第六章《平面向量及其应用》同步单元必刷卷（培优版）（全解全析）

第六章《平面向量及其应用》同步单元必刷卷（培优版）解析版1．B【分析】根据图形及正三角形的集合性质可得.【详解】解：如图：因为是正的中心，所以为外接圆的半径，所以向量，，是模相等的向量，但方向不同.故选：B.2．A【分析】先考虑充分性，再考虑必要性得解.【详解】解：当时，，所以“”是“”的充分条件；当时，，所以“”是“”的非必要条件.所以“”是“”的充分非必要条件.故选：A3．B【分析】求出向量，根据题意与和与的夹角相等列出等式，化简可得答案.【详解】由题意，得，由于与和与的夹角相等，故，即，即，故选：B.4．B【分析】利用向量的加减法及其几何意义求解【详解】因为两个力，的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，所以的大小为，故选：B5．A【分析】先由题意，得到为锐角，由正弦定理求得，即可得出结果.【详解】解：因为，所以为锐角，由正弦定理可得：，又，所，因此，因为为锐角，所以.故选：A.6．B【分析】利用正弦定理和三角恒等变换可得，再利用余弦定理即可求得的值.【详解】根据正弦定理，由得，又因为，可得，即得，，所以，由余弦定理可知，，得.故选：B7．A【分析】先由切化弦化简得，再由和角公式及诱导公式求得，结合正弦定理得，再由辅助角公式求得最大值即可.【详解】由可得，两边同乘得，两边同加得，即，又，则，设角对应的边分别为，由正弦定理得其中，不妨设，易得当时，取得最大值，此时周长最大值为.故选：A.【点睛】本题关键点在于化简得到后，两边同加结合和角公式得，进而结合正弦定理得到，借助辅助角公式求得最值.8．B【分析】根据已知条件可以判断是直角三角形，且随着的变化三条边的长度也会随着发生改变，因此先根据余弦定理和正弦定理确定与边的变化关系，再构造一个关于边的三角形，根据与边的关系在新构造的三角形中解出的表达式，找出最大值.【详解】由可知，是，的直角三角形，如图所示：设，，，则由余弦定理得，即由正弦定理得，所以.连接，在中，由余弦定理，得当时，的长度取得最大值，为故选:B【点睛】思路点睛：可变动图形与某一变量的变化关系引出的求边求角类问题（以本题为例）：①确定变动图形的变化规律：如上题的变化是角度不变，边长可等比例变化②确定图形变化与某个变量的联系：变化发生变化整体变化③找到有直接联系的两个变量的数学关系，然后推广到整体变化上：此处最为困难，需要学生根据已知条件活用所学的数学知识.9．ABCD【分析】对于A，根据向量的概念判断，对于BCD，举例判断.【详解】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误；由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；对于C，若为零向量，则与可能不是共线向量，故C错误；对于D，当时，无意义，故D错误．故选：ABCD10．BCD【分析】利用平面向量的线性运算可判断ABC选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.【详解】对于A选项，由题意可知，、、分别为、、的中点，所以，，同理可得，，所以，，A错；对于B选项，由重心的性质可知，，，由A选项可知，，所以，，B对；对于C选项，由重心的性质可知，，，所以，，C对；对于D选项，，同理可得，，因此，，D对.故选：BCD.11．ACD【分析】利用向量共线定理推论可判断A，利用向量的线性运算几何表示可判断B，利用向量的数量积的定义及运算律可判断C，利用向量数量积的坐标运算及二次函数的性质可判断D.【详解】当点P在BD上时，因为，所以，故A正确；因为P在在边长为2的正方形ABCD（含边）内，且，所以，则，故B错误；当点P在BD上时，，所以，故C正确；若P，Q在线段BD上，且，如图建立平面直角坐标系，设，则，，∴∴当时，有最小值为1，故D正确.故选：ACD.12．ACD【分析】设，求出比例即可判断A选项；由余弦定理得，结合向量数量积即可判断B选项；由向量的线性运算得即可判断C选项；取中点，由求出最小值即可判断D选项.【详解】设，则，三式联立解得，对于A，，A正确；对于B，，则，B错误；对于C，若，则，则，即，即，则，，C正确；对于D，若，则，取中点，连接，则，显然当时，最小，此时，则，则的最小值为，D正确.故选：ACD.13．4【分析】利用投影公式以及向量的数量积公式即可求解.【详解】由题知，，，所以，解得：.故答案为：4.14．（4，3）【分析】设出点，根据列方程组解决.