2023-2024学年天津市和平区高二年级上册期末数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年天津市和平区高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.直线x-J5y+2=0的倾斜角为()

πC兀-2兀C5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

【正确答案】A

(分析】由斜率为倾斜角的正切值及倾斜角的范围求得倾斜角.

【详解】设倾斜角为α,直线X-6y+2=0的斜率为乎.

tana=—,.0≤a<π,.∙.a==，

36

故选：A.

2.已知等比数列｛%｝中q=32,牝=2,则%=()

A.8B.±8C.16D.±16

【正确答案】B

【分析】利用等比中项的性质即可求解.

【详解】因为等比数列｛q｝中4=32,g=2,

由等比中项的性质可得：％2=%.%=64,所以％=±8,

故选.B

3.45C三个顶点的坐标分别是A(T-5),B(2,4),C(5,-5),则ABC外接圆的方程是

()

A.X2+y2-4x-Iy-20=OB.x2+y2+4x-Iy-20=O

C.x2+∕-4x+2y-20=0D.x2+/+4x+2j-20=0

【正确答案】C

【分析】利用圆的一般方程列出方程组求解即可.

【详解】设所求圆方程为V+V+6+Ey+F=0,

因为A(-l,-5),B(2,4),C(5,-5)三点都在圆上，

26-D-5£+F=0£)=-4

所以《20+20+4E+F=0,解得〈E=2

50+5D-5E+F=0F=-20

即所求圆方程为.χ2+y2-4x+2y-20=0

故选：C.

4.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有

1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数构成一个数列{q},即4=1,

%=3,ai=6,且满足”,=",ι+"（“≥2）,则第六层球的个数以为（）

A.28B.21C.15D.10

【正确答案】B

【分析】利用递推公式进行累加法求解.

【详解】由题意得4-4=2,«3-α2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,ab-a5=β,

以上式子累加可得4-4=2+3+4+5+6=20,

因为4=1,所以&=21,

故选:B.

5.已知直线3x+4y-5=0与圆χ2+V=4交于M,N两点，则线段MN的长度为（）

A.√3B.2C.2√3D.2√5

【正确答案】C

【分析】先求出圆心到直线MN：3x+4y-5=0的距离，然后根据弦的一半，圆心到直线的

距离，半径构成直角三角形，用勾股定理解决.

【详解】./+丁=4的圆心为（0,0）,半径r=2

圆心（0,0）到直线MN:3x+4y-5=0的距离为叱卬。Tl=则

√3~+4^5

=√r2-l2=√3.∙.∖MN∖=2√3.

故选：C

6.已知等差数列｛%｝的前n项和为S"，若其=1°，SH)=30,则$20=()

A.40B.70C.90D.100

【正确答案】D

【分析】利用等差数列的前〃项和分别求出首项和公差，代入公式即可求解.

【详解】设等差数列｛为｝的首项为外,公差为d,

U5×4.1_6

Jd,4-------×u=I()CLx=-

125

因为$5=10,SH)=30,所以；，解得：ɔ,

IOq+∙^^xd=30d=-

25

所以S?.=20α∣+Xd=20X]+190X(=1OO,

故选.D

7.已知正方体ABCQ-AAGR的棱长为1,则点A到平面耳。C的距离为()

A.立B.-C.空D.\

3333

【正确答案】C

【分析】根据正四面体顶点到底面之间的距离即可.

【详解】如图所示

三棱锥A-BQC为边长为友的正四面体

A

故点A到平面BQ。的距离为OA=J9=竽

故选：C

8.己知双曲线C：《-《一Ka〉。,/，›。）的焦点尸到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离

ab-

之比为3：1,则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=12y∕2xB.y=±V∑xC.y=±XD.y=±-^^∙x

24

【正确答案】A

【分析】根据相似三角形，直接得到∙s=3,计算渐近线的斜率.

a

【详解】如图，可知焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3：1,

哈九坛商=2也，

所以双曲线的渐近线方程为y=±2√2x.

9.已知P是抛物线V=4x上的一点，过点P作直线X=-3的垂线，垂足为H,若。是圆C：

(x+3p+(y-3)2=l上任意一点,则∣Pβ∣+∣PH∣的最小值是()

A.3√5-lB.4C.5D.6

【正确答案】D

【分析】画出抛物线y2=4x的焦点和准线,利用I抛物线的几何性质将|P。+IPM转化为C,

P,尸之间的距离之和，根据三点共线求得最小值.

