2023-2024学年重庆市主城区高二年级上册期末考试质量检测数学（含解析）

2023-2024学年重庆市主城区高二上册期末考试质量检测数学

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的)

1.已知等差数列｛"〃｝的前〃项和为S，，，且兀=10,$20=40,则$30=().

A.90B.80C.60D.30

【正确答案】A

【分析】根据等差数列前〃项和的片断和性质可得结论.

【详解】由等差数列的性质，知Ro，SR-'O，WO-%，

…成等差数列，即2(Szo—号0)=530—S20+B0,所以

530=3X(S20-510)=3X(40-10)=90.

故选：A.

2.若£+1=(—2,—1,2),£—5=(4,—3,—2),则等于()

A.5B.-5C.7D.—1

【正确答案】B

【分析】利用空间向量的四则运算与数量积的坐标表示即可求解.

【详解】•.1+5=(一2,-1,2),a-6=(4,-3,-2),.,•两式相加得22=(2,-4,0)，

二Z=(1,—2,0),：,b=a+b-a=(-3,1,2)，

.,i5=1x(-3)+(-2)x1+0x2=-5,

故选：B.

3.已知抛物线y=的焦点为R1)(-1,0),则为()

I-17

A.<6B.2C.—D.

16

【正确答案】D

【分析】确定焦点/(0』)，再利用两点间距离公式计算得到答案.

【详解】抛物线y=；♦,即》2="，焦点尸(0,1),£)(-1,0),-0|=疝？=后.

故选：D

22

4.己知点4民。在双曲线+-与=1(4>0,6>0)上，若48两点关于原点对称，力C过右

ab

焦点F,且方•k=0,3|/P|=|W|,则双曲线的离心率为()

A.叵B.V3C.V5D.1+72

2

【正确答案】A

【分析】设双曲线的左焦点为耳，连接4片,。耳，可知N4NC=90。，由

设|=加,|C尸|=3加，再由双曲线的定义可得|/用=24+机,16a=2a+3a,然后利

用勾股定理列方程可求得加=a,从而可求出。的关系，进而可求出离心率

【详解】解：设双曲线的左焦点为片，连接与，可知/片〃。=90。，

设|/尸|二九|FC\=3浜月|=2a+九出C|=2a+3加,(2a+加>+(4m)2=(2a+3m)2,

解得m=a,(3a)2+/=4c2,e=~~~,

故选：A.

5.等比数列｛a“｝为递减数列，若%-64=6,%+%7=5,则%=()

。18

32〃1

A.—B.-C.-D.6

236

【正确答案】A

【分析】

47«4=%97=6,可得知与47为方程炉―5x+6=0的两个根，又%>%+1，解得包，

a”，再利用通项公式即可得出.

【详解】：等比数列｛4｝为递减数列，%，％4=6，%+《7=5，

%与%7为方程-—5x+6=0的两个根，

解得。4=2，。［7=3或。4=3，%7=2,

>a〃+],t74=3,a]？=2,

.〃13_47一2

‘•g—一-7

a43

故选:4

6.已知各棱长均为1的四面体力38中，£是的中点，PG直线CE,则忸尸|+|。尸］

的最小值为（）

1+6

2

1+V3

【正确答案】B

【分析】将ACDE旋转至与ABCE共面，连结8。，则它与CE的交点尸，即为使

忸可+|。耳取最小值的点，然后在A5DE中利用余弦定理求出60的值.

【详解】如图，将ACQE旋转至与A3CE共面，连结30,则它与CE的交点P，即为使

忸。|+|。可取最小值的点.

易知BE=CE=—,BC=I,DE--,ZDEC=90°，

22

BE+CEBC

在MCE中由余弦定理得cosNBEC=''-'=1,

2BECE

从而由平方关系得sinZ.BEC=----

3

在A5Z）E中由余弦定理得

BD1=DE2+BE2-IDE-BEcos(900+NBEC)

所以

【点晴】本题考查空间求线段和差的最值问题，一般转化到同一个平面上处理，结合三角形

的正弦、余弦定理求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

7.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自

然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的

一个树形图.若记图2中第〃行黑圈的个数为4,则勺=（）

第1行

第2行

O•0・・一一第3行

图1图2

A.110B.128C.144D.89

【正确答案】C

【分析】。“表示第〃行中的黑圈个数，设，表示第〃行中的白圈个数，由题意可得

a“+i=2a.+b“，bn+}=an+bn,根据初始值，由此递推即可求得结果.

