2021-2023年高考数学真题分类汇编六：立体几何解答题文

专题06立体几何（解答题）（文）

近三年高考真题

知识点1：线面角及其正弦值

1.（2023•甲卷（理））在三棱柱ABC-A4G中，44,=2,AC_L底面ABC,ZACB=90°-R到平面BCC4

的距离为1.

（1）求证：AC=AC；

（2）若直线A4，与8用距离为2,求与平面BCC4所成角的正弦值.

【解析】(1)证明：取CG的中点，连接A0，

ACJ■底面ABC,ACu底面ABC,

/4,CJ_AC,AC_LAG,A。=gcC=1，

AC_L底面AfiC,3Cu底面ABC,

:.AtCrBC,ZACB=90°,;.ACVBC,

\C[}AC=C,.•.3C_L平面AGG4,

BCu平面BCC4，平面BCGqJL平面AGC4,

A到平面8CC由的距离为1,

A到CG的距离为i,

/.4。_LC£,

/.AC=A。；

(2)过A作AM//4。交GC的延长线与〃，连接

取BBi的中点N,连接ON,

M

，四边形3coN为平行四边形，

平面AGC4,

ry

AlOON=O,.•.CC|_L平面AON,

ANu平面AON,

.'.CC^A.N,

A4,_LX,N,

AN为直线A4,与BBt距离，

:.&N=2,.,.ON=5

由（1）可知AM_L平面BCC4,

NAgM为AB,与平面BCCe所成角的角,

易求得GM=3,

:.B、M=<9+3=20,

A^M=1,AyB=x!\+12=>/13>

1_713

）

/.sinZABA/713-IT

AB,与平面BCC.B,所成角的正弦值为唱.

2.（2021•上海）如图，在长方体ABC£>-A81GA中，已知AB=3C=2,A4,=3.

（1）若P是棱AR上的动点，求三棱锥C-皿>的体积；

（2）求直线A4与平面4CGA的夹角大小.

【解析】⑴如图，在长方体ABCD-ABCQ中，VC_PAD=|SAPAD.hc_-.WAD=|xflx2x3jx2=2;

(2)连接AQ「4Q=O,

AB=BC,

四边形ABCA为正方形，则OB,iOA,

又M,0A「=A,

OBl_L平面ACGA，

直线AB|与平面ACGA所成的角为NOA4,

••・si的啜=法7=等

知识点2：体积问题

3.(2023•乙卷(文))如图，在三棱锥P-ABC中，ABVBC,AB=2,BC=2丘,PB=PC=瓜,BP,

AP,8c的中点分别为。，E,O,点尸在AC上，BFJ.AO.

(1)求证：EF//平面ADO；

(2)若NPOP=120。，求三棱锥P-ABC的体积.

p

A

【解析】(1)证明：在RtAABC中，作垂足为〃，^AH=x,则HB=2T,

因为尸4//C8,所以RtAAHFsRtAABC,所以理=竺，即^="，解得“尸=后，

ABBC22V2

又因为NBFH=NFBO,所以NAO8=N尸8”,E.ZBHF=AOBA=90°,

所以RtABHFsRmoBA,所以竺=空，即叵=义，解得x=l,

BHBO2-xV2

即4H=1,所以“是AB的中点，F是AC的中点，

又因为£是R4的中点，所以EF//PC,同理，DO//PC,所以EF//DO,

又因为EF<t平面ADO,OOu平面ADO,

所以EF//平面450；

(2)过P作尸河垂直FO的延长线交于点例，因为尸8=PC,。是8c中点，所以POLBC,在RtAPBO

中，PB=瓜,BO=-BC=y/2,所以尸0=JPB，-0B2=q6-2=2,

2

因为AB_LBC,OF//AB,所以又POQ。尸=。，PO,O/u平面POP,所以BC1.平面尸6中，

又PMu平面POF,所以8CJ_PM,

XBCQFM=O,BC,Wu平面ABC,

所以PM_L平面ABC,即三棱锥尸-MG的高为PM,

因为ZPOF=120°,所以4POM=60°,

所以PM=POsin60。=2x上=也，

2

AABC的面积为%呢=(848'8。=；、2*2夜=2夜，

所以三棱锥P-45C的体积为忆娜-8c=、2"x/=女.

--ISC»|t*COL3，Y3

p

4.(2022•乙卷(文))如图，四面体A8C£)中，ADYCD,AD=CD,ZADB=NBDC,E为AC的中点.

