第三讲 数形结合思想在三角函数中的应用（原卷版）

第3讲数形结合思想在三角函数中的应用我国著名数学家华罗庚曾针对数形结合思想作了一首著名的诗：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”数形结合，主要指的是数与形之间的一种对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，达到“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题形象化。在三角函数的学习过程中，如三角函数的定义域，值域，周期性，奇偶性，单调性，对称性等都可以从三角函数的图象上直观的显现出来，而利用三角函数的图象又非常容易理解三角函数的这些性质。因此，明确研究三角函数问题都可用代数和几何相结合的思想方法，即数形结合思想，来拓宽思维空间，提高解决问题的能力。例如数形结合思想在含绝对值的三角函数、在三角函数已知零点或极值点求ω及在三角函数求交点个数（解的个数、交点横坐标之和）、方程的根及零点个数（零点之和）中都有广泛的重要应用，而本文会重点就数形结合思想在三角函数中的几类应用展开详细讲解。【应用一】数形结合思想在含绝对值的三角函数中的应用我们在学习三角函数的图象与性质时，经常会遇到给定（）的函数解析式，求周期、最值、单调区间、对称轴、对称中心及判断奇偶性，此时我们可以直接利用公式或整体思想计算而得。但有时也会遇到这样一类题，给定的三角函数解析式中含有绝对值，例如：、、、等，此时仍然考查周期、最值、单调区间、对称轴、对称中心及判断奇偶性，那么我们该如何求解呢？面对这类题，如果我们能把对应三角函数的图象画出来，借助数形结合思想则可求解上述问题，例如下面这道例题：【例1】（2023春·山东·高三统考）已知函数，下列结论正确的是（

）A．函数图像关于对称B．函数在上单调递增C．若，则D．函数的最小值为通过观察及上述方法介绍的学习，本题用数形结合思想来求解，那么我们应该怎么去化简函数和画出图象呢？首先先分类讨论去绝对值，当时，即，当时，即，即可绘出函数图像，如下所示：结合图象即可得到答案【思维提升】通过本题我们不难发现，对于给定、、、等函数解析式,可以先去掉绝对值，再画出图象，从而利用数形结合思想来求解相关问题，可通过学习这一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究稍复杂型带绝对值的同类题型求解。【变式1.1】（2022·湖南·校联考三模）已知函数，现有下述四个结论：①的最小正周期为；②曲线关于直线对称；③在上单调递增；④方程在上有4个不同的实根.其中所有正确结论的编号是（

）A．②④ B．①③④ C．②③④ D．①②④【变式1.2】（2022·安徽·高三模拟）（多选）已知函数，，则下列说法正确的是（

）A．的增区间为，B．的对称轴为，C．，使得对恒成立D．，若，则，【变式1.3】（2023春·安徽合肥·高一合肥市第八中学校考期中）（多选）已知函数，下列说法正确的是（

）A．的最正周期为B．若，则C．在区间上是增函数D．的对称轴是【应用二】数形结合思想在三角函数已知零点或极值点求ω的应用我们在学习三角函数图象与性质及三角恒等变换综合时，会遇到这样一类题，给出对应的三角函数的解析式，已知单调性、奇偶性或对称性求ω的范围，我们可以借助整体思想求解即可。但有时也会遇到这样一类题，给定三角函数在确定区间内有几个零点或几个极值点求ω的范围，那么此时我们应该如何求解呢？考虑到题干当中已经给出了确定的零点或极值点个数，如果我们能画出图象，并且能够直观的从图象中读出零点或极值点个数，从而确定区间范围，再而可确定参数ω的范围，则所求问题可求解，那么问题关键是我们能不能作出图象？又该怎样作出图象呢？我们还是可以结合三角函数的图象和性质借助五点作图法来作图，不妨先看下面这道例题：【例2】（2022秋·山西运城·高三校考）已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．观察本题，角度是统一的，但函数名及次数不统一，我们可以先用辅助角公式把函数名统一，即，此时我们可以换元作图，令，由，则，则，，作图如下：有4个零点和1个极大值点，即右端点即可求解【思维提升】通过本题我们不难发现，在三角函数已知零点或极值点求ω,往往可以数形结合思想来作图求解，如较复杂型函数则可通过诱导公式或三角恒等变换公式,将其转化为形如（）等形式，进而结合三角函数图象与性质可求解，可通过学习这一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究三角函数中已知的其他综合条件来求ω的综合问题。【变式2.1】（2022秋·北京·高三统考阶段练习）设函数在区间上恰有两个极值点和三个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2.2】（2023·全国·高二专题练习）已知函数在区间恰有3个零点，4个极值点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式2.3】（2022·江苏高三校考阶段练习）已知函数在内有且仅有3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【应用三】数形结合思想在三角函数求交点个数（解的个数、交点横坐标之和）、方程的根及零点个数（零点之和）中的应用我们在学习函数的应用时学习到函数零点的定义和函数零点存在性定理的应用，我们知道求函数的零点可以等价转化为对应方程的根或图象交点的横坐标。而在学习三角函数的图象与性质时，我们仍然会遇到已知关于三角函数的解析式求交点个数（解的个数、交点横坐标之和）、方程的根及零点个数（零点之和）的系列问题。在学习函数应用时我们也曾作出图象求解，那么在三角函数的相关问题求解中，我们同意可以利用数形结合思想求解，例如下面3道例题：【例3.1】（2023春·高三练习）方程的解的个数是A．0个 B．1个 C．2个 D．3个本题不难，分别作出和的图象，观察图象，即可得到交点个数【例3.2】（2023秋·福建龙岩·高三统考）函数在区间上的所有零点之和为（

