（江苏版）备战高考数学模拟试卷分项 专题03 导数及应用-人教版高三数学试题

第三章导数及应用1．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】函数的单调递增区间为__________．【答案】2．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数在其定义域上恰有两个零点，则正实数的值为______．【答案】【解析】考查函数，其余条件均不变，则：当x⩽0时,f(x)=x+2x，单调递增，f(−1)=−1+2−1<0,f(0)=1>0，由零点存在定理,可得f(x)在(−1,0)有且只有一个零点；则由题意可得x>0时,f(x)=ax−lnx有且只有一个零点，即有有且只有一个实根。令，当x>e时,g′(x)<0,g(x)递减;当0<x<e时,g′(x)>0,g(x)递增。即有x=e处取得极大值,也为最大值,且为，如图g(x)的图象,当直线y=a(a>0)与g(x)的图象只有一个交点时,则.回归原问题，则原问题中.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．3．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】在平面直角坐标系中，直线与函数和均相切（其中为常数），切点分别为和，则的值为__________．【答案】4．【南师附中2017届高三模拟二】在平面直角坐标系中，是曲线上一点，直线经过点，且与曲线在点处的切线垂直，则实数的值为__________．【答案】【解析】设，因为，所以切线斜率，由题设，故，即点，将其代入可得，应填答案。5．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数的单调递减区间为__________.【答案】6．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数，若曲线（为自然对数的底数）上存在点使得，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】结合函数的解析式：可得：，令y′=0，解得：x=0，当x>0时，y′>0，当x<0，y′<0，则x∈（-∞，0），函数单调递增，x∈（0，+∞）时，函数y单调递减，则当x=0时，取最大值，最大值为e，∴y0的取值范围（0，e]，结合函数的解析式：可得：，x∈（0，e），，则f（x）在（0，e）单调递增，下面证明f（y0）=y0．假设f（y0）=c>y0，则f（f（y0））=f（c）>f（y0）=c>y0，不满足f（f（y0））=y0．同理假设f（y0）=c<y0，则不满足f（f（y0））=y0．综上可得：f（y0）=y0．令函数．设，求导，当x∈（0，e），g′（x）>0，g（x）在（0，e）单调递增，当x=e时取最大值，最大值为，当x→0时，a→-∞，∴a的取值范围.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题(2)问时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．7．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数，若曲线在点处的切线经过圆的圆心，则实数的值为__________．【答案】【解析】结合函数的解析式可得：，对函数求导可得：，故切线的斜率为，则切线方程为：，即，圆：的圆心为，则：.8．【南通中学2018届高三10月月考】定义在上的函数满足，为的导函数，且对恒成立，则的取值范围是__________________.【答案】点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。9．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线上一点，直线经过点P，且与曲线C在P点处的切线垂直，则实数c的值为________．【答案】－4－ln2点睛：曲线的切线问题就是考察导数应用，导数的含义就是该点切线的斜率，利用这个我们可以求出点的坐标，再根据点在线上（或点在曲线上），就可以求出对应的参数值。10．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】已知函数在上是增函数，函数，当时，函数g(x)的最大值M与最小值m的差为，则a的值为______.【答案】【解析】，因为在上是增函数，即在上恒成立，，则，当时，，又，令，则，（1）当时，，，则，则，（2）当时，，，则，舍。。11．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________．【答案】12．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数（为常数）的导函数为，对任意，不等式恒成立，则的最大值为__________．【答案】【解析】试题分析：根据题意易得：，由得：在R上恒成立，等价于：，可解得：，则：，令，，故的最大值为．考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用13．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是.【答案】【解析】试题分析:设,由题设可知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为,故当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增;故,而当时,,故当且,解之得,应填答案.考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点，使得为背景,设置了一道求函数解析式中的参数的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数，使得在直线的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依据题设建立不等式组求出解之得.14．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】函数的单调增区间是__________．【答案】【解析】,所以增区间是15.【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为．