大，故y与x成线性相关，且为正相关．(2)依题意，x＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝(2)依题意，x＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝yb＝＝4517-7×a＝y－bx≈153.43－7.89×4所以y关于x的经验回归方程为y＝7.89x＋121.87．(3)由残差图可以看出，残差对应点分布在水平带状区域内，且宽度较窄，说明拟合效果较好，经验回归方程的预测精度较高．类型2独立性检验1．独立性检验研究的问题是有多大把握认为两个分类变量之间有关系．为此需先列出2×2列联表，从表格中可以直观地得到两个分类变量是否有关系．另外等高堆积条形图能更直观地反映两个分类变量之间的情况．独立性检验的思想是可以先假设二者无关系，求随机变量χ2的值，若χ2大于临界值，则拒绝假设，否则，接受假设．2．通过计算χ2的值，进而分析相关性结论的可信程度，提升数学运算、数据分析的素养．【例2】某校鼓励即将毕业的大学生到西部偏远地区去支教，该校学生就业部针对即将毕业的男、女生是否愿意到西部支教进行问卷调查，得到的情况如表所示：性别支教合计愿意去支教不愿意去支教女生20男生40合计70100(1)完成上述2×2列联表；(2)根据表中的数据，试根据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析愿意去西部支教是否与性别有关．[解](1)2×2列联表如下：性别支教合计愿意去支教不愿意去支教女生302050男生401050合计7030100(2)零假设H0：支教与性别相互独立，即是否愿意去西部支教与性别无关．根据2×2列联表中的数据，可得χ2＝100×300-800250根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为是否愿意去西部支教与性别有关联，因此推断犯错误的概率不大于0.05．根据2×2列联表中的数据计算，女生愿意去支教与不愿意去支教的频率分别为3050＝0.6，2050男生愿意去支教与不愿意去支教的频率分别为4050＝0.8，1050由0.40.2＝2可见，女生不愿意去支教的频率是男生不愿意去支教的频率的2于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为女生不愿意去支教的概率明显大于男生不愿意去支教的概率，即是否愿意去西部支教明显与性别有关．类型3概率与统计的综合应用1．概率与统计作为考查学生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点，它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．2．主要培养数据分析和数学运算学科素养．【例3】某公司对40名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节．笔试环节所有40名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定．公司对40名试用员工的笔试得分(笔试得分都在[75，100]内)进行了统计分析，得到如下频率分布直方图和2×2列联表．业务水平性别合计男女优(得分不低于90分)8良(得分低于90分)12合计40(1)请完成上面的2×2列联表，并依据α＝0.10的独立性检验，分析“试用员工的业务水平优良与否”与性别是否有关；(2)公司决定：在笔试环节中得分低于85分的试用员工直接淘汰，得分不低于85分的试用员工都正式录用．笔试得分在[95，100]内的岗位等级直接定为一级(不必参加面试环节)；笔试得分在[90，95)内的岗位等级初定为二级，但有25的概率在面试环节将二级晋升为一级；笔试得分在[85，90)内的岗位等级初定为三级，但有3①若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；②若乙在笔试环节的岗位等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率．参考公式：χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，nα0.150.100.050.010xα2.0722.7063.8416.635[解](1)由题图可知，得分不低于90分的人数为40×(0.04＋0.02)×5＝12，所以补充完整的2×2列联表如下：业务水平性别合计男女优(得分不低于90分)8412良(得分低于90分)161228合计241640零假设为H0：“试用员工的业务水平优良与否”与性别无关．计算得χ2＝40×8×12-4×16根据小概率值α＝0.10的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别无关．(2)由题图可知，不低于85分的试用员工的人数为40×(0.06＋0.04＋0.02)×5＝24，岗位等级直接定为一级的概率为0.02×5岗位等级初定为二级的概率为0.04×5岗位等级初定为三级的概率为0.06×5×①甲的最终岗位等级为一级的概率为16+1②若乙的最终岗位等级为二级，则甲的最终岗位等级为一级或二级，其概率为1－12＝1若乙的最终岗位等级为一级，则甲的最终岗位等级为一级，其概率为310故甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率为12+3类型4化归与转化思想在非线性回归分析中的应用1．转化与化归思想主要体现在非线性回归分析中．在实际问题中，并非所有的变量关系均满足线性关系，故要选择适当的函数模型去拟合样本数据，再通过代数变换，把非线性问题线性化．2．主要培养数学建模和数学运算的素养．