第三章 圆锥曲线的方程 章末重难点归纳总结（解析版）

第三章圆锥曲线的方程章末重难点归纳总结考点一定义及应用【例1-1】（2023·陕西西安）若抛物线（）上一点到焦点的距离是，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设焦点为，则，解得．

故选：D【例1-2】（2023·广东梅州）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆的一个交点为，若，则的面积为（

）A． B． C．4 D．【答案】D【解析】椭圆中，，由及椭圆定义得，

因此为等腰三角形，底边上的高，所以的面积为.故选：D【例1-3】（2022秋·江苏徐州·高二统考期中）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为等轴双曲线的左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，所以可设双曲线的方程为，又因为双曲线的焦距为8，所以，而，所以，故双曲线的标准方程为.由双曲线的定义可知，，由题意可知，，，，所以,故的最大值为，当且仅当三点共线且点位于第一象限时取得最大值.故选：B

【一隅三反】1．（2023·广东东莞）抛物线的顶点为原点，焦点为，则点到抛物线上动点的距离最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】抛物线的焦点为，所以抛物线的方程为，且，所以抛物线的方程为，设，则，所以当时，取得最小值为.故选：B2．（2023·全国·高二课堂例题）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点A坐标为，则的最小值为（

）A．4 B．3 C． D．【答案】A【解析】由拋物线知，则，准线l方程为．如图所示，点A在抛物线内，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为点，过点A作于点H．

由抛物线的定义得，所以，当且仅当点P是线段AH与抛物线的交点（即A，P，H三点共线）时取等号．故的最小值为．故选：A3．（2023秋·四川资阳·高二统考期末）设是椭圆的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的最大值为.【答案】11【解析】由题意可得，，所以,因为，所以;因为，所以.故答案为：11.

4．（2023·全国·高二课堂例题）双曲线C：的左、右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，点P关于原点的对称点为Q，则.【答案】4【解析】由题意.如图，

连接，，则点Q在双曲线C的左支上，由双曲线的对称性知，，，所以四边形为平行四边形，所以，所以由双曲线的定义得.故答案为：4考点二标准方程【例2-1】（2023秋·高二课时练习）F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．1或D．1或【答案】D【解析】当焦点在x轴上时，，因为，所以，，所以，所以椭圆方程为；同理，当焦点在y轴上时，椭圆方程为.故选：D

【例2-2】．（2023·浙江）已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设双曲线的方程为（），代入点，得，故所求双曲线的方程为，其标准方程为．故选：A．【例2-3】（2023秋·高二课时练习）顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点，则它的方程是（

）A．或B．或C．D．【答案】A【解析】当抛物线的焦点在轴上时，设抛物线的方程为．因为抛物线过点，记为点，如图，所以，所以、所以抛物线的方程为；当抛物线的焦点在轴上时，设抛物线的方程为．因为抛物线过点，所以，所以，所以抛物线的方程为．故选：A.【一隅三反】1．（2023秋·甘肃临夏·高二校考期末）（1）若椭圆的焦点坐标为，且椭圆经过点，求椭圆的标准方程．（2）与椭圆有公共焦点，且经过点，求双曲线的标准方程．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）椭圆焦点坐标为，可设椭圆方程为：，又椭圆经过点，且，，椭圆的标准方程为：；（2）由椭圆方程知：焦点坐标为，则可设双曲线方程为：，，又双曲线经过点，，又，解得：，双曲线的标准方程为：.2．（2023春·陕西渭南·高二校考期中）已知曲线C的方程：(1)当m为何值时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆？(2)当m为何值时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线？【答案】(1)(2)【解析】（1）根据题意可得，解得：，所以当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆.（2）由题可知，，得，所以当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线.3．（2023·江苏·高二假期作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)，经过点；(2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点；(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．【答案】(1)．(2)(3)【解析】（1）由，当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为，把点A的坐标代入，得，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为，把点A的坐标代入，得．故所求双曲线的标准方程为．（2）法一：∵双曲线1的焦点在轴上，∴设所求双曲线的标准方程为，∴，即．①∵双曲线经过点，∴．②由①②得，故双曲线的标准方程为．法二：设所求双曲线的方程为．∵双曲线过点，∴，解得或（舍去）．故双曲线的标准方程为．（3）设双曲线的方程为．∵点在双曲线上，∴，解得，故双曲线的标准方程为．考点三直线与曲线的位置关系【例3-1】（2023秋·全国·高二期中）椭圆与直线的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定【答案】B【解析】直线过定点在椭圆内，故直线与椭圆相交.故选:B.【例3-2】（2023·全国·高二课堂例题）直线与双曲线的交点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】方法一：联立直线与双曲线的方程，，得，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点.方法二：由，得，所以双曲线的渐近线方程为，因为直线是双曲线的一条渐近线，因此交点个数为0.故选：A【一隅三反】1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨七十三中校考期中）双曲线与直线的公共点的个数为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，当时，直线与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点；当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有一个交点.故选：C

2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨七十三中校考期中）直线与双曲线交点的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】由题知，双曲线的渐近线方程为，所以直线与双曲线的一条渐近线平行，由图可知，直线l与双曲线有且只有一个交点.故选：B