【答案】（0,1）考点：本题考查函数的单调性与导数的关系16.【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f(x)＝lnx－(m∈R)在区间[1，e]上取得最小值4，则m＝________．【答案】－3e【解析】f′(x)＝＋＝，令f′(x)＝0，则x＝－m，且当x<－m时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>－m时，f′(x)>0，f(x)单调递增．若－m≤1，即m≥－1时，f(x)min＝f(1)＝－m≤1，不可能等于4；若1<－m≤e，即－e≤m<－1时，f(x)min＝f(－m)＝ln(－m)＋1，令ln(－m)＋1＝4，得m＝－e3(－e，－1)；若－m>e，即m<－e时，f(x)min＝f(e)＝1－，令1－＝4，得m＝－3e，符合题意．综上所述，m＝－3e.17．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）=，对任意的m∈[﹣2，2]，f（mx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围为_____．【答案】18．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是．【答案】.【解析】由题意,y′=lnx+1−2mx令f′(x)=lnx−2mx+1=0得lnx=2mx−1，函数有两个极值点,等价于f′(x)=lnx−2mx+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2mx−1的图象有两个交点，，当m=时，直线y=2mx−1与y=lnx的图象相切，由图可知,当0<m<时，y=lnx与y=2mx−1的图象有两个交点，则实数m的取值范围是(0,)，故答案为：(0,).19．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x）﹣a）﹣1有三个零点，则a的取值范围是_____．【答案】【解析】当x＜0时，由f（x）﹣1=0得x2+2x+1=1，得x=﹣2或x=0，当x≥0时，由f（x）﹣1=0得，得x=0，由，y=f（f（x）﹣a）﹣1=0得f（x）﹣a=0或f（x）﹣a=﹣2，即f（x）=a，f（x）=a﹣2，作出函数f（x）的图象如图：y=≥1（x≥0），y′=，当x∈（0，1）时，y′＞0，函数是增函数，x∈（1，+∞）时，y′＜0，函数是减函数，x=1时，函数取得最大值：，当1＜a﹣2时，即a∈（3，3+）时，y=f（f（x）﹣a）﹣1有4个零点，当a﹣2=1+时，即a=3+时则y=f（f（x）﹣a）﹣1有三个零点，当a＞3+时，y=f（f（x）﹣a）﹣1有1个零点当a=1+时，则y=f（f（x）﹣a）﹣1有三个零点，当时，即a∈（1+，3）时，y=f（f（x）﹣a）﹣1有三个零点．综上a∈，函数有3个零点．故答案为：．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．20.【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数的零点在区间内，则正整数的值为________．【答案】221．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】求导在上恒成立，即.22.【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数，其中为自然对数的底数，则不等式的解集为________．【答案】【解析】∵，∴，即函数为奇函数，又∵恒成立，故函数在上单调递增，不等式可转化为，即，解得：，即不等式的解集为，故答案为.23.【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】∵，故可将题意等价的转化为，即，解得，故答案为.24．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数若有三个零点，则实数m的取值范围是________．【答案】25.【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数（为自然对数的底数），若，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】令，则所以为奇函数且单调递增，因此即点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内26.【镇江2018届高三10月月考文科】已知函数，其中实数为常数，为自然对数的底数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，解关于的不等式；（3）当时，如果函数不存在极值点，求的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为．（2）（3）【解析】试题分析：把代入由于对数的真数为正数，函数定义域为，所以函数化为，求导后在定义域下研究函数的单调性给出单调区间；代入，，分和两种情况解不等式；当时，，求导，函数不存在极值点，只需恒成立，根据这个要求得出的范围.试题解析：（2）时，．当时，原不等式可化为．记，则，当时，，所以在单调递增，又，故不等式解为；当时，原不等式可化为，显然不成立，综上，原不等式的解集为．27.【常州市2018届高三上武进区高中数学期中】已知函数，．⑴若曲线在点处的切线经过点，求实数的值；⑵若函数在区间上单调，求实数的取值范围；⑶设，若对，，使得成立，求整数的最小值．【答案】⑴⑵⑶【解析】试题分析：（1）根据题意，对函数求导，由导数的几何意义分析可得曲线在点处的切线方程，代入点，计算可得答案；

（2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；