【例4】(2023·江西上饶期末)某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到如下数据：x1234y56.53122.7517.8x5678y15.9514.51312.5对以上数据进行分析后，考虑用反比例函数模型y＝a＋bx和指数型函数模型y＝cedx也分别对两个变量的关系进行拟合．已求得用指数型函数模型拟合的经验回归方程为y＝48.376×e-0.195x，lny与x的样本相关系数r1＝－0.929(1)求用反比例函数模型拟合的y关于x的经验回归方程(系数保留整数)；(2)用样本相关系数判断这两个模型中哪一个的拟合效果更好(精确到0.001)，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；(3)根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布N(μ，σ2)，用样本平均数y作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，若非原料成本y在[μ－σ，μ＋σ]之外，说明该成本异常，并称落在[μ－σ，μ＋σ]之外的成本为异样成本，此时需要寻找出现异样成本的原因．试判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因．参考数据其中uuui=1i=1i=10.340.1151.531845777.555i=10.61193.19493.0630.70513.9参考公式：在经验回归方程y＝bx＋a中，b样本相关系数r=.[解](1)令u＝1x，则y＝a＋bx可转化为y＝a＋易得y＝1848所以b＝＝93.06-8×所以a＝y－bu＝23－50×0.34所以y＝6＋50u，所以y关于x的经验回归方程为y＝6＋50x(2)设y与1x的样本相关系数为r2＝93.06-8×0.34×因为|r1|＜|r2|，所以这两个模型中反比例函数模型的拟合效果更好．把x＝10代入回归方程y＝6＋50x中得y＝6＋5010＝所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元．(3)因为y＝1848＝23，所以μ易得样本标准差s＝＝18×5777.555所以σ＝13.9，所以非原料成本y服从正态分布N(23，13.92)，所以[μ－σ，μ＋σ]＝[23－13.9，23＋13.9]＝[9.1，36.9]．因为56.5在[μ－σ，μ＋σ]之外，所以此非原料成本数据需要寻找出现异样成本的原因．章末综合测评(三)成对数据的统计分析(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1为变量X与Y之间的样本相关系数，r2为变量U与V之间的样本相关系数，则()A．r2<r1<0 B．r2<0<r1C．0<r2<r1 D．r2＝r1B[由变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)，可得变量X与Y正相关，因此r1＞0；由变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，可得变量U与V负相关，因此r2＜0．故r2＜0＜r1．]2．根据一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的散点图分析x与y之间是否存在线性相关关系，若求得其经验回归方程为y＝0.85x－85.7，则在样本点(165，57)处的随机误差为()A．54.55 B．2.45C．3.45 D．111.55B[把x＝165代入y＝0.85x－85.7，得y＝0.85×165－85.7＝54.55，所以在样本点(165，57)处的随机误差为57－54.55＝2.45．故选B．]3．已知变量x与y，其一组观测数据如表所示(其中6.5>a>4>b>1，a＋b＝6)，则由该观测数据算得的经验回归方程可能是()x12345y6.5a4b1A．y＝0.4x＋2.3 B．y＝2x－2.4C．y＝－2x＋9.5 D．y＝－0.3x＋0.44[答案]C4．有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一个热饮销售杯数与当天气温之间的线性关系，其经验回归方程为y＝－2.35x＋155.47．如果某天气温为4℃时，那么该小卖部大约能卖出热饮的杯数是()A．140B．146C．151D．164B[热饮杯数与当天气温之间的线性关系，其经验回归方程为y＝－2.35x＋155.47，如果某天气温为4℃时，即x＝4，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数y＝－2.35×4＋155.47＝146.07≈146．]5．随着国家三孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的三孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．是否愿生城市非一线一线合计愿生452065不愿生132235合计5842100由χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d参照下表：α0.050.010.001xα3.8416.63510.828下列结论正确的是()A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“生育意愿与城市级别有关”D．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“生育意愿与城市级别无关”C[因为χ2≈9.616＞6.635＝x0.01，所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C．]6．已知对某散点图作拟合曲线及其对应的决定系数R2，如下表所示：拟合曲线直线指数曲线抛物线二次曲线y与x回归方程y＝19.8x－463.7y＝e0.27x-3.84y＝0.367x2－202y＝x决定系数R20.7460.9960.9020.002则这组数据模型的经验回归方程的最好选择应是()A．