第34课　平面向量的数乘运算

ADDINCNKISM.UserStyle第四单元4.2.3《平面向量的数乘运算》教案ADDINCNKISM.UserStyle授课题目4.2.3平面向量的数乘运算授课课时2课型讲授教学目标知识与技能：（1）理解并掌握实数与向量乘积的定义、几何意义和运算法则.（2）熟练运用定义、运算律进行向量加、减法的代数运算和几何运算.2.过程与方法：（1）通过向量加法的几何运算，理解向量的数乘运算，使学生能理解向量数乘运算的内涵.（2）通过具体实例引入数乘概念，从具体到抽象，层层深入的方法，一步一步地引导学生，要求学生能理解并掌握向量的数乘和加减法的混合运算，结合前面所学的知识说明其几何意义.3.情感、态度与价值观：通过数形结合，由浅入深地学习，让学生加强对向量混合运算的接受和领悟，对自己的学习更加自信，进而减少学习的畏难情绪，培养学生学习数学的积极性．教学重难点教学重点：1.理解实数与向量乘积的几何意义.2.熟练地进行向量加、减法、数乘等代数运算和几何运算.教学难点：1.向量加法、减法、数乘等代数运算.2.两个非零向量共线的条件的理解和运用.第1课时教学过程教学活动学生活动设计思路创设情境激发兴趣问题：青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长、气候条件最恶劣的高原铁路.大家有没有发现：这趟列车有两个火车头，这是为什么呢?分析：两台火车机车挂接在一起担任列车牵引任务叫作机车双机重联，这种运行模式可以实现一台机车两车动力，可以提高速度，加大运量.由于青藏铁路部分段落坡度较陡,机车一般采用双机重联.上图采用双机重联的“雪域神舟”号就是我国自行研制的高原机车.假设每一台机车的牵引力均为，双机重联后能产生两车动力，即,如图4-25所示.二、自主探究讲授新知上例中，根据向量的加法法则，三台机车重联，牵引力；如果机车倒车，牵引力相反，.如果台机车重联，则牵引力为.实数与向量的乘法：一般地，实数与向量𝒂的乘积仍是一个向量，记作𝒂.它的模与方向规定如下：(1)a=(2)(3)当=0(4)当a=定义：求实数与向量乘积的运算叫做向量的数乘运算.2.向量的数乘运算满足以下的运算法则：设λ，μ∈R，对任意向量𝒂，(λ+μ)𝒂=λ𝒂+μ𝒂；λλ3.向量的线性运算如图4-26，已知向量𝒂，可以作出2𝒂，-2𝒂，𝒂.数乘向量𝒂的几何意义是把向量𝒂沿着相同或相反的方向，伸长(或缩短)到原来的倍（或），这些向量均为共线向量.向量的加法、减法、数乘运算都叫作向量的线性运算.一般地，λa+μb叫作𝒂，𝒃的一个线性组合(其中若向量c=λa+μb叫,则称c可以用𝒂，𝒃4.两个非零向量共线的条件：根据实数与向量的乘积的概念，有如下定理：向量a

（𝒂≠0）与b共线，当且仅当存在唯一一个实数，使b=a.当了解观看课件思考分析讨论回答理解领会理解记忆思考归纳联想理解观察求解领会掌握理解记忆通过引入双车重联两车动力情境，激发学生兴趣带领学生分析引导启发学生得出结果引导启发学生思考注意观察学生是否理解知识点加深记忆帮助学生更好理解掌握反复强调引导学生思考理解知识第2课时教学过程教学活动学生活动设计思路三、典型例题巩固知识例1计算.(1)3(𝒂-2𝒃)-2(2𝒂+𝒃)；(2)3𝒂-2(3𝒂-4𝒃)+3(𝒂-𝒃).解：类比多项式计算中的合并同类项，可得(1)3(𝒂-2𝒃)-2(2𝒂+𝒃)=3𝒂-6𝒃-4𝒂-2𝒃=-𝒂-8𝒃；(2)3𝒂-2(3𝒂-4𝒃)+3(𝒂-𝒃)=3𝒂-6𝒂+8𝒃+3𝒂-3𝒃=5𝒃例2在▱ABCD中，为两对角线的交点.如图4-27，=𝒂，=𝒃，试用表示𝒂，𝒃向量，.解：因为=𝒂+𝒃，=𝒃+（-𝒂）=𝒃-𝒂，而为，的中点，所以，=（𝒂+𝒃）=𝒂+𝒃，=（𝒃-𝒂）=-𝒂+𝒃.例3若𝒃=2𝒂（𝒂≠0），c=𝒃-3𝒂，求证：c∥𝒂.证明：因为𝒃=2𝒂，所以c=𝒃-3𝒂=(2𝒂)-3𝒂=𝒂-3𝒂=-2𝒂.因此c∥𝒂.注意：(1)向量的加、减与数乘运算的结果一定是向量，而不是一个数.(2)向量的线性运算在形式上与实数的有关运算规律类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的线性运算中，但要注意向量的线性运算与实数的运算意义是不同的.四、随堂练习强化运用1.化简.（1）(-6𝒂)；（2）-3(𝒂-𝒃)；（3）2(𝒂-2𝒃)+4(𝒂-𝒃).2.填空.（1）已知𝒂=5𝒃，𝒃=3c，则𝒂=_______c；（2）已知𝒂=𝒃，𝒂=c，𝒃=3c，则=_______；3.已知𝒂=𝒃，𝒃为非零向量，且2|𝒂|=2|𝒃|，则=____.A.2B.C.±2D.±课堂小结归纳提高实数与向量𝒂的乘积仍是一个向量，记作𝒂.2.它的模与方向规定如下：(1)a=(2)(3)当=0(4)当a=03.两个向量共线的条件：向量a

（𝒂≠0）与b共线，当且仅当存在唯一一个实数，使b=a.六、布置作业拓展延伸1.分层作业：（必做）习题4.2.3水平一；（选做）水平二2.读书部分：教材思考求解领会掌握观察分析思考归纳主动求解练习掌握归纳小结反思领会记