（3）由题意得，分析可得必有，对求导，对分类讨论即可得答案．试题解析：⑵，若函数在区间上单调递增，则在恒成立，，得；若函数在区间上单调递减，则在恒成立，，得，综上，实数的取值范围为；⑶由题意得，，，，即，由，当时，，则不合题意；当时，由，得或（舍去），当时，，单调递减，当时，，单调递增．，即，整理得，，设，，单调递增，，为偶数，又，，，故整数的最小值为。28.【无锡市2018届高三上期中基础性检测】已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）令，区间，为自然对数的底数。（ⅰ）若函数在区间上有两个极值，求实数的取值范围；（ⅱ）设函数在区间上的两个极值分别为和，求证：.【答案】（1）增区间，减区间，（2）详见解析【解析】试题分析：（1）求导写出单调区间；（2）（ⅰ）函数在区间D上有两个极值，等价于在上有两个不同的零点，令，得，通过求导分析得的范围为；（ⅱ），得，由分式恒等变换得，得，要证明，只需证，即证，令，，通过求导得到恒成立，得证。试题解析：（2）（ⅰ）因为，所以，，若函数在区间D上有两个极值，等价于在上有两个不同的零点，令，得，设，令大于00小于00增减所以的范围为（ⅱ）由（ⅰ）知，若函数在区间D上有两个极值分别为和，不妨设，则，所以即，要证，只需证，即证，令，即证，即证，令，因为，所以在上单调增，，所以，即所以，得证。29.【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC内种植花卉.已知AB长为1千米，设角AC边长为BC边长的倍，三角形ABC的面积为S（千米2）.试用和表示；（2）若恰好当时，S取得最大值，求的值.【答案】（1）（2）试题解析：(1)设边，则，在三角形中，由余弦定理得：，所以，所以，（2）因为，，令，得且当时，，，当时，，，所以当时，面积最大，此时，所以，解得，因为，则.点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。30.【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数(,是自然对数的底数).（1）若函数在区间上是单调减函数,求实数的取值范围；（2）求函数的极值；（3）设函数图象上任意一点处的切线为，求在轴上的截距的取值范围．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】试题分析：（1）由题意转化为在区间上恒成立，化简可得一次函数恒成立，根据一次函数性质得不等式，解不等式得实数的取值范围；（2）导函数有一个零点，再根据a的正负讨论导函数符号变化规律，确定极值取法（3）先根据导数得切线斜率再根据点斜式得切线方程，即得切线在x轴上的截距，最后根据a的正负以及基本不等式求截距的取值范围．试题解析：（1）函数的导函数，则在区间上恒成立，且等号不恒成立，又，所以在区间上恒成立，记，只需，即，解得．（2）由，得，①当时，有；，所以函数在单调递增，单调递减，所以函数在取得极大值，没有极小值．②当时，有；，所以函数在单调递减，单调递增，所以函数在取得极小值，没有极大值．综上可知:当时，函数在取得极大值，没有极小值；当时，函数在取得极小值，没有极大值．（3）设切点为，则曲线在点处的切线方程为，当时，切线的方程为，其在轴上的截距不存在．当时，令，得切线在轴上的截距为，当时，，当且仅当，即或时取等号；当时，，当且仅当，即或时取等号.所以切线在轴上的截距范围是.点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.(2)已知函数求极值.求→求方程的根→列表检验在的根的附近两侧的符号→下结论.(3)已知极值求参数.若函数在点处取得极值，则，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.31.【徐州市2018届高三上学期期中】如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池及其矩形附属设施，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为，半径为，矩形的一边在直径上，点、、、在圆周上，、在边上，且，设．（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为，求的表达式；（2）怎样设计才能符合园林局的要求？【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据直角三角形求两个矩形的长与宽，再根据矩形面积公式可得函数解析式，最后根据实际意义确定定义域（2）利用导数求函数最值，求导解得零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，进而得函数最值（2）要符合园林局的要求，只要最小，由（1）知，令，即，解得或（舍去），令，当时，是单调减函数，当时，是单调增函数，所以当时，取得最小值.答：当满足时，符合园林局要求.32.【南京市2018届高三数学上学期期初学情调研】已知函数f(x)＝2x3－3(a+1)x2＋6ax，a∈R．（Ⅰ）曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；（Ⅱ）若对于任意x∈(0，+∞)，f(x)＋f(－x)≥12lnx恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）若a＞1，设函数f(x)在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M(a)、m(a)，记h(a)＝M(a)－m(a)，求h(a)的最小值．【答案】（1）a＝（2）(－∞，－1－]．（3）（2）f(x)＋f(－x)＝－6(a＋1)x2≥12lnx对任意x∈(0，+∞)恒成立，所以－(a＋1)≥．令g(x)＝，x＞0，则g(x)＝．令g(x)＝0，解得x＝．当x∈(0，)时，g(x)＞0，所以g(x)在(0，)上单调递增；当x∈(，＋∞)时，g(x)＜0，所以g(x)在(，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g()＝，所以－(a＋1)≥，即a≤－1－，所以a的取值范围为(－∞，－1－]．（3）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，所以f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)，f(1)＝3a－1，令f′(x)＝0，则x＝1或a．f(1)＝3a－1，f②当＜a＜2时，当x∈(1，a)时，f(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当x∈(a，2)时，f(x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2)，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－(－a3＋3a2)＝a3－3a2因为h(a)＝3a2－6a＋3＝3(a－1)所以h(a)在(，2)上单调递增，所以当a∈(，2)时，h(a)＞h()＝．