y＝19.8x－463.7 B．y＝e0.27x-3.84C．y＝0.367x2－202 D．y＝xB[∵R2越大，拟合效果越好，∴应选择y+＝e0.27x-3.84．7．某运动制衣品牌为了使成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量(单位：cm)，图1为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，图2为身高(x)与臂展(y)所对应的散点图，并求得其经验回归方程为y＝1.16x－30.75，则下列结论中不正确的为()A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系C．可估计身高为190cm的人臂展大约为189.65cmD．身高相差10cm的两人臂展都相差11.6cmD[对于A，身高极差大约为20，臂展极差大约为25，故A正确；对于B，很明显根据散点图以及经验回归直线得到，身高矮一些，臂展就可能短一些，身高高一些，臂展就可能长一些，故B正确；对于C，身高为190cm，代入经验回归方程可得到臂展的预测值为189.65cm，但是不是准确值，故C正确；对于D，身高相差10cm的两人臂展的预测值相差11.6cm，但并不是准确值，经验回归方程上的点并不都是准确的样本点，故D不正确．]8．某初级中学在课后延时一小时开设相关课程，为了解学生选课情况，在该校全体学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，得到数据如表所示．(附：计算得到χ2≈8.333)项目喜欢音乐不喜欢音乐喜欢体育2010不喜欢体育515参考数据：α0.050.0250.010.0050.001xα3.8415.0246.6357.87910.828根据以上数据，对该校学生情况判断不正确的是()A．估计该校既喜欢体育又喜欢音乐的学生约占2B．从这30名喜欢体育的学生中采用随机数表法抽取6人做访谈，则他们每个个体被抽到的概率为1C．从不喜欢体育的20名学生中任选4人做访谈，则事件“至少有2人喜欢音乐”与“至多有1人不喜欢音乐”为对立事件D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育”与“喜欢音乐”有关系C[对A选项，估计该校既喜欢体育又喜欢音乐的学生约占2050＝25对B选项，每个个体被抽到的概率为630＝15对C选项，“至少有2人喜欢音乐”与“至多有1人喜欢音乐”为对立事件，C错误；对D选项，由χ2≈8.333>7.879，则在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育”与“喜欢音乐”有关系，D正确．故选C．]二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对于样本相关系数r，下列说法不正确的是()A．r越大，成对样本数据的线性相关程度越强B．r＝0，成对样本数据没有任何相关关系C．r刻画了样本点集中于某条直线的程度D．成对样本数据相关的正负性与r的符号(正负)相同AB[样本相关系数r是用来衡量两个变量之间的线性相关程度的，r是一个绝对值小于等于1的量，并且它的绝对值越大就说明相关程度越大，所以A不正确；样本相关系数为0说明两个变量不存在线性相关关系，但这并不意味着两个变量之间不存在其他类型的关系，所以B不正确；C，D的阐述均正确．故选AB．]10．某班级学生开展课外数学探究活动，将一杯冷水从冰箱中取出后静置，在25℃的室温下测量水温y(单位：℃)随时间x(单位：min)的变化关系，在测量了15个数据后，根据这些数据(xi，yi)(i＝1，2，…，15)得到如下散点图：现需要选择合适的回归模型进行回归分析，则根据散点图，合适的回归模型有(注：c1，c2均为常数)()A．y＝25－c1e－c2x B．yC．y＝25－1c1x+c2 D．y＝c1(xAC[题中散点图的特点是y随x的增长而增长，增长的速度越来越慢，且y<25．对于A，当c1>0，c2>0时符合题意；对于B，y＝25＋c1x+c对于C，当c1>0，c2>0时符合题意；对于D，y＝c1(x－25)＋c2的增长速度保持不变，不符合题意．故选AC．]11．工作人员在某地区随机抽取了8对母女的身高数据，如表：母亲身高x/cm154157158159160161162163女儿身高y/cm155156159162161164165166下列说法正确的是()A．8个成对样本数据呈正相关关系B．成对样本数据中变量x和变量y的样本相关系数r约为0.963C．用关于均值x和y为零点(x，y)平移后的成对样本数据(x1－x，y1－y)，(x2－x，y2－y)，…，(x8－x，yD．用样本相关系数r可以估计总体两个变量的相关系数ABD[由成对样本数据可得，x＝18×(154＋157＋158＋159＋160＋161＋162＋163)＝y＝18×(155＋156＋159＋162＋161＋164＋165＋166)＝161i∴r＝＝8059.5×116≈0.963＝8059.5×116≈0.963由r≈0.963>0，8个成对样本数据呈正相关关系，A正确；对于选项C，平移后的成对样本数据所对应平面直角坐标系中的散点图与原始的成对样本数据所对应的散点图形状完全一致，故相关性完全相同，C错误；根据统计学思想，D正确．]12．已知由成对样本数据(xi，yi)，i＝1，2，…，n求得的经验回归方程为y＝1.5x＋0.5，且x＝3，现发现两个样本点(1.2，2.2)和(4.8，7.8)的残差较大，去除后重新求得的经验回归直线l的斜率为1.2，则去除后()A．变量x与y具有正相关关系B．经验回归方程为y＝1.2x＋1.4C．y的估计值的增加速度比原来变快D．样本点(2，3.75)的残差为0.05AB[∵x＝3，去除前的经验回归方程为y＝1.5x＋0.5，∴y＝5．