第三章 圆锥曲线的方程 章末测试（提升）（解析版）

第三章圆锥曲线方程章末测试（提升）单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)1．（2023春·贵州黔西·高二校考期中）若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】双曲线的渐近线方程为，记点，由题意可知，点为双曲线的右焦点，易知直线与直线垂直，且，所以，，可得，因此，该双曲线的离心率为.故选：C.2．（2023秋·高二课时练习）若抛物线上两点，关于直线对称，且，则实数的值为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为抛物线上两点，关于直线对称，故和直线垂直，所以，故，又，所以，故中点坐标是，即，代入，解得.故选：D3．（2023·湖北武汉）已知P是椭圆上动点，则P点到直线的距离的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】将椭圆化为参数方程为（为参数），设，则P点到直线的距离为，当时，取得最小值，故选：D4．（2023春·福建厦门·高二统考期末）如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为4m，深度为0.5m，则该抛物线顶点到焦点的距离为（

）

A．0.25m B．0.5m C．1m D．2m【答案】D【解析】以该抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：

设此抛物线方程为，依题意点在此抛物线上，所以，解得，则该抛物线顶点到焦点的距离为.故选：D5．（2023春·江苏南京·高二统考期末）直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】圆，圆心，半径，因为直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，所以，又双曲线，则，，右焦点为，所以，又，即，所以，当点在右顶点时取等号，即，所以的最小值为，故选：D.

6．（2022秋·高二课时练习）过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（）A．一条 B．两条C．三条 D．四条【答案】C【解析】双曲线的右焦点为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线可得：，即，满足条件；当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，代入双曲线可得：，方程的判别式，设，则：，，所以化简可得：，解得：，

所以斜率存在且满足条件的直线有条，所以共有条，故选：C.方法二：过右焦点且垂直于实轴的弦长为，因为，所以当直线l与双曲线的两交点都在右支上时这样的直线只有一条.又实轴长为，，所以当直线l与双曲线的两交点分别在左、右两支上时这样的直线应该有两条，所以满足条件的直线共三条.故选：C.7．（2022秋·高二校考课时练习）已知P为椭圆上的点，为其两个焦点，则使的点P有（

）A．4个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】D【解析】

由已知可得，，，，所以，.设点，假设存在点使得，即，即，即有.联立，可得，显然无解.所以，假设错误，即不存在点使得，所以，使的点P有0个.故选：D.8．（2023春·江西宜春·高二校联考期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为离心率为，则，则，所以双曲线方程为，设，则①，因为，所以，所以②，又因为的面积为，所以，即，所以③，由②③得④，将④③代入①得，，所以.故选：D.二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）9．（2022秋·江苏徐州·高二统考期中）若方程所表示的曲线为，则下列命题正确的是（

）A．若曲线为双曲线，则或B．若曲线为椭圆，则C．曲线可能是圆D．若曲线为焦点在轴上的椭圆，则【答案】ACD【解析】对于A，方程表示双曲线，则，解得或，故A正确；对于B，方程表示椭圆，则，解得且，故B错误；对于C，当时，方程表示圆，故C正确；对于D，方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故D正确；故选：ACD10．（2023春·福建福州·高二校考期中）已知为抛物线上一动点，则（

）A．准线为l：B．存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离C．点P到直线距离的最小值等于D．的最小值为6【答案】BCD【解析】因为为抛物线上一动点，抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义可知，到焦点的距离等于到准线的距离，故A错误，B正确；点到直线的距离为，当时，，故C正确；设点到准线的距离为，到准线的距离为，则，故D正确.

故选：BCD.11．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）已知椭圆E：的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为P，若过且倾斜角为的直线l交椭圆E于A，B两点，的周长为8，则（

）A．直线的斜率为 B．椭圆E的短轴长为4C． D．四边形的面积为【答案】ACD【解析】对于选项A：设椭圆的半焦距为，因为，解得，可知，直线的斜率为，故A正确；对于选项B：由选项A可知：，且，则为等边三角形，由题意可知：，即直线l为的角平分线，则点关于直线l对称，所以的周长为8，则，可得，所以椭圆E的短轴长为，故B错误；对于选项C：因为，所以，故C正确，对于选项D：因为直线l的方程为，椭圆方程为，设，联立方程，消去x得，则，可得，则，点直线l的距离为，所以四边形的面积为，故D正确；故选：ACD.