③当a≥2时，当x∈(1，2)时，f(x)＜0，所以f(x)在(1，2)上单调递减，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－4＝3所以h(a)在[2，＋∞)上的最小值为h(2)＝1．综上，h(a)的最小值为．点睛：已知函数最值求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数最值取法，根据最值列等量关系，确定参数值或取值范围；（2）利用最值转化为不等式恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围.33.【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知二次函数为偶函数且图象经过原点，其导函数的图象过点．（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中m为常数，求函数的最小值．【答案】（1）；（2）（2）据题意，，即①若，即，当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为．②若，即，当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增，故的最小值为．③若，即，当时，，故在上单调递减，在上单调递增；当时，，故在上单调递增，故的最小值为．综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为．34.【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数．（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，求证：对任意，都有．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）当时，求出导数易得，即，利用点斜式可得其切线方程；（2）求得可得，分为和两种情形判断其单调性；（3）当时，根据（2）可得函数在上单调递减，故，即，化简可得所证结论.试题解析：（1）当时，，，，，所以函数在点处的切线方程为，即．（2），定义域为，．①当时，，故函数在上单调递减；②当时，令，得x↘极小值↗综上所述，当时，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．（3）当时，由（2）可知，函数在上单调递减，显然，，故，所以函数在上单调递减，对任意，都有，所以．所以，即，所以，即，所以，即，所以．35.【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数，其中（1）当时，求函数在上的值域；（2）若函数在上的最小值为3，求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得，再分和两种情况进行讨论；试题解析：（1）解：时，则令得列表+-+单调递增单调递减单调递增21由上表知函数的值域为（2）方法一：①当时，，函数在区间单调递增所以即（舍）②当时，，函数在区间单调递减所以符合题意③当时,当时，区间在单调递减当时，区间在单调递增所以化简得：即所以或（舍）注：也可令则对在单调递减所以不符合题意综上所述：实数取值范围为方法二：①当时，，函数在区间单调递减所以符合题意…………8分②当时，，函数在区间单调递增所以不符合题意③当时,当时，区间在单调递减当时，区间在单调递增所以不符合题意综上所述：实数取值范围为36.【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．（1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数.。若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．【答案】（1）（2）a的范围是.【解析】试题分析：（1）由题意得f（x）=x2+lnx，，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，即可求出函数的最值．试题解析：（1）当时，，；对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，∴，．（2）在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x）令＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，且h（x）=f1（x）﹣f（x）=＜0对x∈（1，+∞）恒成立，∵若，令p′（x）=0，得极值点x1=1，，当x2＞x1=1，即时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，所以≤a≤．又因为h′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤综合可知a的范围是[，]．37．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在上无零点，求a的最小值；（Ⅲ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围．【答案】(1)f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；(2)函数f（x）在上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2；（3）a的范围是.【解析】试题分析：（Ⅰ）把a=1代入到f（x）中求出f′（x），令f′（x）＞0求出x的范围即为函数的增区间，令f′（x）＜0求出x的范围即为函数的减区间；（Ⅱ）f（x）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，）上无零点，只需要对x∈（0，）时f（x）＞0恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值；试题解析：（1）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则f′（x）=1﹣，由f′（x）＞0，得x＞2；由f′（x）＜0，得0＜x＜2．