新教材同步备课2024春高中数学第8章8.2一元线性回归模型及其应用8.2.1一元线性回归模型8.2.2第1课时一元线性回归模型及参数的最玄乘估计学生用书新人教A版选择性必修第三册

第1课时一元线性回归模型及参数的最小二乘估计学习任务1．了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义．(数学抽象)2．了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法．(数学抽象)3．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．(数据分析、数学运算)某地区从某一年开始进行了环境污染整治，得到了如下数据：第x年1234567污染指数y6.15.24.54.73.83.43.1作出这些成对数据的散点图，判断污染指数y与x是否线性相关？在知道y与x线性相关的前提下，你能找出近似描述y与x之间关系的一次函数表达式吗？根据所得到的关系式，你能估计出该地区第8年的污染指数吗？知识点1一元线性回归模型Y=bx+a+e，Ee=0，De=σ2，为Y关于x的一元线性回归模型．其中，Y称为________或________，x称为________或________．a和b1．具有相关关系的两个变量，其样本点散布在某一条直线y＝bx＋a的附近，可以用一次函数y＝bx＋a来描述两个变量之间的关系吗？知识点2经验回归方程(1)有关概念y＝bx＋a称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为________，求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b，a叫做(2)计算公式b＝________＝，a＝________(1)经验回归直线过点(x，y)，不一定过成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(2)经验回归直线的截距a和斜率b都是通过样本估计而得的，存在着误差，这种误差可能导致预报结果的偏差．(3)经验回归方程y＝ax＋b中的b表示x增加1个单位时，y的平均变化量为b，而a表示2．正相关、负相关与b的符号有何关系？1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)随机误差是一个随机变量． ()(2)经验回归方程最能代表观测值x，y之间的线性关系，且回归直线过样本点的中心(x，y)． ((3)求经验回归方程前可以不进行相关性检验． ()(4)利用经验回归方程求出的值是准确值． ()2．下列有关经验回归方程y＝bx＋a①反映y与x之间的函数关系；②反映y与x之间的函数关系；③表示y与x之间不确定关系；④表示最接近y与x之间真实关系的一条直线．3．某地区近十年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合y＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是________亿元．类型1一元线性回归模型的理解【例1】在一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，下列说法正确的是()A．Y＝bx＋a＋e是一次函数B．响应变量Y是由解释变量x唯一确定的C．响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生[尝试解答]明确一元线性回归模型的含义是解题的关键，其中a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差．[跟进训练]1．关于一元线性回归模型Y=bx+a+e，①表达式Y＝bx＋a＋e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系；②bx＋a反映了由于x的变化而引起的Y的线性变化；③误差项e是一个期望值为0的随机变量，即E(e)＝0；④对于所有的x值，e的方差σ2都相同．其中正确的是________(填序号)．类型2求经验回归方程【例2】随着网络的普及，网上购物的方式已经受到越来越多年轻人的青睐，某家网络店铺商品的成交量x(单位：件)与店铺的浏览量y(单位：次)之间的对应数据如表所示：x/件24568y/次3040506070(1)根据表中数据画出散点图；(2)根据表中的数据，求出y关于x的经验回归方程；(3)当这种商品的成交量突破100件(含100件)时，预测这家店铺的浏览量至少为多少．[尝试解答]求经验回归方程的基本步骤(1)画出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系；(2)(3)代入公式求出y＝bx＋a(4)写出经验回归方程并对实际问题作出估计．提醒：只有在散点图大致呈线性时，求出的经验回归方程才有实际意义．[跟进训练]2．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，该地一银行连续五年年底的储蓄存款情况如表所示．年份x20182019202020212022储蓄存款额y/千亿元567810为了计算方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令t＝x－2017，z＝y－5，得到下表．t12345z01235(1)作z关于t的散点图，求z关于t的经验回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程．[尝试解答]类型3利用经验回归方程进行预测【例3】(源自湘教版教材)一个车间为了估计加工某种新型零件所花费的时间，进行了10次试验，测得的数据如表所示：零件个数x102030405060708090100加工时间y/min626875818995102108115122(1)y与x之间是否具有相关关系？