【详解】设，又A、B的坐标分别为（－2，5），（1，4），所以点.故答案为：（4，3）15．【分析】根据，可知B和互余，C和互余，于是根据三角形内角和为180°，可得到，再根据可求出，从而求出和A.根据余弦定理和三角形面积公式可将要求的式子化简为，根据A的大小即可求解．【详解】∵A是最大内角，∴均为锐角，∵，，∴，，∴，∴，即，∵是三角形内角，∴，∴，∴．在△ABC中，由余弦定理得，，故，∴．故答案为：．16．【分析】结合向量数量积的运算求得的关系式，设代入上述关系式，结合一元二次方程根的分布求得，也即的取值范围.【详解】设，为正数，依题意：中，为边上的中线，，，两边平方得，，①，设，代入①得，整理得②，此方程至少有个正根，首先，解得③，在三角形中，由余弦定理得恒成立，即恒成立，整理得恒成立，由于，当且仅当时等号成立，所以，结合③可得.对于方程②：若对称轴，方程②变为，符合题意.若对称轴，则方程②至少有一个正根，符合题意，若对称轴，要使方程②至少有一个正根，则需，解得.综上所述，也即的取值范围是.故答案为：【点睛】有关三角形中线长度问题的求解，可考虑利用向量运算来建立关系式.有关三角形边长的和、差的取值范围，可考虑余弦定理（或正弦定理），结合基本不等式（或三角函数的取值范围）等知识来求解.17．(1)作图见解析(2)作图见解析(3)，，【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则即可作出；（2）先将共线向量计算出结果再作出；（3）根据利用勾股定理即可计算出各向量的模长.【详解】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示：（2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再将向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出，如下图所示：（3）由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知，；由共线向量的加法运算可知；利用图示的向量和勾股定理可知，.18．(1)(2)3.【分析】（1）向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可；（2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据三点共线找出等量关系；【详解】（1）在中，由,又，所以，所以（2）因为，又，所以，，所以，又三点共线，且在线外，所以有：，即.19．(1)；(2).【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据正弦定理及余弦定理结合条件即得；（2）根据三角形面积公式可得，然后根据余弦定理及基本不等式即得.【详解】（1）由，可得所以整理得：，由正弦定理得：，∴，∵A为内角，∴；（2）由，得，所以，∵，∴，当且仅当时，符号成立，∴，又，∴，即a的最小值为．20．(1)；(2).【分析】（1）根据点是三角形的重心，结合三角形重心的向量表示以及数量级运算，即可求得结果；（2）设，根据平面向量的线性运算结合题意，求得与的关系，再求得关于的函数关系，求该函数的最小值即可.【详解】（1）设，，当，是的中点时，则是△的重心，,.（2）设，则，，由，得：.∴，因为，，所以，，令，则当且仅当时取到等号，所以的最大值是又，在上单调递减，所以.故的最小值为.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的线性运算以及数量积运算，解决问题的关键是充分掌握三角形重心的向量表示，以及根据题意，建立参数与的对应关系，求函数的最值，属综合困难题.21．(1)(2)【分析】（1）先由题给条件求得，进而求得；（2）先利用正弦定理和题给条件求得和，再构造函数，求得此函数值域即为的取值范围【详解】（1）由，可得，则整理得，解之得或又，则，则，则（2）A，B为的内角，则则由，可得，则均为锐角又，则，则，则则令，则又在单调递增，，可得，则的取值范围为，则的取值范围为22．(1)AB为3米OB为2米(2)当视角∠MSN取最大值时,cosθ=.【详解】(1)如图,作SC⊥OB于C,依题意∠CSB=30°,∠ASB=60°.又SA=,故在Rt△SAB中,可求得AB==3,即摄影爱好者到立柱的水平距离AB为3米.在Rt△SCO中,SC=3,∠CSO=30°,OC=SC·tan30°=,又BC=SA=,故OB=2,即立柱的高度OB为