故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（2）因为f（x）＜0在区间上恒成立不可能，故要使函数上无零点，只要对任意的，f（x）＞0恒成立，即对恒成立．令，则，再令，则，故m（x）在上为减函数，于是，从而，l（x）＞0，于是l（x）在上为增函数，所以，故要使恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数f（x）在上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2；（3）g′（x）=e1﹣x﹣xe1﹣x=（1﹣x）e1﹣x，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当x∈（1，e]时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e•e1﹣e＞0，所以，函数g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．当a=2时，不合题意；当a≠2时，f′（x）=，x∈（0，e]当x=时，f′（x）=0．由题意得，f（x）在（0，e]上不单调，故，即①此时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：x（0，）（，e]f′（x）﹣0+f（x）↘最小值↗又因为，当x→0时，2﹣a＞0，f（x）→+∞，，所以，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件：即令h（a）=，则h，令h′（a）=0，得a=0或a=2，故当a∈（﹣∞，0）时，h′（a）＞0，函数h（a）单调递增；当时，h′（a）＜0，函数h（a）单调递减．所以，对任意，有h（a）≤h（0）=0，即②对任意恒成立．由③式解得：．④综合①④可知，当a的范围是时，对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使f（xi）=g（x0）成立．38.【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆及等腰直角三角形，其中，为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片（不计损耗），将点放在弧上，点放在斜边上，且，设.（1）求梯形铁片的面积关于的函数关系式；（2）试确定的值，使得梯形铁片的面积最大，并求出最大值.【答案】（1），其中.（2）时，【解析】试题分析：（1）求梯形铁片的面积关键是用表示上下底及高，先由图形得，这样可得高，再根据等腰直角三角形性质得，最后根据梯形面积公式得，交代定义域．（2）利用导数求函数最值：先求导数，再求导函数零点，列表分析函数单调性变化规律，确定函数最值试题解析：（1）连接，根据对称性可得且，所以，，，所以，其中．考点：利用导数求函数最值【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′(x)＞0或f′(x)＜0求单调区间；第二步：解f′(x)＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．39．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】已知函数，其中，是自然对数的底数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调减区间；（3）若在恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）当时，无单调减区间；当时，的单调减区间是；当时，的单调减区间是.（3）【解析】试题分析：（1）先对函数解析式进行求导，再借助导数的几何意义求出切线的斜率，运用点斜式求出切线方程；（2）先对函数的解析式进行求导，然后借助导函数的值的符号与函数单调性之间的关系进行分类分析探求；（3）先不等式进行等价转化，然后运用导数知识及分类整合的数学思想探求函数的极值与最值，进而分析推证不等式的成立求出参数的取值范围。(2)因为，当时，，所以无单调减区间.当即时，列表如下：所以的单调减区间是.当即时，，列表如下：所以的单调减区间是.综上，当时，无单调减区间；当时，的单调减区间是；当时，的单调减区间是.(3).当时，由(2)可得，为上单调增函数，所以在区间上的最大值，符合题意.当时，由(2)可得，要使在区间上恒成立，只需，，解得.当时，可得，.设，则，列表如下：所以，可得恒成立，所以.当时，可得，无解.综上，的取值范围是.40.【泰州中学2018届高三10月月考】已知函数.（1）若曲线与直线相切，求实数的值；（2）记，求在上的最大值；（3）当时，试比较与的大小.【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）.【解析】试题分析：（1）研究函数的切线主要是利用切点作为突破口求解；（2）通过讨论函数在定义域内的单调性确定最值，要注意对字母m的讨论；（3）比较两个函数的大小主要是转化为判断两个函数的差函数的符号，然后转化为研究差函数的单调性研究其最值．试题解析：（1）设曲线与相切于点，由，知，解得，又可求得点为，所以代入，得.（2）因为，所以.①当，即时，，此时在上单调递增，所以；②当即，当时，单调递减，当时，单调递增，.（i）当，即时，；（ii）当，即时，；③当，即时，，此时在上单调递减，所以.综上，当时，；当时，.（3）当时，，①当时，显然；②当时，，记函数，则，可知在上单调递增，又由知，在上有唯一实根，且，则，即（*），当时，单调递减；当时，单调递增，所以，结合（*）式，知，所以，则，即，所以.综上，.试题点睛：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、最值基本思路，当比较两个函数大小的时候，就转化为两个函数的差的单调性，进一步确定最值确定符号比较大小．41.【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】设,函数.（1）证明在上仅有一个零点；（2）若曲线在点处的切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行,(O是坐标原点),证明:【答案】（1）在上有且只有一个零点（2）证明见解析【解析】试题分析：试题解析：（1），，在上为增函数．