第六章 计数原理综合测试卷（解析版）

第六章计数原理综合测试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（

）A．7 B．12 C．18 D．24【答案】B【解析】从4名男生与3名女生中选两人，其中男女各一人，由分步计数原理，可得不同的选派方法数为种.故选：B.2．五一小长假期间，旅游公司决定从6辆旅游大巴A､B､C､D､E､F中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个景区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这6辆大巴中A､B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（

）A．360 B．240 C．216 D．168【答案】B【解析】这6辆旅游大巴，A､B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有种.故选：B.3．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由组合数性质知，，所以，所以，得.故选：A.4．二项式的展开式中的系数为（

）A．128 B．56 C． D．【答案】B【解析】的展开式的通项公式为，令，解得，故的系数为.故选：B.5．某科技小组有6名学生，其中男生4人，女生2人，现从中选出3人去参观展览，则至少有一名女生入选的不同选法种数为（

）A．12 B．16 C．18 D．24【答案】B【解析】分两类：一类是选1个女生，则有种；另一类是选2个女生，则有种.所以不同选法种数共有.故选:B.6．设的小数部分为x，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由，得的整数部分为4，则，所以，即，故.故选:B7．某中学进行数学竞赛选拔考试，，，，，共5名同学参加比赛，决出第1名到第5名的名次.和去向教练询问比赛结果，教练对说：“你和都没有得到冠军．”对说：“你不是最后一名.”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（

）A．54种 B．72种 C．96种 D．120种【答案】A【解析】根据题意可知和都没有得到冠军，且不是最后一名，分两种情况：①是最后一名，则可以为第二、三、四名，即有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况；②不是最后一名，，需要排在第二、三、四名，有种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，此时有种名次排列情况，则5人的名次排列方式共有种.故选A．8．在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，途经C地，则不同的路线有（

）A．90种 B．105种 C．260种 D．315种【答案】B【解析】由题可知，不同的路线有种．故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．甲乙丙等人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（

）A．甲乙不相邻的不同排法有种B．甲乙中间恰排一个人的不同排法有种C．甲乙不排在两端的不同排法有种D．甲在乙左侧（可以不相邻）的不同排法有种【答案】BC【解析】A：甲乙不相邻的不同排法有种，所以本选项不正确；B：甲乙中间恰排一个人的不同排法有种，所以本选项正确；C：甲乙不排在两端的不同排法有种，所以本选项正确；D：甲在乙左侧（可以不相邻）的不同排法有种，所以本选项不正确.故选：BC10．在的展开式中，则（

）A．所有项的系数和为0 B．二项式系数最大的项为第3项和第4项C．所有项的二项式系数和为64 D．常数项为【答案】BD【解析】A：设，所有项的系数为，所以，故A错误；B：所有项的二项式系数为，最大的为和，对应的是第3项和第4项，故B正确；C：所有项的系数之和为，所以C错误.D：二项式展开式的通项公式为，令，解得，所以常数项为，故D正确.故选：BD.11．6本不同的画册要分给甲､乙､丙三人，每人最少一本，则下列说法正确的为（

）A．甲分得4本，则不同的分法有30种B．甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则不同的分法有60种C．每人2本，则不同的分法有540种D．甲至少分得3本，则不同的分法有150种【答案】ABD【解析】对于A，不同分法有种，故A正确；对于B，不同的分法有60种，故B正确；对于C，不同的分法有种，故C错误；对于D，若甲分得3本，则不同的分法有种，若甲分得4本，则不同的分法有30种，故共有种，故D正确．故选：ABD.12．已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（

）A．所有奇数项的二项式系数和为 B．二项式系数最大的项为第7项C．所有项的系数和为 D．有理项共5项【答案】ABD【解析】因为，所以，所有奇数项的二项式系数和为，故A正确；由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故B正确；令，得所有项的系数和为，故C错误；因为展开式通项为，当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确．故选：ABD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．星期二下午的3节课排物理､化学和自习课各一节，要求第一节不排自习课，那么不同的排课方法种数为．（用数字作答）．【答案】4【解析】将安排分为3步，第一步先安排第一节有2种方法，第二步排第二节有2种方法，第三步排第三节只有1种方法，故不同的排课方法种数为：.故答案为：414．的展开式中含的项的系数为.【答案】960【解析】的展开式的通项为，故令，可得的展开式中含的项的系数为：.故答案为：960.15．若，且，则的值为.【答案】【解析】由题意得的展开式中的常数项与一次项系数相等，则，解得或0（舍去）.故答案为：16．将2个男生和4个女生排成一排，要求2个男生都不与女生甲相邻的排法有种.【答案】288【解析】先将除甲外其它3个女生排一排有种，共有4个空，若2个男生与女生甲排一起有种，再将他们插入上述4个空中的一个有种，此时，共有种；若2个男生中的一个与女生甲排一起有种，再将他们和另一个男生插入上述4个空中的两个有种，此时，共有种；又6个人做全排列有种，故2个男生都不与女生甲相邻的排法有种.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）现有10个运动员名额，作如下分配方案.(1)平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？(2)分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？【解析】（1）根据平均分配规律，则平均分配5个组共有种方案.（2）10名运动员排成一排，中间形成9个空隙，选6个位置插入隔板，则分成7组，故分配方案共有种.18．（12分）在二项式的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有偶数项系数之和；(4)系数绝对值之和.【解析】（1）设二项式系数之和为（2）设，则各项系数之和为，令得（3）由（2）知令可得:将两式相减,可得:，故所有偶数项系数之和为.（4）方法一:令则方法二:即为展开式中各项系数和，令得故系数绝对值之和为.19．（12分）从等7人中选5人排成一排.（以下问题的结果均用数字作答）(1)若必须在内，有多少种排法？(2)若都在内，且必须相邻，与都不相邻，有多少种排法？【解析】（1）根据题意，若必须在内，在其余6人中选出4人，再与全排列，共有种排法.（2）根据题意，先在其他4人中选出2人，有种选法，将看成一个整体，与选出2人全排列，有种选法，排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排，有种情况，所以，共有种不同的排法.20．（12分）（1）解关于x的不等式．（2）求等式中的n值．【解析】（1）由，得，，于是，整理得，解得，所以.（2）原方程变形为，即，显然，因此，化简