3．（2023秋·高二课时练习）直线与抛物线的公共点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．无数【答案】B【解析】因为直线与抛物线的对称轴平行，故直线与抛物线只有一个公共点．故选：B.考点四弦长【例4-1】（2023·全国·高二课堂例题）过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长．【答案】8【解析】由双曲线，得，，焦点为，倾斜角，法一：直线斜率，直线方程为，联立消得，，由韦达定理知，代入弦长公式，得.法二：.故答案为：8.【例4-2】（2023春·贵州遵义·高二统考期中）已知抛物线的焦点为F，已知第一象限的点A在抛物线上，连接AF并延长交抛物线于另一点B，且，则的面积是.【答案】【解析】抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知：，过A做，由，，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，∴直线AB的斜率为，直线AB的方程为，联立直线AB与抛物线的方程可得：，整理得：，由韦达定理可知：，则，而原点到直线AB的距离为，则三角形AOB的面积，故答案为：．

【一隅三反】1．（2023·江苏·高二假期作业）如图，已知斜率为－2的直线经过椭圆C：的左焦点，与椭圆相交于A，B两点，求：

(1)线段的中点M的坐标；(2)的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意知椭圆的左焦点的坐标为,直线的方程为,联立,消去,得,设,,得,,设线段的中点M的坐标为，,点M的坐标为.（2）.2．（2022秋·江苏盐城·高二校联考期中）经过双曲线的左焦点作斜率为2的弦AB，求：(1)线段的长；(2)设点为右焦点，求的周长.【答案】(1)30(2)64【解析】（1）由题意得直线AB的方程为,代入双曲线方程可得,设，则即的长为（2）由双曲线的定义得=，则的周长为=..3．（2023秋·高二课时练习）经过点作直线交双曲线于两点，且为中点．(1)求直线的方程．(2)求线段的长．【答案】(1)(2)【解析】（1）设，代入双曲线方程得，两式相减得，即，因为为的中点，所以，所以，所以直线的斜率为所以的方程为，即，经验证符合题意，所以直线的方程为；（2）将代入中得，故，所以.4．（2023·河南开封）已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E上一点H的纵坐标为5，O为坐标原点，．(1)求抛物线E的方程；(2)抛物线上有一条长为6的动弦长为6的动弦AB，当AB的中点到抛物线的准线距离最短时，求弦AB所在直线方程．【答案】(1)(2)或【解析】（1）∵H纵坐标为5，不妨设在第一象限内，∴，过H做轴于M，∵，∴，∴，解得．∴所以抛物线E的方程为．

（2）根据题意直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，设，，AB中点，由，，，，，∴，则∴，∵AB的中点到准线的距离等于，∴当最小时，AB的中点到准线的距离最短．∵，当且仅当时，解得，则．所以直线AB的方程为或.考点五离心率与渐近线【例5-1】（2023秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）直线l经过椭圆的两个顶点，若椭圆中心到l的距离为其长轴长的，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】不妨设椭圆为且，，由椭圆对称性，令过，则，即，所以，则，即，故.故选：D【例5-2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）双曲线：的渐近线恰好与曲线相切，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设双曲线的渐近线为，代入联立可得，由条件可知，故，故，则的离心率为.故选：C【一隅三反】1．（2024秋·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意双曲线的一条渐近线与直线垂直，得，即，则.，故选：B.2．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，又由圆的圆心为，半径为，因为一条渐近线被圆所截得的弦长为，可得，所以，即，所以．故选：B．3．（2023·全国·高二课堂例题）下列有关双曲线与的说法正确的是（

）A．有公共顶点 B．有公共渐近线 C．有公共焦点 D．离心率相等【答案】B【解析】对于双曲线，顶点坐标为，渐近线方程为，焦点坐标为，离心率为，对于双曲线，顶点坐标为，渐近线方程为，焦点坐标为，离心率为，因此，这两个双曲线有相同的渐近线，故选：B.4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）圆（为原点）是半径为的圆分别与轴负半轴､双曲线的一条渐近线交于两点（在第一象限），若的另一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【解析】如图所示，由双曲线的渐近线方程为，联立方程组，解得，因为且另一条渐近线与直线垂直，可得，整理得，又由，所以，解得，所以离心率为.故选:B.

考点六曲线的实际应用【例6-1】（2023秋·河北保定·高二统考期末）（多选）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论正确的（

）A．卫星向径的取值范围是B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越圆【答案】ABC【解析】A选项：根据椭圆的定义可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确；B选项：因为运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，卫星在左半椭圆弧运动时向径大于在右半椭圆弧运动时的向径，所以卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；C选项︰因为卫星运行速度是变化的，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，故C正确；D选项：设e为椭圆得离心率，卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即越小，则e越大，椭圆越扁，故D不正确，故选：．【一隅三反】1．（2022秋·江苏无锡·高二无锡市第一中学校考期中）（多选）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为右焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长､焦距分别为､，下列结论正确的是（

）A．卫星向径的取值范围是B．卫星运行速度在远地点时最小，在近地点时最大C．卫星在左半椭圆弧的运行时间小于其在右半椭圆弧的运行时间D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越圆【答案】AB【解析】A选项，由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，卫星向径的取值范围是，，故A正确；B选项，因为运行速度是变化的，速度的变化服从卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