(1)证明：平面5即_1_平面ACD；

(2)设A3=3/)=2,NAC8=6O。，点尸在胡)匕当A4FC的面积最小时，求三棱锥尸一ABC的体积.

A

【解析】证明：（1）AD=CD,ZADB=ZBDC,BD=BD,

,-.AADB=ACDB,

:.AB=BC,又，E为AC的中点.

/.ACYBE,

AD=CD,E为AC的中点.

ACA.DE,又BE[yDE=E,

ACJ_平面3E£）,

又ACu平面ACO,

平面阻）J■平面AC。；

（2）由（1）可知43=BC,

:.AB=BC=2,ZACB=60。，.•.AABC是等边三角形，边长为2,

:.BE=y/3,AC=2,AD=CD=>/2,DE=\,

-：DE2+BE2=BDr,:.DELBE,

又DEI.AC,AC「BE=E,

平面ABC,

由（1）知AAZJ8三△COB,:.AF=CF,连接EF,则EFJ_AC,

SMFC=gxACxEF=EF,

.•・当£F_L8D时，EF最短,此时A4FC的面积最小，

过点F作尸G，BE于点G,则尸G〃£>E,，FG_L平面ABC,

eDExBEV3

BD2

22EFxBF

BF=^BE-EF=-,:.FG=.=l,

2BE4

...三棱锥厂一ABC的体积丫=2xxFG='xNXLB.

3MSC3444

5.（2021•甲卷（文））已知直三棱柱ABC-4线£中，侧面A4.48为正方形，AB=BC=2,E,f分别

为AC和CC,的中点，BF±4^i•

（1）求三棱锥尸-E8C的体积；

（2）已知。为棱A5上的点，证明：BF^DE.

【解析】（1）在直三棱柱ABC-ABC中，BBL「

又8F_LAB|,BB「BF=B,BB、,BFu平面BCC4，

AM_L平面BCG4,

ABHAB、,

平面BCCg,

:.ABVBC,

又AB=BC,故AC=j2?+22=20,

CE=V2=BEt

而侧面朋耳8为正方形，

CF=-CC.=-AB=l,

212

V=ls.CF=-xlxV2x^xl=l,即三棱锥F-£BC的体积为1；

33233

(2)证明：如图，取8C中点G,连接EG,B}G,设BF=H,

.点E是AC的中点，点G时3c的中点，

:.EG//AB,

:.EG//AB//B,D,

：.E、G、与、。四点共面，

由(1)可得AB_L平面8CC4,

.•.EGJ•平面BCCg,

:.BFLEG,

tanZCBF=—=-,tanZBB,G=—=-,且这两个角者B是锐角，

BC2BBt2

：.NCBF=ZBBtG,

NBHB、=NBGB、+ZCBF=NBGB、+NBB、G=90°,

BF±BtG,

又EG0|4G=G,EG,BtGu平面EGB、D,

.•出产上平面反祖。，

又DEu平面EGBQ,

:.BFLDE.

G

C

6.(2021•乙卷(文))如图，四棱锥P-98的底面是矩形，底面MCD,M为BC的中点，且

PBYAM.

(1)证明：平面R4”_L平面P3D；

(2)若PD=DC=1,求四棱锥P-/4BCD的体积.

【解析】(1)证明：PD_L底面MCE),AMu平面ABCD,

:.PDYAM,

又PBLAM,

PDCPB=P,PB,PDu平面P8Z).

AW_L平面P8Z).

AMu平面RVW,

平面RW_L平面；

(2)由尸。_L底面4?C£>,

r.PD即为四棱锥P-ABCD的高，ADPB是直角三角形；

底面是矩形，PD=DC=l,M为BC的中点，且

设AD=8C=2«,取CP的中点为尸.作EfJ_C£>交于E,

连接MF,AF,AE,

可得MF//PB,EF//DP,

那么/W_LA/F.且EF=1.AE=ylAD2+ED2=l-+4a2,AM=\lAB2+BM2=Va2+1.

2V4

AF=y/EF2+AE2=J；+必.

ADPB是直角三角形，

.•.根据勾股定理：BP=yl2+4a2,则=，2+44一；

2

由A4MF是直角三角形，

可得4W?+A/尸=AF?,

底面ABCD的面积S=0,

则四棱锥P—A8C£＞的体积V=L/LS=2X1XV5=Y1.

333

7.（2021•上海）四棱锥P-ABCD,底面为正方形MC£>,边长为4,E为中点，PKJ_平面ABCD.