【详解】己知见,表示第〃行中的黑圈个数，设〃表示第〃行中的白圈个数，则由于每个白

圈产生下一行的一个白圈和一个黑圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈和2个黑圈，

所以+"，bn+l=an+bn,

又因为％=0,4=1,

所以。2=1，4=1;

所以%=2xl+l=3,=1+1=2；

a4=2x3+2=8,b4=3+2=5；

区=2x8+5=21,b5=8+5=13；

4=2x21+13=55,b6=21+13=34；

%=2x55+34=144.

故选：c.

22

8.设椭圆的方程为工+匕=1,斜率为％的直线/不经过原点0,且与椭圆相交于4,B两

点，加为线段的中点，下列结论正确的是（）

A.直线/与一定垂直

B.若直线/方程为y=2x+2,则以a=|6.

C.若直线/方程为y=x+l,则点M坐标为

D.若点收坐标为（1,1）,则直线/方程为2x—y—3=0

【正确答案】C

【分析】设"（々，九），利用点差法可得比，左=-2,判断A正确;

逑，判断B错误;

3

]_2

利用点差法的结论可以求出〃,判断C正确;

353

利用点差法的结论可以求出kAB=-2,进而判断D错误.

【详解】不妨设46坐标为（内,必）,（吃，％），则曰+今=1，今=1两式作差可得:

震x在7,设“伍，几），则令％7

对A：kABxkOM=kx^=-2,故直线48,OM不垂直，则A错误;

对B：若直线方程为J=2x+2,联立椭圆方程2/+「=4,

42

可得：6A*2+8x=0>解得再=0,%2=一]，故乂=2/2二—§，

则|/同=居与=华，故B错误；

对C：若直线方程为尸+1,故可得比X1=-2,即为=_2/，又乂）=/+1,

xo

解得/=-；,盟=即一H]，故C正确；

JJyOJy

对D：若点M坐标为（1,1）,则;xA=-2,则左相=—2,

又Z8过点（1,1）,则直线的方程为y-l=-2（x-l）,即2x+y—3=0,故D错误.

故选：C.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分）

9.已知动直线/:丘一丁一人+1=0与圆4歹=0,则下列说法正确的是（）

A.直线/过定点（1,1）

B.圆C的圆心坐标为（0，-2）

C.直线/与圆C的相交弦的最小值为2J5

D,直线/与圆C的相交弦的最大值为4

【正确答案】ACD

【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可.

【详解】对于A,直线/:而一F一女+1=0,即左（》一1）一丁+1=0,

x—1=0[x=1

令〈c，得《，，即直线/过定点（1,1）,故A正确；

1-y=0[y=1

对于B,圆。：/+丁2一分=0,即*2+（歹一2）2=4,圆心坐标为（0,2）,故B错误；

对于C,因为F+。—2『=2V4,所以直线/所过定点（1,1）在圆的内部，不妨设直线/过定

点为/。，1），

当直线/与圆C的相交弦的最小时，AC与相交弦垂直,

又因为|/C|=J（l_0）2+（_2）2=后,所以相交弦的最小为

=2正一疔=2后，故C正确；

对于D,直线/与圆C的相交弦的最大值为圆。直径4,故D正确.

故选：ACD

10.已知椭圆。噂+与=1与双曲线6：/_产'1=1（9〈左<16）,下列关于两曲线

的说法正确的是（）

A.G的长轴长与G的实轴长相等B.G的短轴长与。2的虚轴长相等

C.焦距相等D,离心率不相等

【正确答案】CD

【分析】利用椭圆、双曲线的几何性质逐项判断可得出合适的选项.