12．（2024秋·贵州·高三统考开学考试）过抛物线C：的焦点F作两条互相垂直的直线和，设直线交抛物线C于A，B两点，直线交抛物线C于D，E两点，则可能的取值为（

）A．18 B．16 C．14 D．12【答案】AB【解析】由题意可知直线，的斜率均存在且均不为0．因为抛物线C的焦点为，所以不妨设的斜率为k，则：，：．由消去y得．设，，则．由抛物线的定义，知．同理可得，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，故选：AB．

三、填空题(每题5分，4题共20分)13．（2023春·江西吉安·高二校联考期末）已知双曲线​的实轴端点分别为​，点是双曲线上异于​另一点，则​与​的斜率之积为【答案】/【解析】设,，，且，，，则，，所以，所以与的斜率之积为，故答案为：．14．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为．【答案】【解析】依题意，，即，所以，从而，即，所以，又，所以椭圆离心率的取值范围是．故答案为：15．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）过抛物线的焦点的直线与交于两点，设两点关于轴对称，若的面积为6，则.【答案】【解析】不妨设在上方，如图所示：

抛物线的焦点，设直线的方程为，，则则，所以，恒成立，所以①，②由于，则③联立①②③可得：，则所以所以或（舍）.故答案为：.16．（2023秋·云南临沧·高二校考期末）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率是．【答案】/【解析】由双曲线方程可得其渐近线方程为：，直线为双曲线的通径，则由得，则，由得，则由得：即所以，所以离心率故答案为：四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）17．（2023·陕西榆林）已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且椭圆过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若与直线为坐标原点)平行的直线交椭圆于两点，且，求直线的方程．【答案】(1)(2)【解析】（1）∵抛物线C的焦点坐标为，∴椭圆E的右焦点也为，即，由椭圆E过点，得，联立，解得故椭圆E的标准方程为．（2）直线OP方程为，则直线AB方程为，，．将直线AB的方程代入椭圆E的方程并整理得，由，得，∴，．

由，得，则，解得，故直线AB的方程为．18．（2023春·广东深圳·高二校考期中）已知焦点在轴上椭圆，长轴长，离心率.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知，过原点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，，所以，，，又因为椭圆焦点在轴上，所以椭圆方程为.（2）设，，直线的方程为，将直线的方程与曲线的方程联立，得，消去得，所以，，又因为点到直线的距离，所以的面积，因为，所以（当且仅当时等号成立），所以的面积，即面积的最大值为.19．（2023·云南昭通·高二校考期中）已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称，证明：直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）依题意，设椭圆的方程为.∵椭圆过点两点，解得

∴椭圆的标准方程为.（2）证明：由题意知直线的方程为，代入，得，设，则.∵点与关于轴对称，，∴直线的方程为.令，得，∴直线过定点.

20．（2023秋·湖南长沙·高三长沙市南雅中学校考开学考试）已知动圆过定点，且在y轴上截得弦长为4.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)过点的直线l与轨迹C交于A，B两点，若点满足直线PA与直线PB的倾斜角互补，求的值.【答案】(1)；(2)2.【解析】（1）如图，设动圆圆心，令圆截y轴所得弦为，有，当不在轴上时，过作交于，则是的中点，

于是，化简得，当在轴上时，动圆过定点，且在轴上截得弦的长为4，则与原点重合，即点也满足方程，所以动圆圆心的轨迹的方程为.（2）设直线的方程为，

由直线与的倾斜角互补，知直线与的斜率存在，并且互为相反数，则，因此，由消去x并整理得，有，于是，即.所以.21．（2023·陕西西安）已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B．

(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；(2)设直线MA，MB的斜率分别为，，证明：为定值．【答案】(1)抛物线C的标准方程为，准线方程为(2)证明见解析【解析】（1）因为，所以，所以，可得椭圆的右焦点为，可