（1）若AE4B为等边三角形，求四棱锥2-钻8的体积；

（2）若CZ）的中点为尸，PF与平面ABCZ）所成角为45。，求PC与4）所成角的大小.

【解析】（1）A/VW为等边三角形，且E为4?中点，AB=4,

:.PE=2拒,

又PE_L平面ABCD,

•••四棱锥P-ABCD的体积V=gPE.S正方呼BCD=；X2#x#=哗.

（2）PE_L平面

ZPFE为PF与平面ABCD所成角为45°,即ZPFE=45°,

.•.APEF为等腰直角三角形，

E,尸分别为AB,8的中点，

:.PE=FE=4,

:.PB=-JPE2+BE2=275,

AD/IBC,

NPCB或其补角即为PC与AD所成角，

庄_L平面ABCD,:.PEYBC,

又3C_LAB,PEQAB=E,PE、ABu平面以3,

.•.8C_L平面:.BCLPB,

在RtAPBC中，tanZPCB-——,

BC42

故PC与4D所成角的大小为arctan且.

2

8.(2021•新高考I)如图，在三棱锥A—BCD中，平面42_L平面BCD,AB=AD,。为3。的中点.

(1)证明：Q4JLC力；

(2)若△如£)是边长为1的等边三角形，点E在棱AO上，DE=2E4,且二面角E-8C—£>的大小为45。,

求三棱锥A-BCD的体积.

【解析】(1)证明：因为43=4),O为8。的中点，所以AOJ.3D,

又平面AB£>_L平面BCD,平面M£)C平面8a>=叨，AOu平面ASD,

所以AO_L平面BC£),又C£)u平面B8,

所以AOJ_C£>;

(2)过E作£F_L3Z),交.BD于息F,过尸作FG_LBC于点G,连结EG,

由题意可知，EF//AO,又40_1_平面381

所以所_L平面BCD,又BCu平面BCD,

所以EF_LBC,又BC工FG,FG「EF=F

所以3cL平面EFG,又EGu平面EFG,

所以8c_LEG,

则NEGF为二面角E—BC—D的平面角，即NEGP=45。,

又CD=DO=OB=OC=\,

所以ZBOC=120°,则20cB=Z.OBC=30°,

故ZBCD=90。，

所以FG//CD,

DEDFEF2

因为一=—=—=-

ADODAO3

3i2

贝lj40=—££0尸=一,。尸=一

233

所以需=若’则GF=T=：

23

所以所=GF=—，则AO=—所=1,

32

所以匕8CD=-54BCDAO=lxlxV3xlxl=^l.

n—tf^U3AZJCZx32，6

9.（2022•甲卷（文））小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示：底面ABCD

是边长为8（单位：加）的正方形，AEAB,\FBC,\GCD,均为正三角形，且它们所在的平面都

与平面A8CD垂直.

（1）证明：EF//平面ABCD；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

【解析】（1）证明：如图所示，将几何体补形为长方体，

做庄于点£,做尸F'LBC于点F',

由于底面为正方形，MBE,ABCF均为等边三角形，

故等边三角形的高相等，即诊=所’，

由面面垂直的性质可知££,尸F均与底面垂直，

则££//"',四边形£E'R户为平行四边形，则所〃Ek,

由于E厂不在平面AB8内，£尸在平面ABCQ内，

由线面平行的判断定理可得所//平面MCD.

(2)易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积,

其中长方体的高AA=E£=4g,

长方体的体积V；=8X8X4G=256X/3CW3,

一个三棱锥的体积匕=—x(—x4x4)x4>/3=。加，

2323

则包装盒的容积为V=V-4匕=2566-4x驾1=写8加3.

知识点3：线面距离

10.（2023•上海）已知三棱锥尸一49C中，Q4_L平面ABC,ABYAC,PA=AB=3,AC=4,M为BC

中点，过点“分别作平行于平面R4B的直线交AC、PC于点E,F.

(1)求直线PM与平面ABC所成角的大小;

(2)求直线ME到平面的距离.

M

B

【解析】(1)连接AM,PM,

%_L平面ABC,

.•.NPM4为直线PM与平面ABC所成的角,

在AftVW中，AB±AC,：.BC=>/32+42=5,

Mr为8c中点，..AM=-BC=-

22

tanZPMA=-,即直线PM与平面ABC所成角为arctan9；

55

(2)由ME//平面MF//平面ME^MF=M,

平面MEF//平面HR,MEu平面MEF,;.〃£：//平面,

%_L平面ABC,ACu平面ABC,

:.PA±AC,