【详解】抛物线＞2=4X的焦点是F(1,O),准线方程是x=-l,P”与准线的交点是司，

圆C的半径为r=l,圆心为C(-3,3),

依题意作下图：

由图可知：∣pg∣≥IPqf=Ipqτ,

.∙.∖P^+∖PH∖≥∖PC∖-l+∖PH,∖+∖HHl∖=∖PC∖+∖PF∖+2-l=∖PC]+∖PF∖+l,

当C,P,F三点共线时IPq+∣PF∣最小=后不=5，

••.I股+1PHl的最小值是6；

故选：D.

二、填空题

10.抛物线C：V=8x的焦点坐标为.

【正确答案】(2,0)

【分析】根据抛物线的相关知识即可求得焦点坐标.

【详解】由已知y2=8x,所以p=4

故5=2,所以焦点坐标为：(2,0)

故(2,0)

II.已知oeR,若直线乙：Οx+y+l=0与直线心x+(α-l)y+2=0相互垂直，贝IJa=.

【正确答案】y##0.5

【分析】根据直线垂直的充要条件列出方程，解之即可求解.

【详解】因为直线4：0r+y+l=O与直线小x+(aT)y+2=0相互垂直，

所以α+(α-1)=0,解得：a=~>

故答案为g∙

12.在等差数列｛%｝中，若/+%+%=15,则2%-%=.

【正确答案】5

【分析】根据等差数列的性质由为+区+%=15可得：生=5,再利用等差数列的通项公式

可得2<⅜-4∣=4+4"=%，进而求解.

【详解】设等差数列｛《,｝的首项为4,公差为d,

因为%+%+%=15,由等差数列的性质可得：ai+a5+a1=3a5=∖5,a5=5,

又2必~aw=2〃[+14d-q—IOd=4+4d=4,所以24~aw=5,

故答案为∙5

13.若正三棱柱ABC-AAC的所有棱长都相等，。是AG的中点，则直线AQ与平面BQC

所成角的余弦值为.

3

【正确答案】-##0.6

【分析】利用空间向量的坐标运算求解线面角即可.

如图，取AC中点0,连接。8,。。，

则有OD±OB,OD1OCOB1OC,

所以以OB,OC,。。为x,Kz轴正方向建系如图，设AB=2,

则A(O,-1,O),ZXO,0,2),B1(√3,0,2),C(0,l,0),

A。=(0,1,2),DB1=(√3,0,0),DC=(0,1,-2),

设平面BIz)C的法向量为m=(x,y,z),

DB.∙m=∖∣3x=O

则有，令尸2,则2=1"=0,

DC∙m=y-2z=0

所以m=(0,2,1),

设直线AD与平面BQC所成角为O,

,IADm4

则sinθ=cos<AD,m>=----∏­=—,

11AZ)M5

Ti~\3

因为Oe0,-,所以CoSe=I

乙_ɔ

3

故答案为：

22

14.设双曲线与-2=1α>0b>0的左焦点为《，过Fl作直线/与圆Y+/=/相切于点

a^h'

T,/与双曲线的一条渐近线交于点。，若T为线段耳。的中点，则双曲线的离心率为.

【正确答案】2

【分析】设双曲线的右焦点为马，由题可得IQ用=2α,结合条件可得Q(4,b),进而

2c∙b=24∙2∕?即得.

【详解】由题可得如图双曲线，设双曲线的右焦点为K,

因为T为线段6。的中点，。为中点,

所以OT〃。序IOTl=JQ用，

又07_LQ£,则。耳，QE,

由IOTl=*贝IJlQ图=2-IQ曰=2b,

所以IoQl=JK用=c,XtanZ0Ofζ,

所以Q(αS),

在Rt。耳月中,2c∙b=2a∙2b,

所以c=2〃，即e=2.

故2.

三、解答题

15.已知等差数列｛氏｝的前〃项和为S“，公差d为整数，S3=21,且4,a2+∖,生成等比

数列.

⑴求｛q,｝的通项公式；

⑵求数列的前〃项和Z,.

IAa“+J

【正确答案】（IM=5n-3

5/2

⑵

10〃+4

【分析】(1)利用等比数列和等差数列的定义求解即可；

(2)利用裂项相消求和.