(2)如果y与x之间具有相关关系，求经验回归方程(结果保留三位小数)．(3)据此估计加工110个零件所用的时间．[尝试解答](1)判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画散点图．(2)求经验回归方程，注意运算的正确性．(3)根据经验回归方程进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差．[跟进训练]3．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得如表数据：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程y＝(3)试根据求出的经验回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．参考公式：b＝，a＝y－bx．1．某样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的经验回归方程为y＝0.5x＋0.7，当x＝8时，y的实际值为4.5，则当x＝8时，预测值与实际值的差值为()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.42．对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，8)，其经验回归方程为y＝16x＋a，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝6，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝9，则a的值为(A．－2 B．2C．－1 D．13．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的经验回归方程：y＝0.254x＋0.321．由经验回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．4．如图是一组数据(x，y)的散点图，经最小二乘估计公式计算，y与x之间的经验回归方程为y＝bx＋1，则b＝________．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．经验回归直线一定过哪个点？2．y与x正、负相关的充要条件各是什么？3．b的实际意义是什么？“回归”一词的由来统计学中的“回归”一词，是统计学家高尔顿引入的．早在19世纪80年代，高尔顿就开始了亲代与子代(即父母亲与子女)之间相似特征(身高、性格等)的研究．他收集了一些亲代的身高x与子代的身高y的成对数据，并作出了散点图，发现y与x的关系可以借助一次函数来近似表示，而且总体上亲代的身高增加时，子代的身高也增加．但是，高尔顿在研究过程中，发现了一个有趣的现象．他收集的数据显示，总体上亲代的平均身高为68英寸(约为172.72cm)，子代的平均身高为69英寸，子代的平均身高比亲代的平均身高大1英寸(约为2.54cm)．于是，一个自然的推想是：平均身高为63英寸的亲代，其子代的平均身高应约为64英寸；平均身高为72英寸的亲代，其子代的平均身高应约为73英寸．但实际数据显示：平均身高为63英寸的亲代，其子代的平均身高为67英寸，增加量为4英寸；平均身高为72英寸的亲代，其子代的平均身高为71英寸，增加量为－1英寸．也就是说，平均身高不同的亲代，其子代的平均身高增加量并不相等，但子代的平均身高有回归于中心(即总体平均值)的趋势．正是由于这种现象的存在，高尔顿引入了“回归”一词．虽然不是所有相关关系中都会发生类似的现象，但从那以后，“回归”就成了相关关系讨论中一个约定俗成的词了．第1课时一元线性回归模型及参数的最小二乘估计[必备知识·情境导学探新知]知识点1因变量响应变量自变量解释变量截距斜率e思考1提示：不能．知识点2(1)经验回归直线(2)y－思考2提示：Y与X正相关的充要条件是b>0，Y与X负相关的充要条件是b<0．课前自主体验1．(1)√(2)√(3)×(4)×2．①④[y＝bx＋a表示y与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数关系，但它反映的关系最接近y与x之间的真实关系，故3．12.1[∵y＝0.8x＋0.1，∴y＝0.8×15＋0.1＝12.1(亿元)．][关键能力·合作探究释疑难]例1C[对于A中，一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，方程表示的不是确定性关系，因此不是一次函数，所以A说法错误；对于B中，响应变量Y不是由解释变量x唯一确定的，所以B错误；对于C中，响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生，所以C正确；对于D中，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，所以D错误．故选C．]跟进训练1．①②③④[根据一元线性回归模型的含义可知，以上说法均正确．]例2解：(1)散点图如图所示．(2)根据散点图可得，变量x与y之间具有线性相关关系．根据数据可知，代入公式得b＝＝1390-5×5×50145-5故所求的经验回归方程是y＝7x＋15．(3)根据上面求出的经验回归方程，当成交量突破100件(含100件)，即x＝y-157≥100时，y≥715，所以预测这家店铺的浏览量至少为跟进训练2．解：(1)作散点图，直观看z与t具有线性相关关系．根据z关于t的表格数据，得t＝15(1＋2＋3＋4＋5)z＝15(0＋1＋2＋3＋5)且∴b＝＝45-5×a＝z－bt＝2.2－1.2×3所以z关于t的经验回归方程为z＝1.2t－1.4．(2)z＝1.2t－1.4，代入t