高考数学一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用

第13讲导数的综合运用

分层演练，直击高考T以练促学•强技提能H

基础达标，

L在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式

x・f(x)〈0的解集为.

［解析］由/1(*)的图象知，当x<-1或x>l时，f'(x)>0；

当一l〈x<l时，f'U)<0,

所以x•/(x)〈0的解集是(一8,-l)U(0,1).

［答案］(-8,-1)U(0,1)

2.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式y=-f+27x+

123(x>0),则获得最大利润时的年产量为百万件.

［解析］依题意得，y'=—3戈+27=—3(x—3)(x+3),当0〈x〈3时，y'>0；当x>3

时，y'<0.

因此，当x=3时，该商品的年利润最大.

［答案］3

3.若/"(X)=xsinx+cosx,则『(一3),《万『(2)的大小关系为.

［解析］由/1(—X)=r(x)知函数F(X)为偶函数，

因此/•(—3)=F(3).

又f'⑸=sinx+xcosx—sinx=nosx,

当万］时，(x)>0,当万£已，兀)时，f'(x)V0,

所以/'(x)在区间仔，口)上是减函数，

所以(三>A3)=f(-3).

［答案］f(—3)<?(2)<伤)

4.若函数F(x)=系-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是.

［解析］由于函数/V)是连续的，故只需要两个极值异号即可./(x)=3f—3,令33

—3=0,得*=±1,只需f(—1),/(I)<0,即(a+2)(a—2)<0,故(—2,2).

［答案］(-2,2)

1riv

5.若/•(x)=U-,0〈a〈次e,则f(a)、f(6)的大小关系为

X

LFtLr,Z、1-Inx

［解析］(x)=----2--,

fx

1—1nv

当(0,e)时，------->0,即/(x)>0,

所以f(x)在(0,e)上为增函数，

又因为0<水灰e,所以F®"(6).

［答案］f［豕f⑦

6.设直线万=方与函数F(x)=Vg(x)=lnx的图象分别交于点必N,则当|仞V|达到

最小时，方的值为.

［解析］|厥|的最小值，即函数力(x)=/—5x的最小值，

/、12x—1

h(^)=2x~~=---------,

xx

显然了=乎是函数"X)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故力=坐.

［答案］芈

7.己知函数尸/'(x)=x3+3ax2+36x+c在x=2处有极值，其图象在x=l处的切线平

行于直线6x+2y+5=0,则『(x)的极大值与极小值之差为.

［解析］因为y'=33+6ax+36,

pX22+6aX2+36=0,ja=~l,

|.3Xl2+6a+3Z7=-3

所以y'=3/—6x,令3f—6x=0,则x=0或x=2.

所以/'(x)极大值一f(x)极小值=f(0)—f(2)=4.

［答案］4

8.(2018•北京海淀区模拟)若函数f(x)满足：“对于区间(1,2)上的任意实数a至(荀

WX2),"(就一六荀)|<|.一xj恒成立"，则称f(x)为完美函数.给出以下四个函数：

①/"(X)=！；②/1(x)=|x|；③/1(x)=g)；④f(x)=x?.其中是完美函数的序号是

［解析］由|『(X2)—f(xi)I<Ie一XiI知,

f(X2)-f(xi)

<1,即］

X2—X1

经验证①③符合题意.

［答案］①③

9.已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0,+8)上有/(王)>0,若/'(—1)=0,那

么关于x的不等式"(x)<0的解集是.

［解析］在(0,+8)上有/(x)〉0,所以/'(x)在(0,+8)上单调递增.又函数f(x)

是R上的偶函数，所以/'(1)=『(-1)=0.当x>0时，f(x)<0,所以0〈水1；当水0时，图象

关于y轴对称，f(x)>0,所以K—1.

［答案］(—8,-1)U(0,1)

10.logo.5^~7>logo,5-7---,f/7---「对任意xG［2,4］恒成立，则力的取值范围

为.

［解析］以0.5为底的对数函数为减函数，所以得真数关系为立!〈乙~77-4^—「，

X-\kx—l)\(~X)

所以0>—x3+7x2+x—7,令/'(x)=—f+7x2+x—7,则f(jr)=—3x+14x+1,因为

(2)〉0且f(4)〉0,所以1•'(x)>0在［2,4］上恒成立，即在［2,4］上函数f(x)为增函数，

所以f(x)的最大值为F(4)=45,因此切>45.

