2023版高考数学一轮总复习应用创新题组8-5空间角与距离空间向量及其应用

8.5空间角与距离、空间向量及其应用

创新篇守正出奇

创新立体几何中的轨迹问题

1.（2021浙江舟山月考,7）己知正方体ABCD-A同CD的棱长为2,E、F分别是棱AA「AD的中

点，点P为底面ABCD（包括边界）内的一动点,若直线DF与平面BEF无公共点,则点P的轨迹

长度为（）

Λ.√2+lB.√5C.√2+yD.√6

答案B以点D为坐标原点,DA、DC、DDl所在直线分别为x、y、Z轴建立如图所示的空间

直角坐标系，

则B(2,2,0),E(2,0,l),F(l,0,2),D1(0,0,2),

则法(0,-2,1),百工(-1,0,1),设点P(a,b,0),则万F=(a,b,-2),设平面BEF的法向量为

m=(x,y,z),

由卜•丹=-2y+z=0,取Z=2,可得In=(2,1,2),

U∙EF=-X+z=0,

由题意可知，DF〃平面BEF,则万了∙m=2a+b-4=0,

令b-0,可得a=2;令b-2,可得a-l.

所以,点P的轨迹交线段AD于点A（2,0,0）,交线段BC于其中点M（l,2,0）,所以,点P的轨迹

长度为IAM∣=√（2-l）2+（0-2）2+（0-0）2=√5.故选B.

2.（多选）（2022届济南历城二中开学考）在棱长为1的正方体ABCD-A周CD中，点P在侧面

BCCB所在的平面上运动,则下列命题中正确的为（）

ʌ.若总有PΛ±BD,,则动点P的轨迹是一条直线

B.若点P到点A的距离为北,则动点P的轨迹是一个周长为2π的圆

C.若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1,则动点P的轨迹是椭圆

D.若点P到直线AD的距离与到直线CC1的距离相等,则动点P的轨迹是双曲线

答案ABD对于A,如图，在正方体中,AC_LBD,BB】_L平面ABCD,所以BBl_LAC,又BBInBD=B,

所以ACJ_平面BB1D1D,又BDC平面BB1D1D,所以ACIBD1,同理ABl±BD,,又ABmAC=A,所以

BD」平面ABC而点P在侧面BCC冏所在的平面上运动，且PA_LBD”所以点P的轨迹就是直

线Bc故A中命题正确.

BC

对于B,点P的轨迹是以A为球心,播为半径的球面与平面BCC1B1的交线，即点P的轨迹为小

圆,设小圆的半径为r.可知球心A到平面BCC1B1的距离为1,则r√(√2)ɜ-pɪl,所以小圆的

周长为2nr=2”,故B中命题正确.对于C,点P到直线AB的距离就是点P到点B的距离,则

平面BCC1B1内的点P满足IPBl+1PCI=I=IBCI,故点P的轨迹是线段BC,不是椭圆，故C中命题

不正确.

对于D,过P分别作PMlBC于点M,PE_LCa于点E,

则PM_L平面ABCD,所以PM_LAD,过M作MN±AD于点N,连接PN,

因为PM∩MN=M,所以ADJ_平面PMN,所以PNlAD,

建立平面直角坐标系,设P(x,y),x>O,y>0,

则PM=y,PN2=l+y2,PE2=(l-χ)2,

所以l+y2=(l-χ)2,整理得(X-I)Ly2=I,则动点P的轨迹是双曲线,故D中命题正确.故选ABD.

3(多选)(2022届广东深圳平冈中学月考，11)已知正方体ABCD-AIBcDl中，点E为棱DDl的中

点，点P是线段C1D上的动点,AA,=2,则下列选项正确的是()

2

ʌ.直线ΛP与B1E是异面直线

B.点P到平面AEB1的距离是一个常数

C.过点C作平面AEB1的垂线,与平面AB1C1D交于点Q,若砒=3万,则QeAP

D.若平面CDD1C1内有一点Q,它到直线CD的距离与到直线C1B1的距离相等,则Q的轨迹为直线

答案ABC对于A,如图1,APU平面ABGD,B∣EC平面ABeD=B”且ABAP,所以直线AP与

B1E是异面直线,故A正确；

对于B,在正方体中,C,D∕7AB1,因为ABC平面AEB1,C1IW平面AEB1,所以CP〃平面AEB11又

P∈C1D,故点P到平面AEB1的距离是一个常数,故B正确；

对于C,如图2,以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系，则

D(0,0,0),A(2,0,0),B1(2,2,2),E(0,0,1),C,(0,2,2),C(0,2,0),所以

⅛(0.2,2),正(-2,0,1),因为做=3序,所以P(0,与所以灰(-2,()，假设存在

Q∈AP,设这λ法卜2儿gλ,gA),O<λ<l,则、92才+2,(入，(入)，故四(-24+

2,Iʌ-2,λ),

因为CQL平面AEB”所以［夕坐=6即N=)义2+JXJ",解得λg则

(ʃ。•四=0,((-24+2)X(-2)+Tλ=0,4

QQ,1,1),满足条件,故C正确；

对于D,因为CBL平面CDD1C,,

又QaU平面CDD1C1,

所以CB」QC“

即QC1的长为点Q到直线C1B1的距离，

所以根据抛物线的定义可知,Q的轨迹为抛物线，故D错误.故选ABC.