【详解】由题意可知，椭圆G的长轴长为2%=8,短轴长为=6,焦距为

2cL2,16-9=2币,

离心率为《］=」■=-^―,

Q14

当9<%<16时，16—左>0,9—左<0,

双曲线G的焦点在x轴上，其实轴长为2a2=246，虚轴长为24=2五二§,

焦距为2G=2a6—2+左—9=2",离心率为e2=幺=■/■.

一一a2《16-k

故G的长轴长与G的实轴长不相等，G的短轴长与G的虚轴长不相等，

G与。2的焦距相等，离心率不相等.

故选：CD.

"2"'

11.已知数列｛%｝的前«项和为Sn,a,=1,5„+1=Sn+2a„+1,数列《-----卜的前〃项

Uq+J

和为7；,那么下列选项正确的是（）

A.数列｛%+1｝是等比数列B.数列｛4｝的通项公式为

—

C.5„=2"-nD.7；＜1

【正确答案】ABD

【分析】根据题设%,S”的关系，可判断。+1｝是否为等比数列，进而可得缶“｝的通项公

‘2"'

式，应用分组求和及等比数列前〃项和得S〃，再写出〈-------卜通项，应用裂项法求7；,

即可判断各选项的正误.

[详解]由题设知:%=s„+l-sn=2a„+l,则(%+]+1)=2(%+1)且1=1,即他+1｝是

等比数列；

Aa=2n-l,且s,=q+。，+...+%—〃=2"|—2,

“nn1Ln12

「2"111

又-----------------------=--------------

n+ln,,+

an-an+l(2"-l)(2-1)2-l2'-1

故选：ABD.

12.已知—44G〃为正四棱柱，底面边长为2,高为4,E,E分别为8用的

中点.则下列说法错误的是()

A.直线与平面OCGA所成角的正弦值为华

B.平面4BR±平面BDC]

C.直线EF被正四棱柱的外接球截得的弦长为2指

27r

D.以。为球心，2为半径的球与侧面8cq4的交线长为丁

【正确答案】ABD

【分析】4。。是直线Z"与平面ocqA所成角，计算A错误，平面/月。平面

BDC],B错误，R=网,球心到E尸的距离为1,故弦长为26，C正确，交线长为兀，

D错误，得到答案.

【详解】对选项A：4D_L平面。CGA，故乙4〃。是直线与平面。CGR所成角,

sinN/，0=-4=="，错误；

12A/55

对选项B：BD〃BQ、,80u平面8£）G，平面BDC1,故BQ平面ADG，

同理平面8DG，故平面4用。平面BOG，错误；

对选项C：外接球半径为R=亚运正=卡，球心到EF的距离为1,故弦长为

2

2JF=1=2遥，正确；

对选项D：平面8CG用到球心的距离为2,交线为圆的;部分，如图所示6/，圆半径为

r=J8—4=2，交线长为：x2口=冗，错误.

故选：ABD

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.以（1,3）为圆心，且与直线x+2y+8=0相切的圆的标准方程是.

【正确答案】（》一1）2+（丁一3）2=45

【分析】由相切关系得圆的半径，得圆的标准方程.

【详解】圆心到切线的距离Q=1+/2x3+®=36,所以圆的半径厂=3百，

2

VP+21

所以圆的标准方程为（x—+（y—3）2=45.

故答案为.(x—1)2+(y—3)2=45

14.线段Z8,其中4(2,5),5(5,1),过定点尸(1,2)作直线/与线段相交，则直线/的斜

率的取值范围是.

【正确答案】-!，3

_4_

【分析】计算《"=3,嗫=_：,得到范围.

【详解】4(2,5),5(5,1),尸(1,2),故如=上匚=3,kBP=-=--,

48两点之间横坐标不包含1，故直线/的斜率的取值范围是-9，3.

_4_

故-：,3

_4_

15.数列｛%｝满足下列条件：。1=1,且V〃£N*，恒有。2“=。〃+〃-1，则。256=.

【正确答案】248

【分析】由条件V”£N*，恒有。2〃=。"+”1，得出

767567

«256=«!28+(2-1)=+(2-1)+(2-1)=a32+(2-1)+(2-1)+(2-1)=­.•,按

照此规律计算到％,再分组求和即可得出答案.