［答案］(45,+8)

(x一1)2

11.(2018•泰州期中考试)已知函数f(x)=lnx------.

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)证明:当x>l时，f{x)<x-1；

(3)确定实数4的所有可能取值，使得存在刘>1,当xe(l,加时，恒有F(x)>A(x—l).

［解］(1)函数的定义域为(0,+8),

对函数求导，得/(x)=—1-叶1=----v—匚I—y二—I—.1

XX

院>0,

由fr(x)>o,得<—y+x+1

---------->0,

x

解得0〈x〈巨声，

故f(x)的单调递增区间为0,

⑵证明:令/(x)=_f(x)—(X—1),(L+°°),

1-7

则有尸/(才)=——，

X

当x£(l,+8)时，9(x)〈0,所以分(x)在(1,+8)上单调递减.

故当x>l时，/(x)〈尸(1)=0,即x>l时，/1.

(3)由(2)知，当A=1时，不存在照>1满足题意；

当4>1时，对于X>1,有/'(x)<才一1<4(才一1),

则/1(x)<A(x—1),从而不存在刘>1满足题意；

当时，令G(x)=Hx)—4(才-1),x£(l,+°°),

,,.［(、1—x+(1-k)x+1

则n有G(x)=x+1—k=------------------,

xx

由G，(x)=0得，一£+(1—A)x+l=0.

l—k+yl(1—A)2+4、、

X2=2>1，

所以当Xd(l,X2)时，G'(x)>0,故G(x)在(1,加内单调递增，

从而当xG(l,㈤时,G(x)〉G(l)=0,即f(x)>『(x—1),

综上，《的取值范围是KL

12.(2018•江苏省重点中学领航高考冲刺卷(二))如图，两

居民小区A和6相距20km,现计划在两居民小区外以46为直径产"

的半圆弧么?上选择一点C建信号发射塔，其对小区的影响度与所AI—WR

选地点到小区的距离有关，对小区A和小区6的总影响度为小区/与小区方的影响度之和，

记点。到小区A的距离为xkm,建在。处的信号发射塔对小区A和小区B的总影响度为y,

统计调查表明：信号发射塔对小区/的影响度与所选地点到小区/的距离的平方成反比，比

例系数为左对小区B的影响度与所选地点到小区B的距离的平方成反比，比例系数为9.

当信号发射塔建在半圆弧的中点时，对小区/和小区8的总影响度为0.065.

(1)将y表示成x的函数；

(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断半圆弧山?上是否存在一点，使建在此处的信号发

射塔对小区/和小区8的总影响度最小？若存在，求出该点到小区/的距离；若不存在，请

说明理由.

［解］(1)由题意知/A8C,初=400—V

k9

—+T77---2(0<X20),

x400—x

其中当x=10\/^时，y=0.065,所以A=4.

49

所以y=~~\~.八八2(0<^<20)•

x400—

49

(2)因为y=—+=一2(0<X20),

x400—x

,89义(一2x)18f—8(400—f)?

所以P=~1~(400-/)2=~/(400-/)2-'

令/=0得18?=8(400—f)2,

所以/=160,即x=4，Ib,

当0〈*4也时，18f<8(400—3)2,即一<0,

49

所以函数尸F+而一^为单调递减函数，

当4/5cx〈20时，18x4>8(400—9丁，即/>0,

49

所以函数尸Fx+标40一0—^才为单调递增函数.

所以当X=4、/15时，即当点。到小区/的距离为445km时，

49

函数尸F+而一^(0〈/20)有最小值，即信号发射塔对小区Z和小区6的总影响度最

x400—jr

小.

能力提升，

1.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为0元，销量0(单

位：件)与零售价0(单位：元)有如下关系：0=8300-170^-/,则该商品零售价定为

元时利润最大，利润的最大值为元.

［解析］设商场销售该商品所获利润为y元，则

y=(p—20)Q=(p—20)(8300-170p-/?2)

=-p-150/+ll700p-166000(©20),

则y'=-3/—3000+11700.

令/=0得3+1000—3900=0,

解得0=30或0=—130(舍去).

则P，y,y'变化关系如下表：

p(20,30)30(30,+8)

y'+0—

y极大值

故当°=30时，y取极大值为23000元.

又尸一/一15002+11700^-166000在［20,+8)上只有一个极值，故也是最值.

所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23000元.