，，又，，即，由零点存在性定理可知，在上为增函数，且，在上仅有一个零点。（2），设点，则，在点处的切线与轴平行，，，，，点处切线与直线平行，点处切线的斜率，又题目需证明，即，则只需证明，即。令，则，易知，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，即，，，得证。42.【南通中学2018届高三10月月考】设，，函数，其中是自然对数的底数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求实数、的值；（Ⅱ）求证：函数存在极小值；（Ⅲ）若，使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ).【解析】试题分析：(Ⅰ)利用导函数研究函数的切线，得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中求得的函数的解析式首先求解导函数，然后利用导函数讨论函数的单调性即可确定函数存在极小值；试题解析：（Ⅰ）∵，∴，由题设得，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∴，∴函数在是增函数，∵，，且函数图像在上不间断，∴，使得，结合函数在是增函数有：）递减极小值递增∴函数存在极小值；（Ⅲ），使得不等式成立，即，使得不等式成立……（*），令，，则，∴结合（Ⅱ）得，其中，满足，即，∴，，∴，∴，，∴在内单调递增，∴，结合（*）有，即实数的取值范围为．43.【南师附中2017届高三模拟一】已知是正实数，设函数.（1）设，求的单调区间；（2）若存在，使且成立，求的取值范围.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增.（2）【解析】【试题分析】（1）先对函数求导得，再解不等式得求出单调增区间；解不等式得求出单调减区间；（2）先依据题设得，由（1）知，然后分、、三种情形，分别研究函数的最小值，然后建立不等式进行分类讨论进行求解出其取值范围：解：（1），由得，在上单调递减，在上单调递增.（2）由得，由条件得.①当，即时，，由得.②当时，在上单调递增，，矛盾，不成立.由得.③当，即时，，在上单调递减，，当时恒成立，综上所述，.44.【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数.（1）若函数是单调递减函数，求实数的取值范围；（2）若函数在区间上既有极大值又有极小值，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)原问题等价于对恒成立，即对恒成立，结合均值不等式的结论可得；(2)由题意可知在上有两个相异实根，结合二次函数根的分布可得实数的取值范围是.试题解析：（2）∵函数在上既有极大值又有极小值，∴在上有两个相异实根，即在上有两个相异实根，记，则，得，即.45．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】如图，某公司的LOGO图案是多边形，其设计创意如下：在长、宽的长方形中，将四边形沿直线翻折到（点是线段上异于的一点、点是线段上的一点），使得点落在线段上.（1）当点与点重合时，求面积；（2）经观察测量，发现当最小时，LOGO最美观，试求此时LOGO图案的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：(1)设，利用题意结合勾股定理可得，则，据此可得的面积是；试题解析：（1）设，则，，∵，∴，解之得，∴的面积是；（2）设，则，，∴，∴，，∴.∵，∴，即，∴（且），∴（且），设，则，令得，列表得∴当时，取到最小值，此时，，，在中，，，，在正中，，在梯形中，，，，∴.答：当最小时，LOGO图案面积为.点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.46．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数有一个零点为4，且满足.（1）求实数和的值；（2）试问：是否存在这样的定值，使得当变化时，曲线在点处的切线互相平行？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）讨论函数在上的零点个数.【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)当或时，在有两个零点；当时，在有一个零点.【解析】试题分析：(1)由题意得到关于实数b,c的方程组，求解方程组可得；(3)函数的导函数，结合导函数的性质可得当或时，在有两个零点；当时，在有一个零点.试题解析：（1）由题意，解得；（2）由（1）可知，∴；假设存在满足题意，则是一个与无关的定值，即是一个与无关的定值，则，即，平行直线的斜率为；（3），∴，其中，设两根为和，考察在上的单调性，如下表1°当时，，，而，∴在和上各有一个零点，即在有两个零点；2°当时，，，而，∴仅在上有一个零点，即在有一个零点；3°当时，，且，①当时，，则在和上各有一个零点，即在有两个零点；②当时，，则仅在上有一个零点，即在有一个零点；综上：当或时，在有两个零点；当时，在有一个零点.点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．47.【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知函数.（1）当时，求满足的的取值；（2）若函数是定义在上的奇函数①存在，不等式有解，求的取值范围；②若函数满足，若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.【答案】（1）（2）①，②6试题解析：（1）由题意，，化简得解得，所以（2）因为是奇函数，所以，所以化简并变形得：要使上式对任意的成立，则解得：，因为的定义域是，所以舍去所以，所以①对任意有：因为，所以，所以，因此在R上递减．因为，所以，即在时有解所以，解得：，所以的取值范围为②因为，所以即所以不等式恒成立，即，即：恒成立令，则在时恒成立令，，时，，所以在上单调递减时，，所以在上单调递增所以，所以所以，实数m的最大值为6考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。48.【南师附中20