【详解】a2n=an+n-l9

二.a256=/28+(128-1)=628+⑵-1)

67

=«64+(2-1)+(2-1)

567

=«32+(2-1)+(2-1)+(2-1)

=•••

=q+(2°-1)+⑵-1)+…+⑵-1)

=1+(2°-1)+(21-1)+-••+(27-1)

1+(20+2'+---+27)-8

lx（l-28）

=----------------7

1-2

=248,

故248.

16.圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的

另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于

22

从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆G：—+^-=1和双曲线

84

c2：1在夕轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆G上一点兄出发，经过点F2,

然后在曲线E内多次反射，反射点依次为《，P2,鸟，鸟，…若兄,A重合，则光线从4

【正确答案】16^/2-8-\/3

【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线的光学性质，结合它们的定义列式计算作答.

222

【详解】椭圆?+^=1的长轴长为4&，双曲线事―丁=1的实轴长为2百，

由椭圆的光学性质知|兄鸟|+|乙鸟|=4、5一有不，|+|巴鸟|=4层阴学

由双曲线的光学性质知14工|=|鸟月|—2石，|66|=|片6|—2JL而兄，4重合，

因此光线从po到4所经过的路程：

\p0I]\+\f[p2\+\p2p3\+\p3p41=18骂1+1玛耳1+1阜"+田玛1+1玛号+超旦|

=由田|+|月号+|月月|+出片|+|£/|+|4巴|=（4冉"印）+（西吊-26

+(4&—|片片I)+(|片用—26)=8后一46,光线从P4到R所经过的路径重复光线从

4到《所经过的路径，

所以光线从《到与所经过的路程为2[8后-4J可=16拒-86.

故16夜-86

关键点睛：涉及圆锥曲线上的点与焦点距离的问题，认真分析题意，正确运用好椭圆、双曲

线、抛物线的定义是关键.

四、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤)

17.记S“为等差数列｛4｝的前〃项和，已知％=5,56=0.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)求S.,并求S,,的最大值.

【正确答案】⑴=7-2/7

(2)5„=-(«-3)2+9,9

【分析】(1)根据§6=。得到2卬+54=0,计算d=—2,得到通项公式.

(2)确定5“=-(〃-3)2+9,根据二次函数的性质得到答案.

【小问1详解】

5=0,6('+刈=0,从而％+以=0,即2q+54=0,

2

%=5,所以d=-2,故a”=5-2(〃-1)=7-2〃.

【小问2详解】

°+afl)〃(12-2〃)2,/八2c

Sn----------=---------=—n-+6n=—(n-3)-+9>

〃=3时5,,有最大值9.

18.已知点0(-2,2),直线/：ar—2>+3=0,圆C.犬+「-2x-6y+5=0

(1)若连接点。与圆心C的直线与直线/垂直，求实数。的值;

（2）若点P为X轴上一动点，求+的最小值，并写出取得最小值时点尸的坐标.

【正确答案】（1）a=-6

（2）V34,P（-p0）.

【分析】（1）由圆的一般方程写出圆心、半径，运用两直线垂直可求得。的值.

（2）求点关于线的对称点，进而求得+的最小值，运用点斜式写出直线方程，再

求其与x轴交点.

【小问1详解】

3一2]

圆C：（X—1）+（y—3）=5,C（l,3）,・,.后°=一二=U，

V/1CZ）,k.=-

12

,,1a[

♦・«八八*K-j~*----1,

CD132

Q=-6.

【小问2详解】

点。（一2,2）关于x轴的对称点为。'（一2,-2）,

则|PC|+|PD|=|PC]+|尸。[>\CD'\=J（l+2）2+（3+2）2=取，

当且仅当P、C、三点共线时等号成立，

55/54

此时，kCD>=—>则直线方程为：y+2=§（x+2）,即=

44

令y=0,WX=--,所以尸（一《,0）.

故1Pq+归口的最小值为扃，此时点p坐标为（-g,o）.

19.在棱长为2的正方体488—08'。'。'中，M,N,。，尸分别为BC,CC,CD,AA'

的中点.