［答案］3023000

2.(2018•南京、盐城高三模拟)已知函数/■(x)=lnx+(e—a)x—6,其中e为自然对

b

数的底数.若不等式/"(X)W0恒成立，则一的最小值为

a

解析：由不等式F(x)W0恒成立可得f(x)maxW0.产(x)=,+e—a,x>0,当e—320,

x

即aWe时，ff(x)>0,f(x)在(0,+8)上单调递增，且x趋近于+8,广(才)趋近于+8,

此时F(x)W0不可能恒成立；当e—aVO,即a>e时，由/(x)=0得x=」一，当

a-e

一■~~1)时，f'(x)>0,_f(x)单调递增，当一，+8)时，f'(x)V0,_f(x)单

调递减，此时/1(x)max=(._e)=一二(a—e)—1—6W0,则62—ln(a—e)—1,又3>e,

〜、b、——In(a——e)-1.厂力、—Int——1./.

所以一三---------------，a>e,令a-e=t>0,则一N----7----，方>0.令g(»=

aaat-]-e

—1nt—1t

----F---，力>0，贝Ig'(5=,山、2,由g'(1)=0得方=e,且当方£(0,e)时，g'

方十e-------------------(方十e)

(t)<0,g(力)单调递减,当(e,+8)时,g，(力〉0,g(力单调递增，所以g(z)min=g(e)

1-Int—1、1,.b,,...1

=一一，即一》——---N一一，故一的最小值为sl一一.

eat-reeae

答案：一'

e

3.(2018•南京、盐城模拟)已知函数f(x)满足：①Hx)=2F(x+2),x£R；②f(力=

Inx+ax,(0,2)；③广(x)在(一4,一2)内能取到最大值一4.

(1)求实数己的值；

(2)设函数g(x)=^bx—bx,若对任意的(1,2)总存在济£(1,2)使得f(xj=g(x》,

求实数6的取值范围.

[解]⑴当押£(-4,—2)时，有x+4£(0,2),

由条件②得f(x+4)=ln(x+4)+z(x+4),

再由条件①得F(x)=2_f(x+2)=4f(x+4)=41n(x+4)+4a(x+4).

4

故/(x)=Ij+4a,(—4,—2).

x十4

4

由③，f(x)在(一4,—2)内有最大值，方程/(x)=0,即=+4〃=。在(-4,-2)

x十4

内必有解，故aWO,且解为彳=一工一4.

a

又最大值为一4,所以F(x)max=F(—4)=41n(—1)+4a•(—g=-4,即ln(—g=

aaaa

O,所以a=-1.

(2)设/"(x)在(1,2)内的值域为4g(x)在(1,2)内的值域为民

由条件可知AcB.

11—X

由⑴知，当x£(l,2)时，A^)=lnx—x,f'(x)=-l=------<0,

xx

故Ax)在(1,2)内为减函数，

所以4=(/1(2),F(l))=(ln2—2,—1).

对g(x)求导得g'(x)=加一b=8(或一1)(x+1).

若伏0,则当x£(l,2)时，g'(x)<0,g(x)为减函数，

所以6=(g⑵,g⑴)=(|/?,—|/?)・

由8得|«Wln2—2且一|力》一1,故必有6《|ln2-3.

若b>0,则当x£(l,2)时，g'(£)>0,g(x)为增函数，

所以8=(g⑴，g(2))=(一a.).

由£6,得一|gn2一2且|心一1,故必有823一手口2.

若仁0,则8={0},此时属8不成立.

33

综上可知，6的取值范围是(一8,-In2-3]U[3—-ln2,+°°).

4.(2018•江苏省扬州中学月考)设函数f(x)=lnx,g(x)=〃(七”)包>0).

X十1

(1)当〃=1时，函数p=F(x)与y=g(x)在x=l处的切线互相垂直，求力的值；

(2)若函数y=F(x)—g(x)在定义域内不单调，求m—n的取值范围；

(3)是否存在实数a,使得•Me")+(WO对任意正实数x恒成立？若存在，

求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由.

1—n1—/7

［解］(1)当0=1时，g'(x)=一］、2,所以尸g(x)在X=1处的切线斜率为丁,

\XI1)T：

由3=5所以尸f(x)在x=l处的切线斜率为1,所以1—n

•1=-1,所以n

5.

(2)易知函数p=F(x)—g(x)的定义域为(0,+8),

-(x)-g1(x)=1m(1~77)/+[2—ZZ7(1—77)]x+l

又P(x+1)*2*X(x+1)2

x+2-m(1—/?)+~~