）A．6 B．8 C．12 D．16观察本题，的系数里有，不能直接作出的图象，那么我们该怎样把问题等价转换呢？结合函数零点的定义，我们可以转换成对应方程的根或对应两个图象的交点，我们不妨先把函数化简，，令，即，于是我们可以转换成两图象交点问题，可以发现与均关于点对称，作图如下：结合图象即可求得零点之和即交点横坐标之和【例3.3】（2022·北京·高三专题练习）若方程有两个不同的实数根，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．观察本题，角度是统一的，但函数名及次数不统一，我们可以先用辅助角公式把函数名统一，即，此时我们可以换元作图，原方程可等价于，于是我们可以画出，如图：结合图象即可求得即的取值范围【例3.4】（2023·高三练习）函数和的图象在区间上交点的横坐标之和为（

）A．6 B．4 C．8 D．12通过计算和类比思想，我们可以发现故是函数和的对称中心，则本题直接可以作出与的图象，如图所示：结合图象和对称性即可求得交点横坐标之和【思维提升】通过两题我们不难发现，对于在三角函数求交点个数（解的个数、交点横坐标之和）、方程的根及零点个数（零点之和）中的问题中，我们都可以用数形结合的思想结合具体函数作出图象。从而可直观求解出对应问题，未来我们也可以用同样的方法来研究较为复杂型的三角函数的性质及零点、交点、方程的根的综合问题。【变式3.1】（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期末）设常数使方程在区间上恰有五个解，则（

）A． B． C． D．【变式3.2】（2022·全国·高三专题练习）设，关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3.3】（2022春·江西赣州·高一赣州市赣县第三中学校考阶段练习）若方程在内有解，则a的取值范围是.【变式3.4】（2022秋·江苏·高三专题练习）已知函数，有三个不同的零点、、，且，则的值为（

）A． B．C． D．不能确定【变式3.5】（2022春·河南安阳·高一林州一中校考阶段练习）函数在上有两个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式3.6】（2020秋·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习）设函数，若函数恰有5个零点，，，，，，，则的值为（

）A． B． C． D．【变式3.7】（2022秋·四川广安·高三四川省岳池县第一中学校考阶段练习）已知函数，，若方程有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则实数的值可能是（

）A． B． C． D．【变式3.8】（2022秋·浙江杭州·高一杭州外国语学校校考期中）已知关于的方程在区间上存在两个根，则实数的取值范围是.【变式3.9】（2023·福建·高三福建高三校考）函数，，满足，若，在有两个实根，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式3.10】（2022·贵州贵阳·高三统考）已知函数，若直线与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是（

）A．（-2，2） B．（-1，2） C．（1，2） D．（0，2）【变式3.11】（2022·广东中山·高三校考阶段练习）函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为（

）A． B． C． D．【变式3.12】（2022春·安徽安庆·高三校联考阶段练习）函数与的图像有个交点，其坐标依次为，，，，则（

）A．4 B．8 C．12 D．16巩固练习一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．2．（2022春·山西晋中·高一校考阶段练习）关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②在上是减函数；③在上有三个零点；④的最小值是0.其中所有正确结论编号是（

）A．①②④ B．②③ C．①③ D．①④3．（2023·全国·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是①函数图象的一条对称轴的方程为；②函数在闭区间上单调递增；③函数图象的一个对称中心为点；④函数的值域为.A．①② B．③④ C．①③ D．②④4．（2022秋·福建·高三校考阶段练习）函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2023·高三模拟）函数在区间内的零点个数是（

）A．98 B．100 C．102 D．2006．（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数的零点为x轴上的所有整数，则函数的图象与函数的图象的交点个数为（

）A．8 B．9 C．10 D．117．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知函数的最小正周期为，若在上有两个实