(1)求证：MO平面800'；

(2)求异面直线8N与尸8'所成角的余弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)

5

【分析】(1)取8。中点。，连接M。，QD',BD',确定四边形为平行四边形,

得到V。//。。'，得到证明.

(2)建立空间直角坐标系，计算各点坐标，得到丽=(-2,0,1),而=(0,2,1),根据向

量夹角公式计算得到答案.

【小问1详解】

取8。中点0,连接QD',BD',则=MQ//DC//OD',

又因为O。'=L。'。'='C0,所以MQ//。0'且MQ=OD',

22一一

所以四边形"。。'。为平行四边形，所以"O//。。',

又因为。。'u平面8。。，，MOu平面8。。，，所以MO//平面8。。'.

【小问2详解】

以。为原点，DA、DC、分别为小y、z轴，建立空间直角坐标系.

则8(2,2,0),*(2,2,2),尸(2,0,1),N(0,2,l),

所以丽=(—2,0,1),丽=(0,2,1),

设直线BN与PB'所成角为0,

\BN-PB'\11

所以cos0=।—..—=—7=~-/==—,

忸叶附[V5-V55

所以异面直线8N与尸8'所成角的余弦值为

20.己知数列｛%｝的前〃项和S,,满足条件2s“+3=3勺，其中〃eN*.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)设数列满足a=log”“3,又1)®+^%+…+b,b”+2<M,对一切“eN*恒成立，求

M的取值范围.

【正确答案】⑴。"=3"

⑵4+8)

【分析】⑴计算得到2s“+3=3atl,2s+3=3。用，相减得到a„+1=3ali,计算q=3,

得到通项公式.

确定利用裂项相消法计算和，确定取值范围.

(2)“=2，6A+2=1|---1)，

n2\nn+2J

【小问1详解】

2S〃+3=3%,2s"I+3=3a“+],两式相减得2an+i=3a用一3al:,an+t=3a„,

又2S]+3=3a],，=Q],%=3,

数列｛4｝是以首项为3,公比为3的等比数列，勺=3・3小=3".

【小问2详解】

,,,1-1If111

b“=log”,,3=一,bb==---------，

"nnn+2〃(〃+2)2〃+2J

设骞=*3+她+…+她+2,

2[\3)(24)【35)Z2+1JI”〃+2

33、

又7；</对一切〃cN*恒成立，M>~,〃的取值范围为-9+ooI

4L4）

21.已知四棱锥尸一/BCZ）（如图），四边形/5CD为正方形，面尸/3_L面Z8CZ）,

PA=PB=AB=2,M为AD中点.

（1）求证：PCIBM；

（2）求直线PC与平面尸8〃所成角的余弦值.

【正确答案】（1）证明见解析

⑵叵

4

【分析】（1）运用面面垂直性质定理证得P0上面4BCD,以O为原点建立空间直角坐标系，

运用空间向量坐标法证明线线垂直.

（2）运用空间向量坐标法求线面角的正弦值，再运用同角三角函数的平方关系可得其余弦

值.

【小问1详解】

证明：取中点0,连接。尸，并过点。作8C的平行线OE,交CD于E,则。EJ,N8,

,?PA=PB=AB,：.PAB为等边三角形,又为中点，/.PO±AB,

又•.•面尸48_1_面/88,面P48c面力88=力8,POu面P4B,

:.PO上面4BCD,；.PO工OE,

以。为原点，OB,OE,。尸所在直线分别为x,门z轴建立如图空间直角坐标系，

因为P/=A8=2.

则3(1,0,0),尸(0,0,G),阳(一1,1,0),C(l,2,0),

PC=(1,2,-V3),(-2,1.0),

所以定.丽=1X(_2)+2X1+(—6)X0=0,

所以PC_L8M.

【小问2详解】

1,-V3),PC=(1,2,-73),

设平面P8W的一个法向量为〃=(x,y,z),则有

PM•方=0一X+y一VJz=0

<___，即1,

BM-n=01-2x+y=0

令x=l,则歹=2,z=①，所以3=(1,2,乂

3:

设直线PC与平面尸8M所成角为6