设重新求得的经验回归直线l的方程为y＝a＋bx，则b设新的成对样本数据为(xi′，yi′)，i＝1，2，…，n－2，xi′的平均值为x'，则(n－2)x'＝nx－(1.2＋4.8)＝3n－6＝3((n－2)y'＝ny∴a＝y'－bx′＝5－1.2×故新的经验回归方程为y＝1.2x＋1.4，故B正确．因为1.2<1.5，所以去除后y的估计值的增长速度比原来变慢，故C错误．把x＝2代入新的经验回归方程中，得y＝3.8，3.75－3.8＝－0.05，故D错误．故选AB．]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．13为y＝0.3x＋a，则x≈________，a≈________．(精确到0.01)46.365.55[由题意得xy所以21411＝0.3×51011＋a，可得a≈5.5514．若两个分类变量X与Y的2×2列联表如下：xy合计y1y2x1101525x2401656合计503181则“X与Y之间有关系”这个结论出错的概率为________．0.01[由列联表数据，可求得χ2＝81×10×16-40×15225×56×50×31≈7.22715．如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率．已知该年级男生500名，女生400名(假设所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取23人．则抽取的男生人数为________．15[根据等高堆积条形图可知，喜欢徒步的男生人数为0.6×500＝300，喜欢徒步的女生人数为0.4×400＝160，所以喜欢徒步的总人数为300＋160＝460，按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为300460×23＝15．16．某化工厂产生的废气经过过滤后排放，以模型y＝ce－kt(其中e为自然对数的底数)去拟合过滤过程中废气的污染物浓度ymg/L与时间th之间的一组数据，为求出线性回归方程，设z＝lny，经变换后得到线性回归方程为z＝－t＋3＋ln15，则当经过4h后，预报废气的污染物浓度为____________mg/L．15e[当t＝4时，z＝－1＋ln15＝ln∴y＝ez＝15e．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)期中考试后，对某班60名学生的成绩优秀和不优秀与学生近视和不近视的情况做了调查，其中成绩优秀的36名学生中，有20人近视，另外24名成绩不优秀的学生中，有6人近视．(1)请列出列联表并画出等高堆积条形图，并判断成绩优秀与患近视是否有关系．(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为成绩优秀与患近视之间有关系？附：χ2＝nα0.10.050.010.005xα2.7063.8416.6357.879[解](1)列联表如下：是否近视合计近视不近视成绩优秀201636成绩不优秀61824合计263460等高堆积条形图如图所示，由图知成绩优秀与患近视有关．(2)由列联表中的数据得到χ2＝60×20×18-6×18．(本小题满分12分)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)．附：相关系数r＝，1.896≈1.377．[解](1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x＝0.610＝0.06样本中10棵这种树木的材积量的平均值y＝3.910＝0.39据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06m2，平均一棵的材积量为0.39m3．＝0.2474-10×0.06×0.390.03819．(本小题满分12分)网购已成为当今消费者最喜欢的购物方式之一，某机构对A，B，C，D四家同类运动服装网店的关注人数x(单位：千人)与其商品销售件数y(单位：百件)进行统计对比，得到表格：网店ABCD关注人数x/千人3467销售件数y/百件11122017由散点图得知，可以用经验回归方程y＝bx＋a来近似刻画它们之间的关系．(1)试建立y关于x的经验回归方程；(2)在(1)的回归模型中，请用R2说明销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的．(精确到0.01)[解](1)由表中数据可得x＝3+4+6+74＝5，y＝11+12+20+174i＝320-300110-所以a＝y－bx＝15－2×5故经验回归方程为y＝2x＋5．(2)说明销售件数的差异有74%程度是因关注人数引起的．20．(本小题满分12分)某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下对应数据：单价x/元35404550日销售y/台56412811(1)画出散点图并说明y与x是否具有线性相关关系？如果有，求出经验回归方程(方程的斜率保留一个有效数字)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．[解](1)散点图如图所示：从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关关系．设经验回归方程为y＝a＋bx，由题意知x＝42.5，则求得＝-370125≈－a＝y－bx＝34－(－3)×42.5所以y＝－3x＋161.5．(2)依题意有：P＝(－3x＋161.5)(x－30)＝－3x2＋251.5x－4845＝－3x-251.562＋所以当x＝251.56≈42时，P即预测销售单价约为42元时，能获得最大日销售利润．21．(本小题满分12分)已知某校5名学生的数学成绩和物理成绩如下表：学生的编号i12345数学成绩xi807570656