【详解】(1)因为S3=3q+3d=21,所以q+d=7,

又因为4,a2+∖,出成等比数列，所以(%+lf=4%，

：

即(α∣+J+l)=Ol2+6ald,所以a：+6qd=64,

联立卜二二64解得夕;，

14+6%d=64[d=5

所以%=q+5(〃-1)=5〃一3.

5511

(2)由(1)可得％I-(5"-3)(5"+2)-54-3-5/+2'

所以—仁―〕++μ___

加一入(21)(7\2)U217)(5"-35n+2J25n+210H+4,

16.如图,在四棱雉P-ABCD中，PAJ_平面ASCD,AB〃C。，且AB=I,CD=2,BC=2夜，

A4=l,ABlBC,N为Po的中点.

⑴求证：AN〃平面PBC；

(2)求平面尸DC与平面尸BC夹角的余弦值.

【正确答案】(1)证明见详解

(2)余弦值为-(2

【分析】(1)根据线面平行的判定即可证明相面平行.

(2)利用向量法即可求得二面角的余弦值.

【详解】(1)如图所示

P

取PC中点为M,连接MW,MB.

所以M/〃LZ)C且NM=LDC

22

又因为AC^.AB=-DC

22

所以NM〃AB,NM=AB,所以四边形NMBA为平行四边形.

所以AN〃BM,又因为AN(Z平面P8C,BMU平面PBC

所以AN〃平面PBC.

取DC中点为E,以A为空间直角坐标系原点，AE为X轴，AB为y轴，AP为Z轴

建立空间直角坐标系,所以A(0,0,()),P(0,0,1),8(0,1,0),θ(2√2,-1,0),c(2√2,l,θ)

设平面PBC的法向量为加=(x,y,z),因为BP=(O,-1,1),BC=(2√2,O,θ)

BPm--y+z=0z、

则'所以令y=l,得机=0,1,1

BCm=2也rX=G

设平面PZ)C的法向量为“=(α,仇c),因为PO=(2√Σ,-1,-1),OC=(0,2,0)

PDn=2x[2a-h-c=0

则*所以令a=&，得"=(0,0,4)

DCn=2∕?=0

所以cos(%,〃)=m∙n_4_2

∣w∣∙∣n∣V∑×>∕i^3

又因为平面加C与平面PBC夹角为钝角

2

所以平面POe与平面PBC夹角的余弦值为

17.已知椭圆q+4=1(4＞匕＞0)的右顶点为A,下顶点为四，上顶点为层，椭圆的离心

ab

率为立,且IMl=石.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设过点g的直线/与椭圆相交于点尸(不在坐标轴上)，当国闻=限”时，求也尸的

面积.

【正确答案】(1)W+V=ι

4

⑵逑

3

【分析】(1)根据离心率，∣Ag∣=6等列出方程组，利用待定系数法求出椭圆方程；

(2)得到点P为以巴(0,1)为圆心，忸BJ=»=2为半径的圆与椭圆的交点(不在坐标轴上),

从而联立圆与椭圆方程，求出点P坐标，从而利用S玛”=；忸4∣∙∣M求出答案.

【详解】(1)由题意得：Λ(a,0),Bl(0,-fe),故IA团="2+从=后,

又£=且,c2=a2-b2,解得:c2=3,α2=4,⅛2=l,

a2

故椭圆的标准方程为L+V=1；

4'

(2)因为低闯=9H，

所以点P为以与(0,1)为圆心，|4闵=»=2为半径的圆与椭圆的交点(不在坐标轴上)，

2

其中以B2为圆心，忸&I=2为半径的圆的方程为V+(y-l)=4,

联立χ2+(y-l)2=4与亍+/=1,得：3y2+2γ-l=O,

解得：)1=；或%=τ,其中%=τ时*2=0,点尸位于y轴上，不合题意，舍去；

当y=!时，&+L1,解得：西=土逑，

3493

βr2

故SB1B2P=^∙∣^∣2∣∙∣∙∣l=^××~^=~y^∙

18.数列｛4｝的前”项和为S“，且S”=〃2(〃eM),数列｛2｝满足a=2,

,

b„=3⅛,,.l+2(n>2,Λ∈jV),

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)求证：数列圾+1｝是等比数列；

(3)设数列｛ς,｝满足％=亡ɪ,其前〃项和为(，证明/<1

【正确答案】(1)4=2〃—l("wN*);(2)证明见解析；(3)证明见解析.

⑴